§6. Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим различные формы уравнений прямых.

1. Дано: и.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Угол между прямымииравен углу между их нормальными векторамии:

УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

б) Дано: и

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Угол между прямымииравен углу между направляющими векторами этих прямых

УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

в) Дано: и

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Рис. 35.

Из рис. 35 видно, что угол между прямымиисвязан с углами наклонаиэтих прямых к осиOXсоотношением, откуда

но из данных уравнений прямых имеем , следовательно,

Замечание. Если в этой формуле поменять местами и, то получим значение(рис. 35).

УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

или

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Запишите условия ортогональности двух прямых на плоскость для различных форм уравнений прямых.

2. Выведите формулу для вычисления угла между двумя прямыми при данных угловых коэффициентах этих прямых.

§7. Определение расстояния от точки до прямой

Рис. 36.

Пусть даны прямая и точка. Если- некоторая точка, принадлежащая данной прямой (), то расстояниеот точкидо прямой равно(рис. 36), где- нормальный вектор прямой. Так както

откуда

Замечание. Если уравнение прямой дано в нормированной форме , то

§8. Пучок прямых на плоскости

Определение. Пучком прямых называется множество всех прямых, проходящих через данную точку плоскости. Эта точка называется центром пучка.

Определение. Уравнением пучка называется уравнение из которого можно получить уравнение любой прямой этого пучка.

Пучок прямых можно задать двумя способами: а) задается центр пучка; б) задаются две прямые, принадлежащие пучку.

1. Пусть точка - центр пучка; в этом случае уравнение, где- параметр, который может принимать любые числовые значения, будет уравнением пучка.

Действительно, любая прямая, проходящая через точку , может быть определена этим уравнением при некотором значении: прямая, проходящая через точку, однозначно определяется заданием еще одной точки; Пусть это будет точка, тогда должно выполняться условие, откуда определяется угловой коэффициент прямой

Замечание. Из уравнения пучка нельзя получить уравнение только одной прямой, принадлежащей пучку:

б) Пусть заданы уравнения двух прямых, принадлежащих пучку:

В этом случае уравнение пучка можно записать, не вычисляя координат центра пучка ( в этой точке пересекаются данные прямые). Уравнением с центром в точкебудет уравнение

где - параметр, принимающий какие угодно значения.

Действительно, во-первых, при любом значении это равенство будет уравнением первого порядка, т.е., если переписать уравнение в видето хотя бы один из коэффициентов приине будет равен нулю. Предположим, что при некотором значениибудетПоследнее равенство, означает, что исходные прямые параллельны, а это невозможно, т.к. они пересекаются. Следовательно, при любом значенииуравнениеопределяет прямую.

Во-вторых, эта прямая проходит через центр пучка (принадлежит пучку). Действительно, если исходные прямые пересекаются в точке, т.е.

то

В-третьих, любая прямая пучка получается из уравнения при некотором значении(доказательство аналогично случаю а)).

Итак, рассматриваемое уравнение есть уравнение пучка.

Замечание. Из этого уравнения нельзя получить только одно уравнение прямой, принадлежащей пучку: , которое не получается ни при каком значении.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение пучка прямых на плоскости.

2. Что такое уравнение пучка прямых?

3. Запишите уравнение пучка, если известен центр пучка.