1.2. Синтез цифровых фильтров

При построении фильтров помех в измерительных каналах ИВС и других сис­тем медицин­ского назначения требования к ним можно свести к следующим:

- фильтры должны обеспечивать фильтрацию помех до уровня допустимой статической погрешно-

сти измерительного канала;

- искажение амплитуды полезного сигнала, вносимое фильтром в диапазоне рабочих частот, не

должно превышать величины допустимой динамической погрешности измерительного канала;

- запаздывание полезного сигнала, вносимое фильтром, должно быть минимальным или учтено

при последующей обработке.

В ряде случаев фильтры, используемые с измерительных каналах медицин­ской аппаратуры, могут быть сведены к многозвенным активным фильтрам, доста­точно просто реализуемым на усилителях постоянного тока или в алгоритмах циф­ровой обработки с передаточной функцией вида:

W_ф(S)=1/(τ·s+1)ⁿ, (1.13)

где τ и n – постоянная времени и порядок многозвенного фильтра. При этом задача обеспечения помехоустойчивости измерительного канала сводится к определению величины τ и n фильтра в зависимости от его динамических характеристик, ампли­туды и частотного спектра полезного сиг­нала и действующих помех.

Аналитические выражения, определяющее изложенные требования к каналу фильтрации, можно представить в виде:

1/(τ₁²·w_α²+1)^n/2≤α_x (1.14)

1/(τ₂²·(w_{x max} )²+1)^n/2 ≥ А₁,

где α_x – отношение допустимой погрешности Δ_х, вносимой помехами в полезный сигнал х, к мак­симальному уровню помехи в сигнале; А₁ – минимальное допустимое значение амплитудно-час­тотной характеристики фильтра (или коэффициент ослаб­ления полезного сигнала) при макси­мальной рабочей частоте w₀=w_{x max}; w_п – частота помехи.

При известных характеристиках полезного сигнала, помехи и заданных требова­ниях А₁ и α_x можно определить постоянную времени τ и порядок n много­звенного аналогового фильтра, кото­рый далее реализуется аппаратно или в устрой­стве цифровой обработки сигналов.

При проектировании цифровых фильтров или алгоритме цифровой фильтра­ции используют приемы синтеза, которые существенным образом базируются на свойствах аналоговых цепей, служащих модельными прототипами цифровых фильтров и алгоритмов обработки.

При использовании метода инвариантных импульсных характеристик вно­сится предположе­ние о том, что синтезируемый цифровой фильтр должен обладать импульсной дис­кретной характеристикой, которая является результатом дискрети­зации импульсной характери­стики соответствующего аналогового фильтра-прото­типа. В этом случае, задаваясь интервалом дискретизации Δ, по импульсной харак­теристике h(t) аналогового фильтра-прототипа определя­ются отсчетные значения h₀, h₁,...h_m импульсной дискретной характеристики фильтра, по которой строят алго­ритм функционирования и определяют другие характеристики фильтра - системную функцию H(z) и частотный коэффициент передачи k(jwΔ) (АЧХ и ФЧХ). Степень приближения характеристик синтезированного цифрового фильтра к характеристи­кам аналогового фильтра-прототипа зависит от выбора интервала дискретизации Δ. По результатам сравнения АЧХ и ФЧХ фильтров уточняются структура и пара­метры цифрового фильтра, например, путем уменьшения шага дискретизации им­пульсной характеристики и увеличения порядка цифрового фильтра.

К выбору структуры и параметров цифрового фильтра, приближенно соответст­вующего свойствам аналогового фильтра-прототипа, можно подойти, осуществив дискретизацию диффе­ренциального уравнения, которое описывает ана­лог. При этом в отсчетных точках t = nΔ произ­водные в дифференциальном уравне­нии заменяют их конечными разностными выражениями вида:

(dX/dt)|_t=nΔ=(X(nΔ)-X(nΔ-Δ))/Δ=(X_n-X_n-1)/Δ

(d²Y/dt²)| _t=nΔ=((dY/dt)|_t=nΔ - (dY/dt)|_t=nΔ-Δ)/Δ= (1.15)

=[(Y(nΔ)-Y(nΔ-Δ))/Δ - (Y(nΔ-Δ)-Y(nΔ-2Δ))/Δ]·(1/Δ).

Подставляя в дифференциальное уравнение аналогового фильтра-прототипа значения произ­водных, выраженных через разностные выражения, получают разно­стные уравнения, описы­вающие алгоритм функционирования соответствующего цифрового фильтра. применяя к полу­ченному разностному уравнению z-преобразо­вание, получают системную функцию и частотный коэффициент передачи, опреде­ляющие структуру, параметры и характерные свойства цифрового фильтра.

При задании характеристик аналогового фильтра-прототипа в идее передаточ­ной функции W_ф(z) системную функцию H(z) соответствующего ему цифрового фильтра можно определить пу­тем замены оператора Лапласа s на (1-z^-1)/Δ.

При использовании метода идентификации частотных характеристик струк­туру и пара­метры цифрового фильтра определяют с помощью так называемого «би­линейного преобразова­ния», которое устанавливает связь между оператором Лап­ласа z-передаточной функции W_ф(s) ана­логового фильтра-прототипа и оператором z соответствующей системной функции H(s) цифрового фильтра:

s = (2/Δ)·[(z-1)/(z+1)]= (2/Δ)·[(1-z^-1)/(1+z^-1)]. (1.16)

Полученная при такой замене системная функция H(z) цифрового фильтра оказывается дробно-рациональной и позволяет непосредственно получить алгоритм цифровой фильтрации.

При использовании «билинейного преобразования» связь между частотной характеристи­кой W_ф(jw) аналогового фильтра и частотным коэффициентом передачи k(jw) цифрового фильтра вытекает из соотношения между частотной переменной w_а аналоговой цепи и частотой w_ц цифро­вой системы вида:

w_а=(2/Δ)·tg(w_ц·Δ/2). (1.17)

Следовательно, если имеются частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) аналогового фильтра, то для получения соответствующей частотной характеристики цифрового фильтра необ­ходимо лишь произвести изменения масштаба частоты в соответствии с выражением (1.17).

Необходимо отметить, что при «билинейном преобразовании» импульсная дискретная харак­теристика цифрового фильтра не будет соответствовать импульсной характеристике анало­гового фильтра-прототипа.