Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2925 26 27 28 29 > Следующая >>>

3. ПРИМЕНЕНИЕ СОВМЕСТНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Локальная система координат. Пусть пластина в декартовой системе координат х, у разбита на треугольные элементы так, что вершины треугольников будут задаваться в этой системе ко

ординат		[42,	80,	85]. Систему			координат х, у будем называть гло
бальной системой. С каждым							эле
ментом		свяжем		локальную			си
стему координат				X, -g,		причем	ось
X будет		совпадать с одной из сто
рон,	а	ось	т)	перпендикулярна
оси Xи проходит				через		противопо
ложную		вершину			треугольника
(рис. 9.8). Вершины					треугольника
обозначим буквами в направлении-
против часовой стрелки. Стороны
а, Ь,	с	треугольника				определя
ются по формулам:
а=		-у [(*з — х\) (Х2				— *i) +
	+([/з — У\)(У2 —У\)]\
		Ъ= - j i ( X 2— Xz) (Х2 — Х\) + (У2 — Уз) (У2 — У\)]\
				[{Х2	— Х\) (Уз— yi) +			(Хз— х\) (у2— У\)],		(9.26>
где					Г =	V (х?.—Х\У + (У2 —У\)2.				(9.27)
В местной			системе			координат		у координаты	вершин	тре
угольника и центра тяжести будут:
	p l ! = p l ( _			a>	0);. Р 2 =		Р 2(Ь,	0); Рз = Рз(0,	с);
						Pu				(9.28)

Перемещения конечного элемента. Для каждого узла исполь зуем 12 параметров прогиба, а именно: перемещения и, v, w, их

первые производные du dv du dv âw dw и вторые производные

для прогиба

В результате каждый элемент будет

иметь 30 степеней свободы. Составим вектор-столбец узловых пе ремещений

[dw]T =	5a>i	toj	d2w]	d2W\	d2wt, W2,		д2щ	(9.30)
						• •»	aça-rj
	i» “аГ’	a ?	’fl?'	a ? ’	^at)

Перемещения и, v, w будут совпадать с положительными на

правлениями местной системы"координат. Индексы 1 3 обозна чают соответствующие номера узлов элемента. Распределение пе ремещений в пределах треугольного элемента зададим в виде [42]:

и (Ç, ч) = Ai + Н + Ам + А&2 4 А£т\ '+ ЛбП2 + М 3 +

-+ АвЕ2Ч + Agfy2 4 ~ Люч3'»


о(£,	ч )=		Ah 4	Aut + Aiw 4- A			i + Aibln + A m 2 +
			4		^17&3 4		A 18^24 4	A\9I424	^2043i
w (Ç, 4) =	B\ 4		B& 4	B34 4	B £ 24	В&Ч 4 BoV24 B№ 4			B ü h 4
4 B rff 4		B m z -f BnV 4			BnV^ 4	Я 13&У +			+
	4	Bl&5 4 B irfY + B\|8&V 4					^19^4 4	B2045.	(9-31)

Таким образом, перемещения « и о представляются полино мами третьёй степени, прогиб w — неполным полиномом пятой степени: в нем опущен член с £4ч- В перемещения входят 40 неопределенных параметров Ai и В,-, которые должны быть ис

ключены с помощью обобщенных перемещений узлов.

Вычислим первые производные перемещений и, v, w и^вторые производные прогиба w и подсчитаем значения функций и вы

численных производных в узлах треугольника. Добавим к ним значения перемещений и и о в центре тяжести. Последние не обходимы для замыкания системы алгебраических уравнений от носительно параметров At. Поскольку неизвестных параметров

Bt двадцать, а перемещений узлов восемнадцать, то чтобы зам кнуть систему уравнений относительно Ви необходимы еще две

дополнительные зависимости. В качестве таких зависимостей при нимают условия кубического изменения углов поворота вдоль каждой из сторон треугольника Р 1Р 2Р3. Вдоль стороны Р 1Р2, т. е.

