II. Практическая часть Задание на практическую часть

Выполнить разработку цифрового фильтра с заданными характеристиками и решить следующие задачи

1) Выбрать класс фильтра;

2) Определить порядок фильтра;

3) Определить постоянную фильтра τ;

4) Провести дискретизацию передаточной функции аналогового фильтра-прототипа;

5) Определить на основании системной функции вид фильтра;

6) Определить частотный коэффициент передачи;

7) Если фильтр рекурсивный, провести проверку на его устойчивость;

8) Определить алгоритм функционирования цифрового фильтра;

9) Определить структурную схему фильтра.

Пример синтеза второго порядка Исходные данные

Канал миографии (контроль мышечной системы легких)

1. Параметры информативного сигнала:

- амплитудное значение информативного сигнала, U _k ………............…………............0,5-3 мВ

- рабочая полоса частот, F_u ……………………………......................................................1 - 20 Гц

- погрешность восстановления сигнала, U_k ……......................................…..............................3%

2. Параметры помехи:

- уровень помех, U_………………………………............................................................0,3-0,5 мВ

- спектр помех, F_ ………………………………………….............................................10-150 Гц

2.1. Расчет параметров цифрового фильтра

1.Выбираем класс фильтра. В соответствии с рекомендациями класс фильтра выбираем в виде апериодического фильтра, описываемого уравнением (3.13).

2. Определяем порядок фильтра. Принимаем в соответствии с рекомендациями преподавателя по­рядок фильтра n=2.

3. Определяем постоянную фильтра τ в соответствии со следующими уравнениями, полученными путем преобразования неравенств:

1/(τ₁²·F_umax ²+1)^n/2≤α_x (2.1)

1/(τ₂²·(F_{ max} )²+1)^n/2 ≥ А₁,

Получаем:

[(^n/2√(1/α_x-1) / (F_umax) ²]^1/2 ≤ τ_1, (2.2)

[(^n/2√(1/А₁-1) / (F_{ max} )²]^1/2 ≥ τ_2,

где n - порядок фильтра; α_x – отношение допустимой погрешности Δ_х, вносимой в полезный сиг­нал, к максимальному уровню помехи в сигнале; А₁ - минимальное допустимое значение АЧХ фильтра при максимальной рабочей частоте F_umax; F_{ max} – частота помехи; τ₁ – нижнее граничное значение постоянной фильтра; τ₂ – верхнее граничное значение постоянной фильтра.

А₁ и α_x определяются следующим образом:

А₁ = (U _{k max} - U_k ^доп)/U _{k max}, (2.3)

α_x = σ_∆Uк /U _{k max}, (2.4)

где U _kmax – максимальное значение сигнала; U_k ^доп– допустимая погрешность сигнала; σ_∆Uк–слу­чайная составляющая сигнала (см.лаб.раб.№1 стр.30).

∆Uk^{доп =} 0,3 мВ,

σ _∆Uk ^доп = 0,1 мВ;

Подставив в выражения (2.2) и (2.3) исходные данные, получаем:

А₁ = (3 мВ – 0,3 мВ)/3 мВ = 0.9;

α_x = 0.1 мВ /3 мВ = 0.033.

Определим постоянную фильтра τ, подставив полученные значения А₁ и α_x в выражение (2.2)

[(1/0.033 -1)/(150 Гц)²]^1/2 ≤ τ_1,

[(1/0.9-1)/(10 Гц )²]^1/2 ≥ τ_2,

0.033≤ τ₁ τ₂ ≤ 0.036.

Таким образом, имеем следующий диапазон допустимых значений постоянной фильтра τ:

0.033≤ τ ≤ 0.036.

Выбираем постоянную фильтра τ = 0.035.

