Действительно, если точка принадлежит поверхности, определяемой уравнением, то координаты точкиудовлетворяют этому уравнению:. Тогда этому уравнению удовлетворяют координаты точки, где- любое число. Но точкас такими координатами есть любая точка прямой, которая проходит через точкупараллельно осиOZ , следовательно, эта прямая целиком принадлежит поверхности, определяемой уравнением , и, по определению, эта поверхность - цилиндрическая с образующей параллельной осиOZ .

Аналогично, - уравнения цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными соответственно осямOZ и OY.

Замечание. На координатной плоскости XOY уравнение определяет линию, которая называется направляющей рассматриваемой цилиндрической поверхности.

Пример. Уравнение в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной осиOZ . Направляющей служит окружность радиуса R с центром в начале координат, следовательно, данное уравнение есть уравнение кругового цилиндра.

КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Определение. Поверхность S называется конической с вершиной в начале координат O, если для любой точки , принадлежащейS, прямая, проходящая через точки O и , целиком лежит на поверхностиS.

Уравнение , где- однородная функция переменных, определяет коническую поверхность с вершиной в начале координат (- однородная функция порядкаn, если для любого t имеем , например,- однородная функция второго порядка).

Пусть точка принадлежит поверхностиS, определенной уравнением , где- однородная функция порядкаn. Рассмотрим

прямую, проходящую через начало координат O и точку , и обозначим черезпроизвольную точку, принадлежащую этой прямой (рис.29). Так как радиус-векторы

Рис. 29

коллинеарны, то существует число такое, чтоили

Подставим координаты точки в левую часть данного уравнения:(, так как), следовательно, любая точка прямой, проходящей через точкиO и , принадлежитS. Таким образом, уравнение определяет коническую поверхность.

Пример. Уравнение есть уравнение конической поверхности, так как- однородная функция второго порядка.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

По аналогии с плоскими линиями устанавливается классификация поверхностей.

Если левая часть уравнения является многочленом степени n, то алгебраическая поверхность называется поверхностью n-го порядка.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЛИНИЙ

Для определения координат точек пересечения поверхностей, линий или поверхности и линии следует рассматривать совместно уравнения, определяющие рассматриваемые геометрические объекты.

Замечание. Курс аналитической геометрии ограничивается изучением алгебраических линий и поверхностей первого и второго порядка.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение уравнение линии на плоскости. Определение параметрических уравнений линии.

2. Дайте определение уравнения поверхности и уравнений линии в пространстве.

3. Напишите уравнение цилиндрической поверхности.

4. Напишите уравнение конической поверхности.

§5. Линейные образы на плоскости

Предположим, что на плоскости задана, декартова прямоугольная система координат. Рассмотрим геометрические объекты на плоскости, определяемые уравнениями первого порядка (линейными уравнениями).

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

0

Рис. 30.

Пусть на плоскости заданы точка и вектор. Следует записать уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно вектору(начало вектораобычно помещают в точку, рис. 30).

Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когдаилиЕслии- радиус-векторы соответственно точеки, тои условиепримет вид. Полученное равенство есть векторное уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно вектору; последний называется нормальным вектором этой прямой.

O

Рис. 31.

З амечание. Если начало нормального векторапоместить в начало координат и при этом векторбудет направлен в сторону прямой (рис. 31), то в произведениизначениеравно расстояниюOQ от начала координат до прямой. Если это расстояние обозначить через , то векторное уравнение прямойпримет вид. В случаеэто уравнение имеет види называется нормированным (нормальным) уравнением прямой в векторной форме.

Векторное уравнение прямой можно также получить, если задать точку и вектор, параллельно которому проходит прямая через данную точку (рис. 32). В этом случае точкапринадлежитпрямой тогда и только тогда, когда, откуда следует, что для любой точки, принадлежащей прямой, существует числотакое, чтоили. Полученное уравнение – векторное уравнение прямой, проходящей через точкув данном направлении.

Вектор , определяющий направление прямой, называется направляющим вектором этой прямой, скалярная величина- параметром.

Рис.32

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Пусть в заданной системе координат имеем , тогдаи векторное уравнение прямойв координатной форме примет вид.

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку , перпендикулярно данному направлению, которое определяется вектором.

Если ввести обозначение , то получим общее уравнение прямой.

НОРМИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Координатами единичного вектора являются его направляющие косинусы, поэтому , если единичный вектор , то нормированное уравнение прямойв координатной форме будет иметь вид.

Так как (рис. 31), то нормированное уравнение прямой обычно записывают в виде

.

Рассмотрим алгоритм приведение общего уравнения прямой к нормированному виду. Нормальный вектор прямойследует преобразовать в единичный:

.

Для этого обе части уравнения данной прямой умножим на :

или .

В нормированном уравнении прямой свободный член , где- расстояние от начала координат до этой прямой, следовательно, обе части уравнения, если это необходимо, следует умножить на (-1). Таким образом, чтобы общее уравнение прямой привести к нормированному виду, обе части данного уравнения следует умножить на

,

где знак должен быть противоположным знаку С.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