Министерство образования и науки рф Казанский государственный технический университет им.А.Н.Туполева

Факультет Автоматики и Электронного приборостроения

Кафедра пиис

Методические указания к лабораторной работе №3

по дисциплине:

Методы обработки биомедицинских сигналов и данных

Основы цифровой фильтрации.

Синтез и анализ цифровых фильтров

Автор-составитель

А.А.Порунов

Казань2007г.

Содержание

Цель лабораторной работы....................................................................................3

I.Краткие сведения из теории

1.1. Общие сведения о цифровых фильтрах.........................................................4

1.2. Синтез цифровых фильтров............................................................................6

II.Практическая часть

Задание на практическую часть..............................................................................9

Исходные данные.....................................................................................................9

2.1. Расчет параметров цифрового фильтра...........................................................9

Выводы.....................................................................................................................12

Заключение...............................................................................................................13

Литература................................................................................................................14

Цель лабораторной работы

1. Приобрести навыки инженерного анализа и расчета цифровых фильтров;

2. Изучить алгоритм процесса разработки цифровых фильтров и основных этапов

их проектирования.

I. Краткие сведения из теории

0. 1.1. Общие сведения о цифровых фильтрах

Цифровой фильтр, как и аналоговый, можно представить в виде системы (аппа­ратура или про­грамма для ЭВМ), которая преобразует последовательность число­вых отсчетов x(kΔ) входного сигнала в последовательность числовых отсчетов у(kΔ) выходного сигнала (где к – число, опреде­ляющее номер отсчета; Δ – период, через который проводятся отсчеты).

Математическая теория цифровых фильтров переносит на случай дискретных сигналов все ос­новные положения, известные из теории линейных систем, преобра­зующих непрерывный сигнал.

Линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал x(t)таким образом, что на ее выходе возникает сигнал у(t), равный свертке сигнала x(t) и импульсной характеристике h(t) системы (h(t) – реакция системы на входное воздействие в виде дельта-функции):

_{∞ ∞}

у(t) = ∫ x(τ)h(t-τ)dτ = ∫ h(τ) x(t-τ) dτ. (1.1)

^{- ∞ - ∞}

Для того чтобы обобщить выражение (3.1) для дискретных (цифровых) систем, вводится поня­тие импульсной дискретной характеристики цифровой системы (циф­рового фильтра). По опреде­лению импульсная дискретная характеристика дискрет­ного фильтра представляет собой дискрет­ный сигнал {h_k}={h(kΔ)}, который явля­ется реакцией цифрового фильтра на «единичный им­пульс» в виде дискретной по­следовательности 1,0,0,... Значения выходного фильтра будут равны {h₀}={h(0Δ)}, {h₁}={h(1Δ)}, {h₂}={h(2Δ)},... и представляют собой отсчеты импульсной дискрет­ной характеристики:

{h(kΔ)}= h(0Δ), h(1Δ), h(2Δ),...

Линейный цифровой фильтр является стационарным, если при смещении вход­ного «единич­ного импульса» на любое число интервалов дискретизации им­пульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме, на­пример:

(0,1,0.0,...) (0, h₀, h₁,...);

(0,0,1,0.0,...) (0, 0, h₀, h₁,...).

используя понятие импульсной дискретной характеристики {h_k}, можно полу­чить алгоритм функционирования цифрового фильтра, определяющий значение его выходного сигнала {у_k} в момент произвольного m-го отсчета, как:

y(mΔ)=y_m=x(0)·h(mΔ) + x(Δ)·h(mΔ-Δ) +...+ x(mΔ)·h(0)= (1.2)

_{m m}

= x₀·h_m+ x₁·h_m-1+…+ x_m·h₀ = ∑ x_k· h_m-k = ∑ h_k· x_m-k.

^{k=0 k=0}

Формула (3.2) играет ведущую роль в теории линейной цифровой фильтрации и показы­вает, что выходная последовательность {у_k} есть дискретная свертка вход­ного дискретного сиг­нала {х_k} и импульсной дискретной характеристики {h_k}. В момент каждого m-го отсчета цифро­вой фильтр проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного дискретного сигнала, при этом роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной дис­кретной характеристики.

необходимо отметить, что в физически реализуемых цифровых фильтрах им­пульсная дискрет­ная характеристика равна нулю в отсчетных точках, предшест­вующих моменту подачи входного импульса, поэтому операцию суммирования в формуле (3.2) можно распространить на все поло­жительные значения индекса к, т.е.

_{m m}

y(mΔ)=y_m= ∑ x(kΔ)· h(mΔ-kΔ) = ∑ h_k· x_m-k. (1.3)

^{k=0 k=0}

Если на вход цифрового фильтра подать гармоническую последовательность вида:

{х_k}={A·e^j(wkΔ+φ)},

то выходной сигнал фильтра {у_k} будет иметь структуру дискретной гармонической последова­тельности, общий член которого равен:

_∞

y(mΔ)= у_k = A·e^j(wkΔ+φ)=∑ A·e^j(wkΔ+φ) h(mΔ),

^m=0

т.е. выходные отсчеты получаются из вводных путем умножения последних на ком­плексное число: _∞

k(jwΔ)=∑ A·e^j(wkΔ+φ) h(mΔ),

^m=0

которое называется частотным коэффициентом передачи цифрового фильтра.