вдоль кромки ч —О, это условие удовлетворяется-автомати-

.чески, что видно из значения производной щ-=® при 4 = 0

(именно поэтому опущен член £4-г|). Условия кубического измене

ния углов поворота нормали вдоль остальных сторон являются несколько более сложными.

Из математического анализа известно, что производная неко торой функции у (£, 4 ) в направлении / определяется по формуле

dtp dtp cos а 4- ^ sin а		cos а,	(9.32)
Ш = Ж	д1}

где а — угол между осью Çи направлением /. Прямая Р 1Р 3 имеет угловой коэффициент k =* с!а. Из условия k\ . k — — 1, где k —

угловой	коэффициент нормали	к прямой Р1Р 3 , находим	k\ =
= tga =	— —. Отождествляем	функцию <р с прогибом w и,	под-

считав производные rjç- и щ , подставим их в формулу (9.32).

Далее исключим из ^ одну из переменных, например

(уравнение прямей Р\Р£)> Приравняв коэффициент при £4 нулю, придем к зависимости

5а4сВ 16 + аЧ (Зс 2 — 2а2) В 17 + а с 2 (2с2— За2) В 1&+

+ с3 (с2— 4а2) jBi9— 5ас4#2о = 0.

(9.33)

По аналогии условие кубического изменения угла поворота нормали вдоль грани Р2Р3 дает

БЬЧВк + ЪЧ (Зс2 — 2Ъ2) В п + Ъс2 (ЗЪ2— 2с2) В х%+

+ Сз (с2— 4Ь 2) В 19+ 56с4В20 = 0.

(9.34)

Соотношения для функции w и ее первых и вторых производ ных в узлах совместно с условиями (9.33) и (9.34) дают воз можность выразить параметры Bj через узловые величины. Введем векторы-столбцы:

[А]т— [Au

А 2,

• • • •>

А 20];

[ £ ]T =

[£ i,

В2, ... »

£ 20];

Ш т=

1 ш т, И»,

о«];

Ыь]т=

1 Ш Т, о,

0].

(9.35)

Связь векторов

[da]

[db]

с векторами [Л] и

[В]

можно

представить

в виде:

[Та\ [А];

[db] =

[Г*] [£],

(9.36)

где матрицы

[Та] и

[Ть]

приведены соответственно

в табл. 9.1

и 9.2, причем:

*19. le = 5а4с;

/ 19,17 =

а2с (Зс2 — 2а2);

*i9, ]8= ас2 (2с2— За2);

*19,19 = с3 (с2 — 4а2),

*19, го = — бас4,

*20,16 =

564с,

*20,17 = ЬЧ (Зс2 — 2Ь2),

*20.18 = Ъс2(3Ь2— 2с2),.

*2о. 19=

с3 (с2 — 4Ь2),

*20, 20=

5ÔC4, Ь\ =

;

&\ =

"g**

(9.37)

Матрицы [Та] и [Ть] невырожденные, например, определитель матрицы [Ть] равен — 64 (a -f b)17с20 (а2+ b2) (Ь2+ с2). Поэтому можно из (9.36) получить:

[А] « [Та\~] [daY, [В] = [Ть]~] [db].

(9.38)

Матрицы [T’a] и [Ть] и их обратные имеют порядок 20x20. Однако ввиду того, что в матрице [Т1*]-1 всегда члены двух

																Таблица				9.2
1		-fl 0 т			0 1 0 -а1 0 0 0 a4 0 0									0	A -a5 0 Q				0	0
																				Q
0		/	0	-2а	0	0		0	0	0	-W	0	0	Д	0	Sa*	0	o'	0
0		0	1	0	-а	0	0	a2	0	0	0	-<r3'	0	0	0	0	0	0	0	0
																				0
0		0	0	2	0_	0	-6о	0	0	0	12a1	0	0	0	0	Ы	0	0	0
0		0 _ 0		0	1	0	0	-2a	0	0	0	2аг ■0		0	0	0	0	0	0	0
а 0 0 0 0 ,						2 0 0 -2a 0 0 0 K								0 0 e -2aJ
/г		b 0			Ошя 0 bs 0 0 0 . b\ 0 0 0 0 b5. 0 f i -															0
"о		/ .	'о	2Ь	я.	0	5b}	0	0	0	463 ’ 0		0	0	0	5b*	0	0m 0		Om

