книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ
..pdf3. Шарнирный, свободный в нормальном направлении контур
М \= 0 , Q\ = 0 , и = 0, V = 0. |
(1.98) |
4. Шарнирный, свободный в тангенциальном направлении контур
Mi = 0, N i — 0, и = 0, w = 0. |
(1.99) |
5. Жестко закрепленный контур
и — 0, о = 0, ш = 0, ^1 = 0. |
(1.Ю0) |
При определении напряжений пользуются следующими фор мулами:
е\\ = |
Ni |
12Mi |
Е |
|
атТ);— |
— + |
Т - ^ з “ + |
+ |
|||
022 — |
N2 |
\2 М2 |
.е |
|
7—У» а г |
"Х - + |
Ï~ |
( |
е т + Т |
||
|
|
012 В | + |
Т т |
|
О-101) |
Последние легко получаются из соотношений (1.31) с учетом (1.62) и (1.87) и гипотезы Кирхгофа — Лява.
При линейном изменении температуры Т по у и ат = const имеем
|
ет+ у*т = аГТ, |
|
|
|||
поэтому из (1.101) |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
IV, |
I2 M, |
|
Л?2 |
12М2 |
|
0,1 = 1 Г + |
|
°22= |
Х |
+ Т“£ з - |
(I,I02) |
|
Экстремальные напряжения на боковых поверхностях: |
|
|||||
± _ л , |
ем, |
± - |
лг2 |
вл1г |
|
|
а1 , - |
Т ± |
1 Г ’ |
022 ^ |
Т ± |
“ £ Г ’ |
|
|
0Î2= X ± ^ * |
|
|
<1Л03> |
||
3.УПРОЩЕННЫЙ ВАРИАНТ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК.
Влинейной теории тонких оболочек наряду с общими урав нениями широкое применение получили упрощенные уравнения, базирующиеся на некоторых дополнительных допущениях. Наи более распространен в линейной теории вариант уравнений, ко торые называют уравнениями теории оболочек Муштари — Дон нелла— Власова. В литературе иногда эти уравнения называют уравнениями пологих оболочек, или уравнениями технической теории оболочек. Рассмотрим упрощенный вариант для нелиней ной теории оболочек.
Предположим, что h = const |
и на оболочку действует усилие |
Ят~ 9 (я» (3), (Ç\ — Цч = 0). Для |
вывода уравнений пологих обо |
лочек используем с некоторыми |
упрощениями уравнения (1.83). |
При упрощении положим, что |
в формулах (1.52) для углов по |
ворота отбрасываем члены, содержащие тангенциальные переме щения и и V. В качестве деформаций принимаются выражения
(1.65), в которых Б], $2, ш, |
xi, Х2, |
т задаются при помощи фор |
мул (1.58). Таким образом, имеем: |
|
|
21 = в\ + |
~2 *ь |
Ki — xi> |
62 = 62 *Т ~2 ^2> |
^2 = *2Î |
|
о) — (012 + |
■frith, |
/Ci2 = 2х; |
|
1 du , |
1 дА , |
w_. |
|
_ ± < Ц , J_ дБ |
|
W |
|||||||
е\—7 я » Т |
ЛПДЙ |
|
п |
I “ |
R ЛЯ "• |
AR |
|
«4- |
||||||
А да |
1 |
AB ÔP |
|
|
|
В |
ар |
1 |
АВ да |
|
|
|||
|
|
|
_ |
в |
а /о \ |
, |
А |
д_(и\, |
|
|
|
|||
|
|
|
0)12 ~ |
А да[в) + |
В ар\Л/ ’ |
|
|
|
||||||
|
|