4. Проводим дискретизацию передаточной функции W_ф(S)=1/(τ·s+1)² путем перехода от передаточной функции к системной, сделав следующую замену:

s = (1-z^-1)/Δ, (2.5)

где Δ = 0.00606 с (см.лаб.раб.№1 стр.32)

После преобразований получаем системную функцию:

H(z)=1/[(0.035·(1 - z^-1)/0.00606)+1]² =(0.00606)²/(0.041 - 0.035·z^-1)²=

= 0.022/(0.00169-0.00287·z^-1+0.00123·z^-2),

H(z) = 0.0023/(1-1.7·z^-1+0.73·z^-2). (2.6)

5. Определяем на основании системной функции H(z) вид фильтра

Вследствие того, что полученная системная функция (2.6) имеет следующий вид:

_{m n}

H(z)=(∑ a_k·z^-k)/(1-∑ b_k·z^-k),

^{k=0 k=0}

где m=0, n=2, a₀=0.022, b₁=1,7, b₂=0.73, делаем вывод, что цифровой фильтр является рекур­сивным.

6. Определяем частотный коэффициент передачи по следующей формуле:

_{m n}

k(jwΔ)=( ∑ a_k·e^{- jwkΔ})/(1-∑ b_k· e^{- jwkΔ}).

^{k=0 k=0}

Получаем:

k(jwΔ) = 0.022/(1-1.7· e^{- jwΔ} + 0.73· e^{-2 jwΔ}).

7. Проводим проверку фильтра на устойчивость. Для этого приведем уравнение (2.6) к виду:

H(z)=А·[(z^-1-β₁)· (z^-1-β₂)…(z^-1-β_m)]/[(1-γ₁·z^-1)·(1-γ₂·z^-1)...(1-γ_n·z^-1)].

Получаем:

H(z) = 0.022/(1-0,82·z^-1)·(1+0,486·z^-1).

Проведем проверку фильтра на устойчивость, исходя из следующего условия: рекурсивный цифровой фильтр называют устойчивым, когда модули полюсов (корней характеристического уравнения) его системной функции меньше 1.

Поскольку γ₁=0.82<1 и γ₂=0.486<1, рекурсивный фильтр устойчив.

8. Определяем алгоритм функционирования фильтра. Для этого подставим в выражение (1.8) ко­эффициенты и получим разностное уравнение, определяющее алгоритм функционирования рекурсивного фильтра:

y(iΔ)= 0.022·x(iΔ)+ 1.7·у(iΔ-Δ)+ 0.73·у(iΔ-2Δ).

9. Ввиду того, что мы получили фильтр с системной функцией вида:

H(z) = 0.022/(1-1.7·z^-1+0.73·z^-2),

структурная схема полученного цифрового рекурсивного фильтра принимает следующий вид (рис.1)

Рис.1. Структурная схема цифрового рекурсивного фильтра 2 порядка

Значения коэффициентов: а₀ = 0.022; b₁=1.7; b₂=0.73.

Выводы

1. В ходе разработки цифрового фильтра были получены:

- тип цифрового фильтра: рекурсивный фильтр второго порядка (устойчивый);

- параметры цифрового фильтра: постоянная времени τ=0.035 и интервал дискретизации Δ=0.00606 с.

2. В ходе расчетов были получены:

- системная функция:

H(z) = 0.022/(1-1.7·z^-1+0.73·z^-2);

- частотный коэффициент передачи:

k(jwΔ) = 0.022/(1-1.7· e^{- jwΔ} + 0.73· e^{-2 jwΔ});

- разностное уравнение фильтра:

y(iΔ)= 0.045·x(iΔ)+ 1.5875·у(iΔ-Δ)+ 0.625·у(iΔ-2Δ).

Из выражения (2.6) видно, что фильтр является нерекурсивным в том случае, если знаменатель этого выражения равен 1. А это возможно только при равнении нулю всех корней характеристического уравнения знаменателя (полюсов). Определяя их значения (два корня, т.к. фильтр второго порядка), получили γ₁=0.82 и γ₂=0.486, соответственно фильтр рекурсивный. Причем модули обоих корней – меньше единицы, что свидетельствует об устойчивости фильтра.