" 0		0 1 0 ь 0 0 b* 0 0 (Г b3 о • 0 0 0 I 0																0 0 0
0		0	0	2	0	0	2b	0	0	0		’ 0	0	0	*fl	20bb	0	0	0	0
											12b1				0	0	0 !		0	0
0		о	0	0	1	0	0	2b I	°	0	0	2b! 0		0				0
0		0	0	0	0	2	0	0 \2b		0	0	0	2#	0	Q	0	?bl 1 0		Q	0
/ 0 с 0 0 сг 0 0 0 c5 0 0 0 0 c"																0 0 0 0				cs
0	1		0 0 0 0 0					0 c2 0			0 0		0	c1 0 0 0 0					c* 0
0		0	1	0	0'	2с	0	0	0	2C1 0		0	0	0	H 1 0		0	0	Q
0		0	0	2	0	0	0	2c	0	0	0	0	2c*	0	0	0	0	2cl	'0	0
Û		0	0	0	1	0	0	0	2c	0	0	0	0	ôc?	0	0	0	0	H s	0
0		0	0	0	0	2	0	0	0	6c	0	0	0	0	ne1 0		0	0	0	20cl
0		Ü	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0				1 *19,10.
																>19.16 tiÇ.Lrt>V8 119,11
0		0	0	0	0	0	0	■ 0	0	0	0	0	0	0	0	Ьол1UoxJt&iït tfl'fSf

последних столбцов

умножаются

на нули,

то

вектор

[ В ]

можно

вычислить

так:

[ В ] =

[ Т у ] [<и

(9.39)

где

[ Т у \ — матрица

размерности

20x18,

полученная из 1Гб]-1

путем отбрасывания

двух

последних столбцов.

матрицу

формы

Введем

вектор-столбец

перемещений

[и]

[Ф] размерности

3x40:

г................

Гг

Mil*

Г[Фв1

(9.40)

[ u

’г

Mil — Г

[ U ,

V , ш1 =

[ [ U

a f ,

ю];

[ф|

где элементы

матрицы

[Ф]

имеют

вид:

строка

ё»

S2»

°îî2» S3,

%2Ъ

№

Ч3»

•••>

строка 2

30 нулей

0, ... .

-ijj,

£2,

(fy,

-g2,

S3,

Ç2ig,

fy2,

rç3,

0, ...,0;

----- ------

'---- V---- '

10 нулей

20 нулей

строка 3

о,

....

о,

1, S,

ч,

S2,

fy,

T)2,

£3,

^ 2, Ч3;

20 нулей

S4,

Prt>

ë V »

3»

"Я4»

S5*

ëV »

Ü V ,

£fl4> Я5«

(9.41)

Вектор перемещений можно

записать

в матричной форме

[и ]

[Ф] Г ^ П =

ггф“1

0 ] Г № 1

Г[Ф»1МП

(9.42)

'LiBiJ

[®*IJL[B J J

([Фв]

[в]J

Подставив сюда

вместо

[ А ]

[ В ]

их значения

из (9.38), получим

[и]

[Ф]

'[ Т а ] ~ 1Ш

(ФПГ,

[ФПГаИ[^],

(9.43)

.[Ть]~1Ыь]J

где

[Tab] =

'[Т а ]'1

I d f =

[[da]1,

[Л1Т].

(9.44)

[ П 1 - '] ’

Матрица

[ Т аь]

имеет

размерность

40x40.

При

умножении

матрицы [ Т а ь ]

на [ d ]

два последние ее столбца в результате всегда

дают

нуль.