|
, |
|
1 dw |
« |
|
1 аш. |
|
|
|
|||
|
|
|
}' = - - T d ï ' ° 2 |
|
B d f; |
|
|
|
||||||
1 Ô»I . |
1 ал <. _ |
|
1 |
а /1 |
|
|
1 |
ал |
/ 1 аш\ |
|||||
*1 - Л |
аГ + ЛВар *2“ |
|
А д а \ А д а ) |
|
А В д $ ' \ В д $ ) ' |
|||||||||
1 |
|
t |
1 е в л |
|
1 _а_/_1_аш)___1_ав |
|
f г аш). |
|||||||
%2==W~df + лва« |
1 |
в ар\в |
ар/ |
лв аа *U d® /; |
||||||||||
2т - |
1 |
да |
|
|
, |
1 ^ 1 ___ 1_£Ё_ч |
|
|
||||||
|
|
Л |
AB ар Ü1 + |
В |
ар |
|
АВ да ü2 |
|
||||||
|
|
|
2 / а2а> |
1 ал аш |
|
i ав аш\ |
|
|
(1.104) |
|||||
|
|
|
лв \âïâp— T d f |
~да “ ■F |
ао ар/ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В первых |
двух |
уравнениях |
равновесия |
(1.83) |
|
пренебрегаем |
||||||||
перерезывающими усилиями Qi и Q2- Далее, как и в линейной теории оболочек, введем функцию усилий Ф по формулам:
д |
а / 1 эф \ |
1 |
ав аФ. |
|
|||
N\ — — j |
ар (в |
арj |
л2в аа аа * |
|
|||
1 |
a /1 |
аФ\ |
1 |
ал аФ. |
|
||
N 2 ~ ~ T d i \ A |
да) |
АВ2др а р ’ |
|
||||
1 |
/ д2ф |
1 ^ |
дФ |
1 55 дФ\ |
(1.105) |
||
S = АВ \д Щ '~ ~ 'Т $ "д * ~ ~ В"д* |
д$)' |
||||||
|
|||||||
В силу пологости оболочки, в третьем уравнении Гаусса — Кодацци (1.48) принимаем, что. АВ ~ Q. Тогда первые два уп
рощенные уравнения (1.83) удовлетворяются приближенно выра жениями (1.105).
Из соотношений упругости |
(1.84) |
при |
Т — Ос учетом (1.104) |
|||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
M i = — D M [ j ( | ; + 2 r 1 l ) |
|
|
+ B (V ÔF + Â W ) [ B W ) |
|||
M 2 = ^ D M [ j ( j p |
+ j ÿ ) |
(F |
| T) |
+ j ( |
vâïr + S‘âü‘) (xâr)_ ; |
|
u |
n |
1— v I d2w |
1 M dty___{ 3B cW) |
|||
Я = —D M - J - \-дЩ |
—X ар да |
В да d fij' |
||||
Из четвертого и пятого уравнений равновесия (1.83) при от брасывании моментных членов после подстановки в них (1.106) имеем:
Q; = - £ « ; r ^ r + J V A + s s *
$ = — D U j ^ + N i h + S K |
(1.Ю7) |
где
оператор Лапласа в криволинейной системе координат.
Из третьего уравнения равновесия (1.83) с учетом (1.107) находим
DMДДш— Aft® — ^g{J; l5 ( ^ i#i + S&2)] + Ц И (N2&2+ 5&i)]J= q,
(1.109)
где
оператор Бельтрами в криволинейных координатах.^ С учетом первых двух упрощенных уравнений равновесия
(1.83) и формул (1.104) для xIf х2 и * после пренебрежения .не которыми малыми членами и некоторых преобразований послед ний член в (1.109) запишем в виде
ж \ ш 1 В (TVA + SHH + 1 М (N&i + S8i))} = |
|
= Ni%\ + IV2X2H- 2 Sx == L (Ф, w), |
(î.iil) |
причем здесь усилия и кривизны заменяются через функцию усилий Ф и прогиб w по формулам (1.104) и (1.105).
