Методичка по матану (1)

то a x1кас x x1хорд b.

Во всех случаях истинный корень уравнения заключен между приближенны-

ми корнями, полученными методом хорд и методом касательных.

Пример. Найти значение положительного корня уравнения x4 2x 4 0 с

точностью 0,01 комбинированным методом.

Решение. Найдем интервал изоляции корня графически: x4 2x 4, корни

принадлежат отрезкам 2; 1 и 0;2 (рис.5).

y

Рис.5

Вычислим f 1,646 0,048; f 1,646 15,838; f 1,588 0,817 0.

Проведем вычисления на отрезке [1,588; 1,646].

11

x2кас 1,646 0,048 1,643; 15,838

За приближенное значение корня примем ξ 1,64.

Решение второй задачи.

Исследование заданной функции y f x и построение ее графика рекомен-

дуется проводить по следующей общей схеме:

1. Провести элементарное исследование функции:

1.1.Установить область определения (существования) функции.

1.2.Установить, является ли функция четной, нечетной, периодической (спе-

цифические особенности функции позволяют сократить объем исследований). 1.3. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить про-

межутки непрерывности.

1.4.Установить поведение функции в окрестностях точек разрыва и наличие

уграфика функции вертикальных асимптот.

1.5.Найти точки пересечения (если они существуют) графика функции с осями координат (методами приближенного вычисления корней).

1.6. Установить поведение функции в бесконечности, т.е. при x и x (для неограниченной области определения функции).

1.7. Установить наличие у графика функции наклонных (в частности, гори-

зонтальных) асимптот и (в случае их существования) найти их. 2. Исследовать функции с помощью производных:

12

2.1.Установить промежутки монотонности (возрастания, убывания) функции. 2.2. Найти точки внутренних локальных экстремумов (точки максимума,

точки минимума, если они существуют) и экстремальные значения функции.

2.3. Установить интервалы выпуклости и вогнутости функции, если они су-

ществуют.

2.4. Найти точки перегиба функции (если они существуют) и значения функ-

ции в этих точках, а также угловые коэффициенты касательных к графику в точ-

ках перегиба графика функции.

3. Построить (в целом) график функции.

При выполнении п.1.1 надо воспользоваться определением области опреде-

ления функции, заданной аналитически, т.е. формулой (или формулами). Обла-

стью определения называют множество действительных значений аргумента, при которых формула, определяющая функцию, имеет смысл, причем как в процессе всех необходимых вычислений по этой формуле, так и в окончательном результа-

те для функции получаются действительные значения.

При выполнении п.1.2 надо воспользоваться свойствами функции.

- Четной (нечетной) называют функцию y f x , если она определена на сим-

метричном относительно нулевой точки множестве X и для любого x X вы-

полняется равенство

f x f x f x f x .

начала координат.

- Если функция четна или нечетна, то исследование можно проводить для x 0, и отображать соответствующим образом на левую полуплоскость.

- Периодической называют функцию y f x , x R R , , если для нее существует такое положительное число T , называемое периодом, что для любого x R справедливо равенство f x T f x .

13

- Если функция f x является периодической с периодом T , то для построения ее графика достаточно знать ее график на одном из промежутков вида a x a T ; смещая этот график вдоль оси абсцисс на отрезки T , 2T , …, по-

лучают график функции y f x .

При выполнении п.1.3 надо воспользоваться определениями и теоремой: - Функция f x непрерывна в точке x x0, если lim f x f x0 .

-Непрерывной в интервале называют функцию, непрерывную в каждой точке этого интервала.

-Точками разрыва функции y f x , x X , называют точки, в которых наруше-

тельные корни которых и будут точками на осях Ox и Oy, через которые прохо-

14

дит график функции y f x . Действительные (вещественные) корни уравнения f x 0 называют нулями функции. Уравнение y f x можно решить одним из

рассмотренных методов приближенного решения уравнения.

