книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

ми. Обобщенные силы, вызванные нелинейностями, рассчитывают­ ся для каждого элемента и затем суммируются в узлах.

Нелинейные члены. С помощью зависимости (9.95) и правила дифференцирования сложной функции нелинейные обобщенные силы могут быть выражены через частные производные по обоб­ щенным координатам

(9.110)

сил для координат [а] любого элемента «-ой гармоники. Вычислим теперь частные пр оизводные £/нл из (9.92) по ко­

ординатам яь а2, ...» ав. Для гармоник cos«6 и sin«0 эти про­ изводные имеют одинаковый вид:

После подстановки линейных частей деформаций и углов поворота из (9-101) в соотношение (9.111) замечаем, что интегрирование по SH 0 можно производить независимо. Интегралы по углу 0 в окружном направлении являются кубическими функциями синуса и косинуса и могут быть вычислены точно. Интегрирование по длине элемента в меридиональном направлении выполняется численным методом [70]. Численное интегрирование по s включает множество операций и требует только для размещения программы 20000 ячеек машин­ ной памяти. Поэтому при вычислении интегралов принимались различные допущения. Самое простое из них состоит в том, что линейные деформации и поворот могут быть аппроксимированы по длине элемента их значениями в средней точке. Для многих задач такая аппроксимация является достаточно точной, поскольку в мери­ диональном направлении оболочки мембранные усилия изменяются слабо.

Выражение (9.111) с учетом (9.110) и (9.101) и описанного выше

+S2 [.,.]+S S [...]+ SSi-ь

t=0 7=0 £=0 /=0 i‘=0 7=0 <9.И2)

So, si — начало и конец отсчета дуги s элемента. Последние три суммы имеют тот же вид, что и первая, но при следующих вза­ имных заменах. Если верхним пределом является N г, то соответ­ ствующая деформация заменяется на такую же, но с чертой и со­ ответствующие индексы при Су без черты снабжаются чертой и наоборот. Выражение (9.112) определяет частную производную от

(Jял по ат без черты. Частные производные по а,?, получаются из (9.112) путем замены— и на л и.замены индексов л на л и наоборот.

Нелинейные члены вычисляются по значениям обобщенных ко­ ординат при приращении нагрузки на предыдущем шаге или по значениям, полученным в предыдущей итерации. Новые значения обобщенных координат определяются из линейных уравнений вида-. (9.108). Подробно методы решения такого типа нелинейных задач будут рассмотрены ниже.

Замечания по программе для ЭВМ. При составлении программы оболочка должна быть описана координатами узлов, углами наклона в узлах, геометри­ ческими и механическими свойствами элементов. Усилия вводятся поэлементно, причем число точек на элементе в окружном направлении, в котором задаются

тельные обобщенные силы складываются с силами от внешней нагрузки. Линей­ ная система уравнений решается вновь. Такая процедура продолжается до тех

пор, пока процесс решения не сойдется. Далее вычисляются усилия и моменты в окружном направлении, по которым могут быть подсчитаны и напряжения.

5. ИДЕЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ НАГРУЖЕНИИ В МКЭ

Исходные уравнения. В гл. 6 показано, что для умеренных сме­ щений (порядка нескольких толщин) приемлемые результаты дает метод последовательных нагружений Власова, который позволяет свести нелинейную в общем случае задачу к решению последо­ вательности на каждом этапе нагружения линейных задач. Идея метода последовательных нагружений используется также при. ре­ шении задач теорий пластин и оболочек с помощью МКЭ [55, 86]. Ниже рассмотрим применение последовательных нагружений к исследованию гибких пластин, исходя из уравнений трехмерной нелинейной теории упругости.

Рассмотрим задачу о больших прогибах пластины, где, как и ранее, относительные деформации остаются малыми по сравнению с единицей, а градиенты перемещений и связанные с ними углы поворота не малы.

Пусть с пластиной в недеформированном состоянии связана прямоугольная декартова система координат X, Y , Z. При при­ ложении к пластине вектора нагрузок [Р ] она определенным образом сдеформируется. Такое равновесное положение будем на­

чает частное дифференцирование.

Придав нагрузке некоторое приращение [ДР], получим новое равновесное положение, которое будем называть конфигурацией с «приращением» и обозначать Г -f-ДГ. В этой конфигурации вектор

Рассматривая приращения перемещений Д(7,- как варьируемые, применим принцип возможных перемещений к конфигурации Г + + ДГ. Получим

где G0— исходный объем; So — поверхность, ограничивающая объем G0; Ti 4- ATi — компоненты вектора напряжений, действующие на поверхности тела. Уравнения равновесия для конфигурации Г можно получить из (9.120), устремив Д7\, Доц и ДUi к нулю. Тогда

Первое слагаемое в (9.122) представляет собой работу «начального» напряженного состояния на вариациях приращений градиентов перемещений и имеет тот же порядок, что и второе. Такая трак­ товка приводит к понятию «геометрической жесткости». Второе слагаемое в (9.122) выражает работу приращений напряжений на вариациях приращений перемещений. Выражение для приращений деформаций содержит согласно (9.118) члены, зависящие от гра­ диентов перемещений в «начальной» конфигурации. Правая часть (9.122) означает работу приращений обобщенной внешней нагруз­ ки [ДР] на вариациях приращений перемещений. Уравнение (9.122) справедливо для трехмерного тела, в частности для пластин.