Получим теперь второе разрешающее уравнение теории поло-- гих оболочек. Для этого в первых двух уравнениях совместности
деформаций (1.71) положим |
равным нулю члены с тангенциаль |
|||
ными деформациями Если |
подставить |
далее |
выражения |
(1.104) |
в полученные таким образом уравнения, то |
они также |
удовле |
||
творяются приближенно/как |
и выше, |
^ |
oj- |
|
Третье уравнение (1.71) с учетом соотношений упругости (1.87), выражений (1.104) и (1.105) после некоторых преобразований преобразуется в уравнение
|
J _ ДДф + ДkW + ^L{W , Ш) = 0, |
(1.112) |
|
где в |
выражении |
|
(1.113) |
|
L ( w ,w ) ~ 2 (XI*2 — ч:2) |
||
необходимо вместо изгибных деформаций |
подставить их значения |
||
через |
прогиб по формулам (1.104). Таким |
образом, |
в результате |
упрощений получаем следующую систему двух нелинейных уравг нений относительно прогиба w и функции усилий Ф:
DM^ |
W — Д*Ф — L (Ф, ш) = q\ |
|
_ L д д ф |
4 -ь кт + - j L ( ш, w) —0. |
1. 114( ) |
Первое уравнение эквивалентно уравнениям равновесия, второе — условиям совместности деформаций.
Система уравнений (1.114) получена в предположении, что жесткости DN и DM постоянны. Аналогичную систему можно по лучить также для оболочек переменной жесткости [38].
Наиболее простую форму уравнения (1.114) принимают в де картовых координатах х, у , где
. ._ ' ~ |
d2w |
д2Ф |
. d2w |
д2Ф |
п d2w д2Ф |
’ |
~ die2 ' |
d t? |
ду2 |
*~д)? ~~ |
дхду * дхЩ,’ |
(1.115)
Вывод системы уравнений (1.114) в прямоугольных декартовых координатах для случая R\ = const, R 2 = const приведен в [11].
В уравнения (1.114) входят две функции Ф и до. Поэтому и граничные условия на контуре оболочки должны быть записаны через прогиб до и функцию усилий Ф. Но иногда такой подход затрудняет формулировку некоторых вариантов граничных усло
вий. Например, в случае |
жесткого защемления |
= |
0, |
v = 0, |
до = 0 , |^ = 0j нельзя без |
интегрирования выразить |
и |
и v |
через |
функцию Ф. Тогда в качестве разрешающих уравнений выбирают упрощенные уравнения теории оболочек в перемещениях.
Приведем один из возможных вариантов таких уравнений для
оболочек переменной жесткости [21]. |
Будем считать, что |
h, Е, |
Ri и R 2 — функции координат в ортогональной декартовой |
систе |
|
ме xt у, т. е. полагаем а = х, ф= у, |
А = В — 1. |
|
В качестве исходной системы уравнений равновесия (см. (1.83)
и (1.111)) возьмем уравнения |
|
пологих |
оболочек в виде: |
||||
|
|
дх + d y ~ U' £ + | - * |
|||||
|
|
дМ\ |
. дН _ |
п |
|
|
|
|
|
дх |
+ Ли ~ |
Vi» |
|
||
ÔQ, |
9Q2 |
|
ду |
|
|
|
|
- N |
{г,+ ") |
ЛГ2 |
— 25 т = — Q-,. О. П6) |
||||
дх + |
~df |
||||||
|
|
|
|||||
Выражения деформаций через перемещения заданы в виде (1.65)
(1.58): |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
d£w |
|
ди |
|
|
|
|
A i = x , = |
|
||||
• > - £ + * ; |
+ |
т ( £ ) ‘ |
