Если , то из векторного уравненияполучим

которые называются параметрическими уравнениями прямой.

КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Если исключить параметр из параметрических уравнений (или записать в координатной форме условие), то получим каноническое уравнение прямой

или уравнение прямой, проходящей через данную точку , параллельно вектору(в данном направлении).

Замечания. 1. Если одна из координат направляющего вектора равна нулю, то каноническое уравнение в виде, например,

означает, что уравнение прямой есть (это следует из параметрических уравнений), апринимает любые значения.

2. Чтобы записать уравнение прямой, достаточно знать какую-либо точку, через которую она проходит, и направление перпендикулярное или параллельное этой прямой. Направление задается при помощи вектора, модуль которого может иметь любое значение, например, уравнения

и

определяют одну и ту же прямую.

3. Прямая – линия первого порядка, так как уравнение любой прямой в координатной форме (общее, каноническое, нормированное) есть алгебраическое уравнение первого порядка.

Обратное утверждение также справедливо: линия первого порядка есть прямая линия.

Действительно, пусть дано уравнение , где- какие угодно постоянные с единственным ограничением:. Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение:.

Из данного уравнения, вычитая последнее тождество, получим уравнение, эквивалентное исходному:

.

Если координаты некоторой точки удовлетворяют этому уравнению, то это означает, что, где, откуда следует, что точкапринадлежит прямой, проходящей через точкуперпендикулярно вектору. Следовательно, уравнениеопределяет прямую линию.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Рис. 33.

У глом наклона прямой к осиOXназывается угол междуOXи прямой, отсчитываемо от осиOXв положительном направлении (рис. 33). Если этот угол обозначить символом, то из определения следует, что

0 1

Рис. 34.

Угловым коэффициентом прямой называется

Пусть прямая проходит через точку , а направляющий векторимеет первую координату равную единице, тогда вторая координата этого вектора равна(рис. 34). Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точкув направлении вектора:

,

откуда или, где. Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку. Если ввести обозначение, то уравнение примет вид

Замечания. 1. Если прямая параллельна оси OX, тои уравнение прямой имеет вид

2. Если прямая параллельна оси OY, то для такой прямой угловой коэффициент не существует и уравнение такой прямой невозможно представить в виде

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Выведите векторное уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярно данному направлению.

2. Выведите векторное уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку в данном направлении

3. Запишите общее уравнение прямой.

4. Выведите нормированное уравнение прямой.

5. Запишите параметрические уравнения прямой и уравнение прямой в канонической форме.

6. Выведите уравнение прямой с угловым коэффициентом.