В простейших случаях область определения функции может быть разбита точками разрыва и нулями функции на определенное число интервалов, в которых

x

lim f x .

x

При выполнении п.1.7 надо воспользоваться определениями асимптот функ-

ции.

- Прямые y k1x b1 и y k2x b2 называют наклонными асимптотами графика функции y f x , x R соответственно при x и x , если существуют пределы:

невозрастающей на a,b X , если x1,x2 a,b (x1 x2 f x1 f x2 ). (Функции перечисленных типов называют монотонными на a,b ).

быть разбита на определенное число интервалов монотонности критическими

точками для функции f x по первой производной, т.е. точками, в которых

f x 0 или f x не существует (точки, в которых f x 0 называют точка-

ми стационарности функции f x ).

При выполнении п.2.2 надо воспользоваться определениями, необходимыми и достаточными признаками существования внутреннего локального экстремума

(минимума, максимума) функции.

- Точку x0 открытого промежутка X называют точкой локального максимума

(минимума), а значение функции в ней – локальным максимумом (минимумом)

функций y f x , x X , если у нее существует такая окрестность, для каждой точки которой выполняется неравенство f x f x0 f x f x0 .

- Если для любой точки x (x x0) из ее окрестности имеет место строгое нера-

венство f x f x0 f x f x0 ,то точку x0 называют точкой строгого ло-

кального максимума (минимума), а значение функции в ней – строгим локальным максимумом (минимумом) функции.

16

- Точки локального максимума и локального минимума называют точками ло-

кального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами

функции.

На рис.6 изображен график функции y f x , y которой x0, x2 и x4 – точки

максимума; x1, x3 и x5 – точки минимума.

Необходимое условие существования экстремума: если x0 – точка экстремума

1)f x непрерывна в x0, дифференцируема в некоторой ее окрестности за исключением, быть может, самой точки x0;

2)f x при переходе x через x0 слева направо меняет знак (при перемене знака с «–» на «+» точка x0 является точкой строгого локального минимума; при перемене знака с «+» на «–» точка x0 является точкой строгого локального мак-

симума (рис.7, 8).

Если же при выполнении условия 1 производная f x при переходе x через

x0 сохраняет знак, то x0 не является точкой экстремума (рис.9).

17

Второе достаточное условие существования экстремума: точка x0 X явля-

ется точкой строгого локального экстремума функции f x , x X , если

f n x0 0.

В частности, x0 X является точкой строгого локального минимума функции

Если же при выполнении условия 1 этой теоремы n является нечетным, то x0 не является точкой экстремума функции.

При выполнении п.2.3 надо воспользоваться определениями и признаками выпуклости (вогнутости), строгой выпуклости (строгой вогнутости) функции на интервале a,b .

- Дифференцируемую функцию f x , x X называют выпуклой (вогнутой)

18

на a,b X , если для любых x, x0 a,b таких, что x x0, выполняется

f x f x0 f x0 x x0 f x f x0 f x0 x x0 .

- Дифференцируемую функцию f x , x X , называют строго выпуклой

(строго вогнутой) на a,b X , если для любых x, x0 a,b таких, что x x0,

выполняется

f x f x0 f x0 x x0 f x f x0 f x0 x x0 .

График выпуклой на a,b функции лежит не выше любой своей касательной

(рис.12).

График вогнутой на a,b функции лежит не ниже любой своей касательной

(рис.13).

быть разбита на определенное число интервалов выпуклости и вогнутости функ-

19

ции критическими точками функции f x по второй производной, т.е. точками, в

При выполнении п.2.4 кроме определения используют необходимые и доста-

функция имеет конечную либо бесконечную производную и эта точка отделяет интервал строгой выпуклости функции от интервала строгой вогнутости.

Точка x0 X является точкой перегиба функции f x , x X , если:

1)f x дифференцируема в x0, дважды дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, быть может, самой точки x0;

2)f x меняет знак при переходе x через x0.

20