дх2 |
|
||||||
dv |
, w |
, |
1 |
/dwŸ |
v |
|
|
d2w. |
|
|
Z 2 = dï + /T2 + J ( w ) ■ = = |
|
|
||||||||
du |
, dv' |
, |
dwdw |
v |
12 — |
0 |
|
n.id2cc> |
(1.117) |
|
(1) = -r- |
“f- -г- |
4*- |
r:— |
^— , |
Д |
|
^ ----- ^ 4 n • |
|||
ôÿ |
0л: |
|
дх |
д у * |
|
|
|
|
дхду |
|
Подставив в соотношения упругости (1.87) вместо деформаций их значения через перемещения с помощью зависимостей (1.117), а последние — в уравнения (1.116), придем к следующей системе нелинейных уравнений теории пологих оболочек в перемещениях [21]:
|
D |
|
|
|
1 — Vд2и |
. 1 + Vd2v \ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ду’ 4~ |
|
dxdyj + |
|
|
|
|
|||||||
|
dDN (ди |
|
w |
|
I |
|
2 |
|
[dv. . |
w |
|
1 |
/дш\2' |
|
|
|||
+ |
|
+ |
/9ш\2 . |
|
|
|
||||||||||||
"9r { ^ + |
^ |
-2 (âj) |
|
+ V [ ^ + |
^ |
|
+ ‘2 ( ^ ) |
|
|
|||||||||
|
— (1 + |
V) |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^ + |
|
|
|
|
|
||||||
|
^ |
\dw d2w |
|
1 — v dw |
d2w |
, |
1 -J- |
v dw d2w . |
|
|
||||||||
= |
~ UN[ d x d x * + |
~ 2 ~ дх |
' ду2 + |
~ 2 ~ д^ШсГу^ |
|
|
||||||||||||
+ ж, я + WSÏ (щ) + |
|
|
+ |
|
т т .(ъ) - |
|
+ |
”> я г } |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 — v d2v |
. 1 -{- v |
д2и |
|
|
|
|
|
||||||
|
* © + ■ |
|
2 дх' |
; + |
|
— W |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
дхду) ^ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. 2 |
|
|
S+; +R |
+ |
T,I ( |
&[ |
) |
J - |
||||
+ - щ - щ + щ + '2щ ) |
|
, |
|
|||||||||||||||
. |
dD-fj (dv |
|
w |
, |
1 |
(dw\2 |
|
|
Tdu |
|
w |
|
1 |
[dw\ 21 |
|
|
||
|
. |
ч |
] |
. |
1 — Vô£>jv/du , |
dv , |
дш |
(W) _ |
|
|
||||||||
— (M -v) eT|4 - — |
|
|
f e + |
^ |
+ d7 * |
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
\dwd2w , |
1 — у9ш92ш , |
l - f vdmd2a> |
t |
|
|
|||||||||||
|
N\dÿ c;y2 |
|
2 |
9y ^x2 |
|
2 |
|
dxdw |
|
|
||||||||
+ |
+уШ4(5;) +Ж2¥+шёШ_(1+ |
°"8’ |
|
|
D MM w + |
, àDM dàw |
, |
dàw |
+ |
LDMà w - |
2 - ^ f ~ |
+ 2 - ^ |
^ |
|||
|
dx |
dy |
dy |
|
|
WDM d2w |
d?DM ô2w |
|
д2Рм g2w |
||
— (1 — v) { dx2 dy2 — 2 dxdy |
dx(dy |
|
dy2 dx2 , |
||
^ (du , w , |
1 /dw\2 . |
\dv , |
w |
1 |
/dw\2J| / 1 â2w\ |
— ° * { s + *î + 7 M + ' [ ъ * Щ + т [* ') Л ( й Г - « ? ) -
|
|
/dwy |
. |
[dv . w |
1 /doyN'hï / 1 |
|2, |
|
|
|
dlw\ |
|||||
_ д # Г£ + £ + ± / | ^ |
+ Ч® + *Г+ Т И |
JU si-ÿ r) + |
|||||
dy+ R, + |
2 |
(* |
|||||
. _ |
|
. I d u . d v . dwâw\„d2w„ |
, |
|
|||
+ D N ( |
|
v) |
+ |
Qx “f“ dx dy) dxdy |
|
|
|
+ (1 + v) J^A (D M * T) + D N £T ^ |
щ — Aa>j j. |
(1.119) |
|||||
Положив в (1.118), (1.119) l/i?i = 0 , придем к уравнениям цилиндрических оболочек переменной жесткости. Граничные усло вия для системы (1.118), (1.119) также следует формулировать в перемещениях. Это можно сделать всегда, даже если на гра нице заданы граничные условия в усилиях и моментах.