Поэтому

можно

перейти

укороченной

матрице

\Т*аь\,

размерности

40x38,

которой

по сравнению

с матрицей

[ Т аь]

опущены два

последние

столбца. Тогда

= [Ф ][7’; 61 (^ ],

(9.45)

1г;61 = [ [Г“1 ' [7 °)-,], № / = [ ш т, |< и т].

<»•«>

Матрица жесткости элемента. Для получения матрицы жест кости элемента используем выражение потенциальной энергии элемента в виде (9.18). Подставив в это выражение вектор-стол бец перемещений (9.45), получим энергию деформации для i-го элемента в виде


	U* =	Uо +		U! + £ 4 +		U T ,	(9-47)
где Uо — энергия деформации,				соответствующая линейной теории
пластин;	U\ — нелинейная		часть		энергии деформации,		содержа
щая члены третьего порядка относительно деформаций;							Ui — не
линейная	часть деформации			с	членами четвертого		порядка
относительно деформаций;			UT — часть			деформации, вызванная
тепловыми деформациями,			причем:
иЬ = т т[т1ь]Т		[ф)т [«]r [DI][£H®J<JMï j[7 ’;»] ш ,

ui = 4 [ d / [7 «»]Г Aj ÎÎ [Ф]г [Ri]r [£>.] [R] [Ф] d(dv +

	+ ^ î î [®Г [R]r P.H Ril [Ф] dUh\\[Tlb] [d„\|;
l/l=	-J-Шт( Л Г		l®]r l« ilT P d №1 [Ф] didt\ ITlb) ш ,
	u T=‘	U d y\T [ г .м г н [®ir			m	T +	[ri] didy.	(9.48)
		*	Gi
Заметим,		что матрица [7?i]		зависит от перемещений.
Исходя из представлений (9.47) и (9.48), энергию деформации
элемента можно представить также в виде
где	U1-	[dÿ\T [К] [dyf =		[dy)T i TlbY IZ] [7^] [dg],				(9.49)
где
№	= [TlbflZ] lT‘,b] = ÿ			w	+	-flXi (d)I + y [X,(<P)J;
		[Z] =	j [Z] + 1	[Z, (d)l + -			[Z2 (d%
		IZo] =	S! m T[R]r P .J [RJ [Ф] d\d%
	[Z\]= Я1Ф]Г([Яif Ш			(#] + 1#]ID.) [Ri)) [Ф] dUv,
		ъ
		iz2] = Я[ф]г[/?1]г1ЛНЛ\|НФ]^ч;						(9*50)
			Gi

[TC]— матрица жесткости	элемента; [/Со] — матрица жесткости
линейной теории пластин;	[/Ci] — матрица жесткости, линейно

зависящая от обобщенных перемещений; [/С2] — матрица жест кости, в которую обобщенные перемещения входят во второй

степени;	[Z0],	[Z\], [Z2] — промежуточные матрицы жесткости.
Элементы	симметричных		матриц [/Col,		[/Cil,	[ЛГ2] определяются
по формулам:
	иъ _ 1 д 2и 01		u l	1 d 2U j	и2	J д 2и [	(9.51)
	Ri'	2 ddjddj ’	Ri<~	2 dd^ddj »	Ri>“	3 Ж Щ '

Матрицу жесткости [/С] можно представить и так:
[К] =		[А]		[А + А ад]			(9.52)
		\Kba~\-Кьа{(1ш)\		Rib (da)		Kbb (йда)]

Чтобы получить выражение (9.52), подставим матрицы [Z)£], [Я]* [Æi]» [Ф] из (9.14), (9.16), (9.40) соответственно в интегралы (9.50). После несложных преобразований получим:

		[Zl]	[zlbY
		[Zl)	[ Z l b ] \
'	0	[Z\bY\	0	0.
[£il =		[Zbb\_		(9.53)
\Z\a\		[Zbb\_	0 [ Z lb U