Аналогично передаточной функции непрерывных линейных систем для линей­ного цифро­вого фильтра вводят понятие системной функции H(z) равной от­ношению Z-преобразования вы­ходного сигнала Y(z) к Z-преобразованию сигнала на его входе X(z), которая одновременно явля­ется и Z-преобразованием отсчетных зна­чений импульсной дискретной характеристики {h_k} циф­рового фильтра, т.е.:

_∞

H(z)= Y(z)/X(z)=∑ h_k·z^-k. (1.4)

^к=0

Из сравнения выражений (3.3) и (3.4) видно, что частотный коэффициент пере­дачи цифро­вого фильтра k(jwΔ) получается из системной функции H(z), если в последней выполнить подста­новку:

z=e ^jwΔ.

Частотный коэффициент передачи цифрового фильтра можно представить в виде:

k(jwΔ)=| k(jwΔ)|·e ^jφ(wΔ), (1.5)

где k(jwΔ) определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) фильтра; φ(wΔ) определяет фазочастотную характеристику (ФЧХ) фильтра.

Как следует из выражения (3.3), частотный коэффициент передачи цифрового фильтра есть периодическая функция частоты с периодом, равным частоте дискре­тизации: w₀=(2π/Δ)=2π·F₀.

Трансверсальными (нерекурсивными) цифровыми фильтрами принято назы­вать цифровые системы, в которых при формировании выходного сигнала в 1-й мо­мент отсчета не используются его значения в предшествующие моменты отсчета. Такие фильтры работают в соответствии с ал­горитмом, описываемым разностным уравнением:

y(iΔ)=a₀·x(iΔ)+ a₁·x(iΔ-Δ)+…+ a_m·x(iΔ-mΔ), (1.6)

где коэффициенты a₀, a₁,... a_m являются соответствующими значениям h₀, h₁,… h_m импульсной дискретной характеристики фильтра; m – порядок трансверсального цифрового фильтра.

Системная характеристика и частотный коэффициент передачи цифрового фильтра имеют соответственно вид:

H(z)= a₀ + a₁·z^-1+…+ a_m·z^-m

k(jwΔ)= a₀ + a₁·z ^-jwΔ +…+ a_m·z^{-m jwΔ} (1.7)

Трансверсальные фильтры называют иногда фильтрами с конечной импульс­ной характеристи­кой (КИХ-фильтры). При аппаратной реализации трансверсальных фильтров основ­ными элементами служат устройства задержки (сдвиговые реги­стры) отсчетных значений на ин­тервал дискретизации, масштабные звенья, выпол­няющие в цифровой форме операции умножения отсчетных значений входного сиг­нала на соответствующие коэффициенты импульсной дискрет­ной характеристики, сумматор, где складываются сигналы с выхода масштабных звеньев, образуя отсчет выходного сигнала, и ячейки памяти, где хранятся прошлые отсчеты входного сиг­нала и элементы импульсной дискретной характеристики.

Рекурсивный цифровой фильтр характерен тем, что для формирования i-го от­счета y(iΔ) используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигналов. Разностное уравнение, определяющее алгоритм функционирования рекур­сивного фильтра, имеет вид:

y(iΔ)= a₀·x(iΔ)+ a₁·x(iΔ-Δ)+…+ a_m·x(iΔ-mΔ) + b₁·y(iΔ-Δ)+…+ b_n·у(iΔ-nΔ). (1.8)

Системная функция и частотный коэффициент передачи рекурсивного цифро­вого фильтра соответственно принимают вид:

_{m n}

H(z)= (a₀ + a₁·z^-1+…+ a_m·z^-m)/(1-b₁·z^-1-…- b_n·z^-n)=(∑ a_k·z^-k)/(1-∑ b_k·z^-k). (1.9)

^{k=0 k=0}

_{m n}

k(jwΔ)=( ∑ a_k·e^{- jwkΔ})/(1-∑ b_k· e^{- jwkΔ}).

^{k=0 k=0}

Рекурсивный фильтр в своих элементах хранит информацию о предшест­вующих состоя­ниях. Поэтому, если заданы некоторые начальные условия, т.е. сово­купность значений y(iΔ-Δ),...y(iΔ-nΔ), то фильтр будет циклически образовывать на выходе элементы бесконечной после­довательности y(iΔ+Δ), y(iΔ+2Δ),..., играющей роль свободных собственных колебаний. Поэтому такой фильтр называют фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Цифровой фильтр как любая динамическая система может быть устойчивым или неустойчи­вым.

Линейный цифровой фильтр с постоянными параметрами называется устойчи­вым, если его импульсная характеристика удовлетворяет условию:

_∞

∑|h_k| < ∞. (1.10)

^k=-∞

Для трансверсального (нерекурсивного) фильтра импульсная дискретная харак­теристика имеет конечную протяженность и поэтому этот тип фильтра всегда устойчив.

Условие ограниченности отсчетных значений выходного сигнала рекурсив­ного фильтра во временной области определяет следующее условие устойчивости в z-области: если задана систем­ная функция рекурсивного фильтра:

H(z)= (a₀ + a₁·z^-1+…+ a_m·z^-m)/(1-b₁·z^-1-…- b_n·z^-n), (1.11)

то числитель и знаменатель ее являются полиномами комплексной переменной z и поэтому могут быть разложены на простые сомножители. Тогда системная функция фильтра будет иметь вид:

H(z)=А·[(z^-1-β₁)· (z^-1-β₂)…(z^-1-β_m)]/[(1-γ₁·z^-1)·(1-γ₂·z^-1)...(1-γ_n·z^-1)], (1.12)

где β_i и γ_j – действительные либо комплексные сопряженные корни. Величины β_i на­зывают ну­лями, а γ_j – полюсами системной функции.

Рекурсивный цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающие в нем свобод­ные колебания сигнала на выходе есть невозрастающая последователь­ность независимо от выбора начальных условий, т.е. y(nΔ) < M при n→ ∞, где М-не­которое наперед заданное число.