4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИН
Полагая в уравнениях равновесия (1.83) ^ - = 0,
дем к следующей системе уравнений:
dBNl |
дВ |
|
. |
1 |
dA2S |
|
я D |
da. |
da |
N 2 + — |
— |
= — ABqi, |
|||
|
|
A |
dp |
|
|
||
dAN2 |
dA |
|
1 dB2S |
|
|||
~ W |
dp Nl + |
В |
da |
= |
— ABq2, |
||
= 0, при
(1. 120)
|[ S ( Q . — Nib\ — S^2)l + [A (Q2— N 2^2— <S(h)l = —ABqv da
dBM1 |
dB w . |
1 |
dA2H |
ABQu |
|
|
da + |
A |
dp |
|
|
|
|
|
|||
dAM2 |
dA M |
1 dB2H |
= ABQ2. |
( 1. 121) |
|
dp |
dp Ml + |
В |
да |
|
|
Как видно из системы уравнений (1.120), (1.121), в случае геометрически нелинейной задачи теории пластин исходная сис тема не распадается на плоскую задачу и изгиб. Из этих урав нений путем упрощений можно также получить различные вари анты нелинейных уравнений теории пластин.
При выводе уравнений равновесия предполагают, что для первых двух уравнений равновесия метрика деформированной и недеформированной пластины совпадает.
Деформации для |
пластин, |
согласно (1.65) |
и (1.58): |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
s i= e i + |
-y0 b |
|
/Ci —*i; |
|
|||||
|
|
|
|
e2 = ^2 + ^ 02» |
|
K2 == x2t |
|
|||||||
|
|
|
|
to = |
a)i2+ ^id2> |
|
/Ci2= 2t; |
|
||||||
|
|
____] _ à u , ___1 dA |
|
xi = |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
в1~~ |
A да + |
AB dp V> |
A |
да |
|
AB dp * 2’ |
|
|||||
|
|
n _ |
\ dv , \ dB |
|
|
|
\ à b 2 |
|
\ dB |
|
||||
|
|
в2 ~~ |
B dp + |
AB да u ' |
*2 ~ |
B d f |
+ |
 B f a bi; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
В d / v \ , A д / и \ |
|
|
||||||
|
|
|
|
0)12~ |
A a®( 5 |
) + |
B 50 ( A J* |
|
|
|||||
|
|
|
л |
____ 1 |
(d2w |
|
1 dA dw |
1 |
dB 5œA |
|
||||
|
|
|
Âx ~ |
AB \dad0 — |
A dp да |
ТГда W P |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 dw |
„ |
|
|
1 |
dw |
|
( 1.122) |
|
|
|
|
|
h = ~ ~ÂÎ)â' |
®2= |
|
T W ' |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При |
получении |
соотношений неразрывности деформаций по- |
||||||||||||
лагаем |
l / # i = 0 , |
I/R2 — O. Из |
уравнений (1.71) получаем: |
|||||||||||
д В х 2 |
1 d A 2t |
д В |
п. д А х \ |
|
1 д В 2х |
д А |
_ п. |
|||||||
|
|
А |
др |
д а * 1 ~ и; |
да |
|
|
В |
да |
50 *2 |
~ ■* |
|||
|
д |
Г 1 (д В в 2 __1 d A 2(ù/2 |
д В |
|
У ] |
■ а Г 1 (d A z 1 |
|
|||||||
|
da[i4 |
\ |
да |
А |
др |
|
да |
Sl/J |
' |
|
\ ^Р |
|
||
|
|
- |
г |
'S^d |
r — w £2) ] + |
А в <К|*2 _ |
= °- |
(ЬШ) |
||||||
Соотношения упругости для изотропных пластин имеют вид
(1.87).