где

[А] = Я [Фа1Г[««]Г [С] [Я„] [Ф„1 did?,

[Al = Яl^aflRaf (L) [«»][Ф6] didr,

[A]= Я(Ф*1Г |Я*]Г[i] IRa][Фа] didr,

[A]= Я [Ф»]Г IR tf ID] IRb] [Ф,] didr

IA] = Я [ф«)г l««]ricj[«,„][Ф6] didr

(A l	=	Я(Ф»Я № »] r[C] [R„] [Ф„] Ш г
		Gi
[Zbb] = Я 1Фй]		([Ælé]r (Z.J [/?al +	lRa]r[Z] [R lb]) [Фй] didtJ,
[A	1= Я(ф»]г[Л1»]г (Cjifi,6] [адdidr
		Gi	(9.54)

Подставив (9.53) в первое соотношение (9.50), придем к выра жению (9.52), в котором согласно (9.46) и (9.53):

[А] = I T a flZ l](T'ai; IА] = [7'„1Г [Z*t] [Г„];

	[Z (L l =	[ Г [Zlb\/	iTA Ф =		о,	1);
	[*«,] =	[T /.[Z Ü	[T*]	(1=0,		1,	2).	,0.55)
В случае однослойных оболочек, когда					оси		анизотропии		сов
падают с	осями координат, [L] =		0.	Тогда	\Zla] = [Zlb\ = [Z\b\ =
= 0. Заметим также, что матрицы [Z°ab] и [Zlb]						симметричны, т. е.
	[й«]7= [zlb], [zL]T= Mb],
Нетрудно	заметить, что если вычислять [Zaa] , [Zabi, l-ZL), [Zlb],
то в конечном итоге приходим к суммам					выражений,			содержа
щих заданные постоянные величины,				умноженные на				интегралы
вида ДО	Такие двойные		интегралы по				треугольной		об-

ласти, показанной на рис. 9.8, вычисляются следующим обра зом. Уравнения сторон Р 1Р2 и Р2Р3 задаются так:

Чв 7(* + в>; ч = - £ ( 1 ! - Ь ) .

Перейдя в двойном интеграле к повторному и применив фор мулу интегрирования по частям, получаем

	О	c/a(t+a)	b	—c/b(£—b)
Gj	— 0	0	0	0

= ïr f i [W Î h m<s +

+^ЙТ îE” «- W+,<«

F (m,

n),

(9.56)

где

F(m, n) =

mln\cn+l

(9.57)

(m + n + 2)!

Такого типа интегралы можно также получать численным

интегрированием на ЭВМ.

В работе [80]

выведены

выражения в

явном виде для элементов матриц [Z0] в случае изотропных

пластинок

([L] = 0). В

размерной форме

они

имеют вид:

[Zaa\ij—

g Dtf I Ajf j F (fi -f- fj

Si -j- S{) -f- ÇtÇjF (pi -f- P(t

Qi + Qi — 2) + Y (1 — v) [SiSjF (A<+

rj,

si +

s;- — 2) -f- pip\F (pi -\-

+ Pi — 2,

qi -j- qj)] ‘+

4 <

V) S,Pi

vr-fli

F(ri + p i — 1,

s/ +

+ Qi —

4 -

sip,

(-1 fiQ/J— - Fv(ri)

+ pj —

Si1 ,

- f - <7/

—

1 ) J ;

[Z°bb]ii = DM [mm, (mi — 1) (rrij — 1) F (mi +

m,- — 4,

n,- -f щ) -j~

(ni — 1) (iij — 1) F (mt + ть

щ + щ — 4) -f

+ [2(1 — v) munjfiinj + vnufij {pii — 1) (tij — 1) +

+ vm/tti (pij — 1) (tu — 1)] F (mi +	ttij — 2,	ni + rij — 2)},	(9.58)
где F {m, n) дается формулой (9.57),	a пары	чисел {ги	si), {pi,

qi), ipii, tii) представляют собой показатели степени при пере менных £ и т] в l-ых членах соответственно выражений (9.31) или (9.41). При вычислении выражений для нелинейных под матриц таким же способом наталкиваемся на определенные труд ности. Поэтому при вычислении компонент нелинейных частей матриц жесткости лучше пользоваться формулами (9.51), которые для подматриц [Zk] {k — 1, 2) запишутся в виде