Как известно, в прикладной теории пластин должен быть задан закон изменения перемещений по толщине. Ниже применим урав­ нения (9.122) для случая, когда перемещения подчиняются гипо­ тезам Кирхгофа при условии (1.56), т. е. при х = 0.

Далее в соответствии с идеей МКЭ исходную конструкцию МЫСft^

ленно разделим на N подобластей (элементов) так, что О’0 == U Gk. fe=i

В каждой подобласти, как это делалось и выше, введем локаль­ ную систему координат (х\, Х2 , *з) = {х, у, z). Пусть щ и щ + ДЩ— перемещения для конфигураций Г и Г + ДГ в локальной системе координат. Перемещения щ и приращения перемещений Ащ отно­ сятся к исходной форме элемента, ориентированной по координа­ там Xi, которые соответствуют положению Г.

Если относительные деформации малы, то, заменив (Д и ДUi на щ и Ащ в выражениях (9.114) и (9.119), получим выражения для описания напряженного и деформированного состояния эле­

Между выражениями (9.118) и (9.123) имеется большое различие, хотя по форме они подобны. При малых относительных деформа­ циях произведения в выражен (9.123) могут быть сведены к величинам высшего и и ^ мка малости с помощью достаточно малого разбиения исходной пластины на элементы, -'то, вообще говоря,

и изгибной [/Си] жесткостей

[Лм]

[К е ) = о

уЖесткость в глобальных координатах. Жесткость элемента, связанная с приращениями для элемента т в локальной системе координат, может быть записана в виде суммы

Тогда жесткость элемента в глобальной системе координат запишет­ ся так:

Уравнения равновесия, относящиеся к приращениям для всей

Метод решения. При заданном приращении нагрузки решается уравнение (9.141) относительно приращений узловых перемещений £Дс?]. Затем даются приращения узловым перемещениям и вычис­ ляются усилия, удерживающие элемент в равновесии. Разность между суммой уравновешивающих сил и приложенных нагрузок принимается в качестве вектора приращения нагрузки для следую­ щей итерации. Вычисляются новая матрица жесткости при данной геометрии и напряженном состоянии. Решение повторяется до тех пор, пока неуравновешенные узловые усилия не станут сколь угод­ но малыми.

6. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Вводные замечания. Существует достаточно" большое число ме­ тодов решения нелинейных алгебраических систем уравнений, по­ лучающихся при применении МКЭ к задачам теории пластин и оболочек с учетом геометрической нелинейности. Ниже, следуя обзорной работе [79], изложим некоторые из этих методов, укажем на особенности их применения и реализации на ЭВМ, а также пре­ имущества того или иного метода.

Методы решения такого типа задач удобно разделить на два класса: первый класс — методы, основанные на вычислении при­ ращений и не обязательно удовлетворящие условиям равновесия, и второй класс — самокорректирующиеся методы, расчет по которым проходит через равновесные положения оболочки или пластины.

Как указано выше, уравнение равновесия пластины или обо* лочки может быть записано в виде

Систему нелинейных алгебраических уравнений (9.143) необходимо разрешить относительно вектора [d].

Рассмотрим методы решения уравнений вида (9.143).

Метод приращений жесткости. Допустим, что при нагрузке [Qo] известно решение [do] уравнения (9.143). Далее необходимо полу­ чить решение [do + Ad] при нагрузке [Qo -f--ÂQ]. Эти величины долж­ ны удовлетворять уравнению равновесия. Поэтому подстановка их в (9.143) дает

Разложим последний член в ряд Тейлора. Получим

IQ' (№> +4<Ч)1= IQ*(M>])] + [ ^ д (] [А<*1 + • • •

Оставив в этом разложении два члена и подставив в (9.144), после преобразований получим

где

Правая часть выражения [Qt/([d])] из (9.146) представляет собой уравнение равновесия и равна нулю для истинного равновесного состояния [d0]. Следовательно, уравнение (9.145) сводится к такому

Это уравнение позволяет найти решение в точке, нагрузка в которой на один шаг приращения больше, чем в точке, решение для кото­ рой известно.

Модификация метода приращения жесткости (самокорректирую­ щийся метод приращений жесткости). При выводе уравнения (9.147) предполагалось, что на каждом шаге приращения нагрузки урав­ нения равновесия удовлетворяются автоматически. Однако уравне­ ния равновесия на каждом шаге вообще не удовлетворяются и член [Q(/([d])], определенный выражением (9.146), представляет со­ бой неуравновешенное усилие, которое необходимо приложить к конструкции, чтобы удержать ее в равновесии. Таким образом, уравнение самокорректирующегося метода приращений имеет вид (9.145).