Если исключим из системы уравнений (1.120), (1.121) усилия с.помощью соотношений упругости и выражений (1.22), считая DN и DM зависящими от a и 0, то придем к системе нелиней
ных уравнений для пластин переменной жесткости в перемещениях. В декартовой системе координат этиуравнения имеют вид:
*= —DN [ |
d2w dw |
1 — ч dw d2w , |
1 -f |
ч dw d2w |
дх2 дх + |
2 дх ду2 ** |
2 |
W dxdÿ |
П (д2° I |
1 —v d*v |
» 1 + v |
JL |
|
DV^ 2+ |
2 дх2 |
+ |
2 |
a*ôy-j^ |
+ аШ +т(I)+*[!+т(£П- (1+’)*)+
|
|
+ |
1— у dPyy |
(du |
£y |
, дшdaA___ |
|
|
|
||||
|
|
2~ ÔA: |
\â ÿ ”• |
а д |
: <?* |
a/// |
|
|
\ д&q* |
||||
- D 'N |
d2wdw |
I —v dwd2w |
1 + v d w d w |
__/j |
i |
||||||||
^2 ^ |
+ |
2 a^ ax2 |
4 ------ |
л“ лгЛо |
V1 |
r |
v/ |
~àÿ |
|||||
|
-г- |
' |
|
2 a^ a*at/ |
|
|
|
||||||
|
|
^a2DMа2ш |
|
dy |
&/ |
|
,2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
л d2DMd2w _a2DA1 д^оЛ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
aÿ^ |
|
JM |
|
dy2 |
дх2 |
|
|
||
— (1 |
— |
V ) |
|
a*fy |
дхду |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
(du . |
1 /aa»\2 , |
гак, |
1 /3B Y ] \ £ Î? |
, |
|
|
|||||
= D"{^ + T(âj) +V[ ^ + T(â^) ])ал2 + |
|
|
|||||||||||
. |
n |
rao |
, |
î /аш\2, |
ra« |
i |
/аш\21\а^ш |
|
|
|
|||
+ °"{% + т (^ ) |
+ , |а*+ '5Лй ') J)ai,2 + |
|
|
||||||||||
|
i |
n /1 |
|
л (du , ao |
|
ate» ao»\а2и» , |
, |
|
|
|
|||
4" |
N( |
|
(ay |
дх~^~ dx dy )дхду ^ ^ |
|
|
|
||||||
|
|
4 - (1 + |
V ) [Д (Z>M*r) — A v e r - Д®]- |
|
|
(1.124) |
|||||||
При этом граничные условия формулируются также в пере мещениях. На практике часто используют уравнения пластин при
Я—const, соответствующие уравнениям (1.114). Положив в (1.114)
щ= 0, = 0, придем ,к уравнениям:
ДиДДдо — Ni* 1 4- N 2 * 2 4- 25т 4- Ц\ ^ |
ДДФ = т2— *1*2- (1-125) |
Дифференциальные уравнения (1.125) |
являются уравнениями |
Кармана [72] для гибких пластин. Граничные условия формули руются через функции w и Ф.
Как известно, широкое применение находят прямоугольные и круглые пластины. Приведем уравнения (1.125) для этих случаев. В декартовых координатах (А = В = 1, <х = х, {3= у) имеем:
АиДДдо = |
д2Фд2ш , д2Фд2W |
д2Ф d2w |
ду‘ дх* + дхг ду |
“ дхду дхду |
d2 wd2w
дх2 ду2 |
» |
(1.126) |
|
где
А А д* |
. О д 4 |
д* |
дд = —j4- 2 |
ду*' |
|
дх1 |
дх2ду2 |
|
В случае полярной системы координат (.<4 = 1, В = г, а = г
Р = в):
АА |
d2w I 1 дФ |
|
|
1 02Ф\ |
. / i dw , |
1 d2w\ д2Ф |
|
|||||
° мДДш = -в |
(т гг + 7 7 *) + (тат + J ;? ); |
|
||||||||||
|
“ |
|
n_d_( 1 |
5Ф\ |
|
^ |
/ 1 5оЛ , |
|
|
|||
|
|
1 дг \ г |
дО)’ дг |
\ Т dr j - W |
|
|
||||||
1 ААЛЧ |
= |
Г3 |
/ |
I |
|
ЗиЛ |
I* |
|
1 0Ы) |
1 02Ш\ |
) |
|
H |
^ |
| F |
|
|
( - _ |
|
j j - - 7 ( _ |
F + 7 |
_ j ,27, |
|||
где
Исходя из уравнений (1.125), можно также получить различ ные варианты уравнений для частных случаев напряженного со стояния пластин. Так, если пластина деформируется таким обра зом, что срединная плоскость свободна от усилий, то Ф = 0, и из (1.125) получаем дифференциальное уравнение жестких пластин
D mk à w = qv |
(1.128) |
т. е. приходим к линейной задаче.