[Zab (clw)] ij —	.	r7i ы
[Zab (clw)] ij —	2 дА.дВ;	^ аЬ^йа'^!

d2U„ Ш а = \3 dBpBj ’

1 d2U,

2 дВрВ/ ’

(9.59)

где	Ai,	Bj — неопределенные	параметры, входящие			в (9.31).
Здесь выражения V\ и Ü2 необходимо					подсчитывать	по форму
лам	(9.18), а перемещения брать в виде				(9.31).
Для		изотропных пластин размерные			значения элементов мат
риц	имеют вид [80]:
		[Zj4 (<«]</ =	4	- Х шВ,;
			^	/=1

[ z j , ( < « ] / / = T D "ХщАг,g

,20 20

[Zbb (dw)]ij ~	~2 DN 2 É VijtkBiBk
	/= 1k—\	(9.60)
(iy i =	U % • ♦-, 20),	(9.60)

где

Хщ = rmitniF {ri + trij + mi — 3, si + n-, + ni) + qitmmiF {pi + m/ +

+ Ш и q i + n i + n i - t y - h {М 1 Щ + n itîlj) St + vrt'rt//2/j F { n +

+ Ш}+ ffii — 1 » si + Щ4- Щ— 2) +-|^i-_I {пип,- + nitrij)pi +

+ v<71щп{\ F {pi + trij + mi — 1, qc+ щ + щ — 2);

Viiik— mimjtnimkF {m— 4, n) + т прркР (m, n — 4) + ^ п ц п щ р к Л -

+ miniktiirif + ^ {mpitnink + тпщрть-^- mmjtnink +
+ п т р т Л F {m — 2, n — 2);
m = mi + mL+ nu + m.k\ n = щ + щ + П( + nk.	(9.61)

Аналогично получаем

U r ^ l d / i ^ n ^ + Q r H

1 . . nTrip* 1Г №	+ <2«г]	о
[T“i] 1	0	[«&]

где

IQST]= и [®„f[Raftr,.] didn;

[QÎrl= И[®»f1К.1Г[Ги,] did%

[QaV] = И [Ф«1Г[Ri*]r[Tia]dïdxi.

(9.62)

(9.63)

Вектор приведенных нагрузок. Поставим в соответствие каж дому обобщенному перемещению вектора [ау] из (9.44) обобщен ное усилие вектора [/]:

[f]T = Ш Т , [fw]Tl

(9-64)

Поскольку предполагается, что обобщенные усилия задаются

лишь в узлах,	то	[fJT =	[[/«lr , О, 0J. Две последние компонен
ты вектора [fa]	равны нулю, поскольку центр тяжести элемента
не является его		узлом.	Узловые усилиядолжны быть эквива

лентными внешним нагрузкам, приложенным к элементу. Вектор {/] найдем из условия равенства работы узловых усилий на вариациях перемещений узлов и работы внешних усилий, при ложенных к элементу, на вариациях перемещений элемента, т. е.-

		[ïd\T [/] = H ï t e l V l Æ d , .						(9.65)
Подставив сюда,		вместо	[5«]T		их значения из		(9.45),	получим
	[ М / 1Л =		ГИЛГ		I Î [Ф\|Т IР] tidy}.
					°k
Отсюда	следует,	что
	1/1 = tr;» И \|Ф)Г [Р1 Шп = \Т’аЬ\ [Pi],							(9.66)
			Ok
где
		[Л] =		И (Ф ]г (/>1<ййч.				(9.67)
				Ok
Элементы вектора-столбца				[Pi] = {pifiL\		вычисляются по форму
лам для	[Рд]:
	P i =	SS			(i = 1,	2, ...,	10);	(9.68)

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2925 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги