книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

M

du

î

2Ô"f

1

1

2 —Il

,* J d t\2

UUt

^ » = дГ +

*а âr — lpi'

+

^

' Î î '

+

I d

l +

Ç l a

f j :

d£

ôtj

—

ÔVi

v d ty

f

— I

,

— 2

— IV ~

,

1 M

A 2

V M

A

_

^

= ^

+

? â T “

îp2

+va

pl

+ £ ^ \д Г )

’

_

_

dut.

дщ

dût

dK(

(6.98)

bi ~

dï] +

Ô6

+

d£

’

dij •

Z =

Ni =

e2i=

Mj =

0

при

S =

О, £ =

1,

(6.99)

С =

# 2 =

ец =

М2 =

0

при

T) =

0, К] =

Г

■= I

Yi

sin/*£sinAmfl

fe=i

N

N

^ik sin/nÇ sin/eitTj.

S<p(*= V

2

/=1

A= I

(6.100)

Кирхгофа — Лява,

т. е. порядка ft//?.

что

Сущность асимптотического метода заключается в том,

решение уравнения

ищется

в виде

асимптотического

ряда

по

степеням малого

параметра. Л//?,

где/? — характерный

размер

срединной поверхности.

задачи для

осесиммет­

Ниже найдем решение этим методом

ричной деформации круглой пластины большого прогиба

радиу­

са а.

Кармана, согласно

п.

4 гл.

1, можно

записать

Уравнения

в виде:

d 1

d /

окт \ .

tdw\î

“

п

'■*Т2Г('-гл,') +

-г(зг)

°!

n

d

i d /

dw\

dw

qr

D * W T î r ( 3rr ) = N ' * - + T ’

N, = §-XrNt).

(6. 101)

Предположим,

что

пластина защемлена

по контуру.

Тогда

граничные условия можем записать в виде:

w = 0,

^

= 0;

и =

-~(N\ — v/^2) = 0

при г — а;

(6.Ю2)

dw

х.

при г =

_

(блоз)

г

и JV] конечны

0.

Для удобства дальнейших исследований введем безразмерные

величины:

С =

^ -

Ni

Eh*'

N2

=

—

•

й’

2

£Л3 ’

Р

цсг

Т

Pc

ЦЗ

(6.104)

е ~ о „ Ф

2(1

]

Величина с — постоянная,

которую

определяем ниже.

Уравне­

ния равновесия и граничные условия

принимают при этом вид:

d2xN{ ,

! [ d tf

dx2

+

2\d x

~

ê (X S ) -

3 0 -

v2) w 1 -

i - (1 - , 2) x3 = 0;

5V2 = № + 2 * ^ 1 ;

(6.105)

C= 0,

-£ — 0;

Л/1— y/V2 = 0 при x — 1;

(6.106)

величины

dÇ

T?

Л

(6.Ю7)

N\

конечны при л; = 0.

уравнений

в

окрестности

точки

z — со .

Такое решение

можно

получить, если величины С,

Nu N 2

разложить в степенные ряды

по отрицательным степеням т, полагая:

С(х,

х) = хСо (х) +

Cl (*) + \

Са (*) +

N 1(х,

х) =

х25о (х ) +

X{I (л:) +

Î! (х) +

т - Ез (х) +

N2 (х,

х) = x2igo (*) + xigi (х) + к]2 (х) +

—

(х) +

(6.108)

Подставив (6.108)

в уравнения

(6.105)

и граничные

условия

(6.106) и (6.107),

получим:

(х^° “I- ^

“Ь ~

Сз "Ь

• • *jj ~Ь

+ ± ( , f 2 + ^ i , i ^ 2 ,

V U -

dx2[

( X dx ^

dx

^

t

dx

^

*)J

— 3 (1 — v2) (x2Êo.+ *SI

+ b

+ 7

?з +

•) (T ^7 +

т2тд0+ 'C1ll +

42

1Q3 4-

=

^ 2£o +

“tÇl 4 * Ê2 +

7* $3+

. . +

+

/

0 Æ0

d5.

dî2

1

dt3

\

(6.109)

^ Г 5 Г +

х^ + 5 7

+ Т З Г + - * '>

tCo H- Ci + 7

C2-f

- 0 ;

ё г

х2

(6.118)

dx2 ~

г2*

Нетруднр заметить,

что

при замене

Z\ =s C4/3Z,

Х\ — сх,

(6.119)

приходим к уравнению

d2Zj

х2

dA

~

А

того же вида, что и

(6.118).

Оно

также не содержит

постоян­

ной с.

видно, что если г(х) — решение

уравнения (6.118), то

Отсюда

решением

этого

уравнения

является

также функция

c~4/3z(x).

В силу произвольности постоянной с будем считать ее

постоян­

ной интегрирования.

Решение

уравнения

(6.118) будем искать

в виде степенного ряда

00

2 =

2

апХп.

(6.120)

п=I

При этом, согласно (6.113), величина

Со

при х=*0

будет конеч­

ной. Из (6.120)

находим:

dz

V

.

Тх =

Ь, « в -* -1;

-2

00

+

l ) ^ , ^ - 1;

^2 =

22 =

(

2

апхп)2=

2

ЯгЯ/*/+ /;

V*-»

1./=1

г2ё

4 .

1

.

“ И

Й

1)as+iï4* < * +

-

où

асщак+\к (k - f

1) x£+l+k~K

=

2

(6.J21)

i,

/. A=I

d2Z

(6.118)!

Подставим z2—5 из (6.121) в уравнение

00

f, /,2 /e=l «(-a/ûifc+i/e (Æ - f 1) xi+i+k~1= 3 — X2.

(6. 122)

Сравнивая в (6.122) коэффициенты при одинаковых

степенях,

придем к алгебраической

системе нелинейных уравнений

%а\аг «

1;

(m — 4, 5, . . it j, k = 1,2, .. .)•

(6.123)

ат- \

=

—

(т

1W

--ЙЛ 2

cuaflk+ih( Л + 1) -

1) (Ш— I) i+i+k=m

(ft < т - 2 )

" _

т—3

+ ’>

2m—ft aiaj]■

Тт - 1 Т(т - Т) JJ

°‘+'*

(6.124)

Подсчитав последовательно au находим

где

г = */(*),

f ЛЛ _

1

___ L v ___ L y2___ уЗ_____ i l

у 4 __ Ü . ^ 5___

/ W

— х

9

X — R x

U dx

288

864 л

144 ‘

864'

1205

219 241

X1— .

36288 X*

8128512

(6.125)

По= gj l f (сх) + 2cxf (cxïï-

(6.127)

/ (С) (1 — v) + 2с/' (С) = 0.

(6.128)

С— о — 2

bnCnf

(6.129)

где

«Ж* 9

2 ( 1 — v) ,

5 — v .

13 7 — v

3 — v * "2 =

3 (3 — v); 63 ~

72 3 — v*

. 17 У — v .

37

11— v .

1205

13 — v

(6.130)

О*— *лло J

432 3 — v» &в

18 144

3 — v’

144 3 — v’

&7 =

219 241

15 — v

4064 256

3 — v*

Ck+l = 0 —

S

bnCk

n—2

приводит к следующему выражению для с:

с =

О — 62о2 — (б3 — 2Ьа) о3 — (&4 -

56362- 5&1) <J 4 — {h -

зЫ-

-

66462 + 216362 + 146$ о5 ~ (б6 -

76364- 76265+ 286263+

+ 28Ь204 — 846362 +

42б2) о6-г

(6.131)

v

0,250

0,275

0,300

0,325

0,350

с

0,405

0,397

0,390

0,382

0,374

Найдем теперь

из второго уравнения (6.112) функцию Со:

dto

1

J_

Нсх)~~

(6.132)

dx

2с

ÎQ

Здесь

i ,

l

I

5

о «

h(x) =

— X34.

x 4 4- — x5 4 -

l + ~2X + lôx

+

12’

144

+

96*

+ 576

^

17 051

2 864 485

*7 +

+ 48284

8128512

Проинтегрировав выражение

(6.132)

с учетом первого условия

(6.113), найдем

Со (х) = g (с)— xg (сх),

(6.133)

где

*(*) =

т

-î Л(0 & =

1 +

т

* +

li* 2 + Êü*3+

$QX<+

305

36л

' 576

+

5

51 153

,6

,

2 864 485

+

3456*

+

1016 064

X

63 028096 x7 +

(6.134)

Итак, для

нулевого

приближения

получены следующие вы­

ражения:

£ о =

2 7/ (сх), TJ0 =

~

[/ (с*) 4- 2cxf (сх)]\

Со =

g (с) —xg (слг),

—Л (сх).

(6.135)

Заметим, что полученное решение (6.135) не удовлетворяет

гра­

ничному условию

=

0. Таким образом,

когда т становится

сколь угодно

большой

величиной,

решение

для тонкой

плас­

тины приближается к решению для

мембраны с некоторым раз­

личием в граничных условиях.

первого приближения (6.114),

Рассмотрим теперь уравнения

(6.115). Внося в них величины (6.135), получим:

dx

ах

W

=

5l +

2X~dï‘

(6.136)

„

о

имеем

Исключим из первых двух

уравнении

(*Êi) — h3 (ex) • 2c$i =

0.

(6.137)

Как и выше, решение этого уравнения ищем в

виде степен­

ного ряда. Проделав все необходимые операции, находим:

Ci =

Bf\ (cx)i

Ci = 2В [g\ (ex) — g\ (c)j;

Ht

= 2cBh? (ex) • f\ (ex) — 2cBh\ (ex),

(6.138)

где

л « - 1 + * + 4 . ^ + 8 д ? ч - й ^ + § * ?,+ и й ^ +

!

2 090 495

7

4064 256 *

^

*•* *»

^

20 395

6

+ ш ^ + 10 368 X +

2090 495

7 .

(6.(39)

.

‘Y

+

1016 064 X

.

ряды

сходятся,

Полученное

Так как

се* 0,4,

то;при 0 < х < с

решение удовлетворяет условиям

С, (1) = .

dC. (0)

“

> Cl (0) < оо

0

, <

и не удовлетворяет условиям

^ 5^ =

0,

ip (î) — vCi (1) — Q.

(6.140)