Если пластина наряду с поперечной нагрузкой g-, подвергается
действию значительных усилий |
в срединной плоскости, |
которые |
можно считать независимыми |
от прогиба, то уравнения |
(1.125) |
принимают вид: |
|
|
£>мДДге> = L (ш, |
Ф) + qy; ДДФ = 0. |
(1.129) |
Здесь функция усилий Ф находится независимо из второго урав нения (1.129), а затем по известной функции Ф определяется прогиб w из первого уравнения. Решаемая таким образом' задача
линейна.
В случае абсолютно гибкой пластины необходимо положить -равной нулю изгибную жесткость, т. е. DM = 0. Тогда из (1.125) получим:
L (а», Ф) = — qyi ± ДДФ = ~ L (w, w). |
(ЫЗО) |
||
Последняя система нелинейна, но проще исходной. |
должны удов |
||
Общие решения |
выведенных выше уравнений |
||
летворять также |
условиям на границе. Укажем возможные слу |
||
чаи закрепления |
края. |
|
|
Например, для |
края х = const в декартовой системе координат |
||
краевые условия можно сформулировать в таком виде. 1. Край закреплен так, что отсутствует прогиб:
w - О . |
(1.131) |
2. Край |
защемлен — отсутствует поворот: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
дхdw = |
0. |
|
|
|
|
|
(1.132) |
|
3. Край |
шарнирно оперт: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Mi = 0, |
или |
|
|
d2w |
|
|
|
(1.133) |
||
|
|
S r+ ^ду2-o - |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Край свободен в направлении нормали |
к пластине: |
|
||||||||||
- |
Л |
. дн |
Л |
|
|
|
/п _ ' а3ю |
= |
0. |
(1.134) |
||
Q, = + |
ж |
= °. ИЛИЗР> + < 2 |
дхду2 |
|||||||||
|
|
ду |
|
|
дх3 |
1 4 |
|
|
|
|
||
5. Край |
свободен, в направлении |
оси |
ох: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
02ф |
0. |
|
|
|
(1.135) |
|
|
|
М = 0; или Н г = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
дуг |
|
|
|
|
|
|
6. Край свободен в направлении оси оу: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
о |
л |
|
а2Ф |
л |
|
|
|
(1.136) |
|
|
|
s = |
0- ИЛИ |
ш |
- ° - |
|
|
|
||||
Для каждого края необходимо сформулировать по четыре условия. Например, имеем дляслучаев:
а) шарнирно опертого края, свободного в направлениях ох и оу:
|
|
ш = 0, |
A fi= 0 , |
N) — 0, 5 — 0, |
|
(1.137) |
|||||||
или |
|
-j2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ч |
| |
иd2w» |
л |
иа2Ф |
Л |
а2Ф |
|
|
||||
|
I/О |
wW |
|
(1.138) |
|||||||||
|
«- = 0. — |
+V — = 0, |
^ - = 0, |
5 ^ = 0; |
|
||||||||
|
|
дх2 |
‘ |
ду' |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) свободного края |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ni = |
0, |
5 = 0 , |
Ali = 0, |
Qi = |
0, |
|
(1.139) |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = 0 |
^ = |
0 |
^ |
+ |
v |
^ |
= |
0, ^ |
+ |
(2 |
v ) ^ |
= °. |
(U40) |
ду2 |
дхду |
U» дх |
|
ду* |
|
дх* |
|
|
|
|
|
||
Заметим, что в функциях |
Ф и ш |
граничные |
условия |
формули |
|||||||||
руются несколько иначе, |
чем в |
перемещениях. Например, при |
|||||||||||
формулировке -условия для жестко закрепленного края |
нужно |
||||||||||||
задавать интегральные выражения. |
|
|
|
|
|
||||||||
5.ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ
ИСЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК
Уравнения равновесия, выражения для деформаций, уравнения совместности деформаций, полученные в п. 2, справедливы для любой оболочки, для которой перемещения по толщине оболочки