книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ
..pdf
|
pi = |
î î |
( « '= " . 12........ 20); |
(9.69) |
|
|
■о* |
|
|
|
Pi+2o = î î |
(i = l ,2 ........ 18); |
|
|
|
|
Gk |
|
|
mi я |
ni — показатели |
степени при £ и q в i-ом члене выражений |
||
для |
и, V, ш из |
(9.31) |
или (9.41). |
|
В частности, если на пластину действует равномерно рас
пределенная нормальная нагрузка |
{q\ == Ç2 = 0, |
q^ = qо = const), |
||||
то 1Л.] = 0, |
|
|
|
|
|
|
pi+20 = Ро И |
V |
‘$idK) == /Ро/7 (/Я/, |
/If) |
|
||
|
°k |
|
|
|
|
|
|
(i — 1» |
2......... 18), |
|
(9.71) |
||
где ро — безразмерная |
нагрузка, |
отвечающая нагрузке |
Р(т, |
|||
л) задается формулой |
(9.57). |
|
|
|
|
|
При действии на пластину сосредоточенной нормальной на |
||||||
грузки Qo, приложенной в точке |
(£0, 1(?о) внутри 6*го элемента, |
|||||
нагрузка qx — Qo будет |
дельта-функцией. В результате |
получим |
||||
[Ра] = 0, Pt+20 « |
Р о П о 1, / - 1 , 2 , |
18, |
(9.72) |
|||
где Ро — безразмерная |
нагрузка, |
соответствующая нагрузке Qo |
||||
согласно (9.19). |
|
|
|
|
|
|
Соотношения между обобщенными усилиями и перемещениями в локальной системе координат. Соотношения между обобщен
ными усилиями |
и перемещениями в локальной |
системе коорди |
||||||||
нат (уравнения равновесия элемента) получим |
из |
условия |
(9.25), |
|||||||
которые для /-го элемента запишутся в виде |
|
|
|
|
||||||
ц [ и ' - 2 А ' , ] = 0 |
(У= |
1, |
2, |
. ... |
38). |
|
(9.73) |
|||
Учитывая (9.47), (9.50)—(9.55), |
(9.59), |
(9.62), |
(9.66), |
из |
(9.73) |
|||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[к У |
|
[K\b + K\b(dm)\ |
|
|
||||||
(Л = [Kta + |
K l (dm)} |
[*!» + |
/c»»(<zi) + |
tf»M .) + /cJ»(<«] ’ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.74) |
Уплотнение |
матрицы |
жесткости. |
Учитывая, |
что |
|
|
||||
|
|
Uwf = [lMT. о, о, [Ыг], |
|
|
||||||
( d f |
= [ d .f , |
|<u r] = |
[ ш |
т, |
и„, |
о», |
[d jr], |
|
|
|
исключим из уравнений (9.74) величины |
иа и о*. Для |
этого мат |
||||||||
рицу [К] представим в циде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
~[Каа, ии\ |
[Каа, ац] |
1КаЬ, и |
|
|
|
||||
|
[^С(Н2, Ц//1 |
\Каа, цц[ |
[•Ка&, ц |
|
|
|
||||
|
. [Kba, и] |
[Kba, ц] |
[Ktib] - |
|
|
|
||||
Внося (9.84) в выражения (9.58), получим соотношения между деформациями срединной поверхности в виде (1.65):
|
|
|
|
ei = |
е\ + |
7 &5; К 1— чг, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ê2 = |
£2 + |
|
1 |
2 |
К .2 — |
42', |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2" ^2*> |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
О) = |
Ш |2 + |
|
^ 1 ^ 2 ’, |
К\2 = |
|
2 х , |
|
|
|
( 9 . 8 5 ) |
||
в которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е\ |
- S - +*'•■• |
«2 = |
г I ао |
+ uycos<p |
|
м sin <рj; |
|
||||||||
|
1 du |
^ |
, |
dv |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|1 = |
, |
v |
7 |
+ |
1 |
s ’ |
|
|||||
|
|
|
• |
7 |
|
I |
+ |
SI4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
1 |
dw . |
оcos <p,7 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
dû |
+ |
|
r |
» |
|
|
|
|
Xl = |
"ôT Œ " “U |
> |
/ |
> |
/du |
|
|
|
||||||
|
|
+ 'P“ + |
(P |
; |
|
|
|
|||||||||
42 = 7 | |
Ô02 |
|
|
|
1 d2w |
cos <p dv , |
sin tp dw |
<psm<pи. |
||||||||
dO — Sin <pih I = |
— |
|
|
|
Я |
|
dO |
|
r |
ds |
|
|||||
n |
|
1 dbi |
■ sin y в |
i |
i ^ |
= lJL(_4^-{-cp'и)-f |
||||||||||
^x |
г аь |
+ |
r |
1^ |
ds |
5 |
г |
dl) |
\ |
às |
|
* / |
‘ |
|||
|
|
sin©/ |
dw . |
|
\ |
/ |
|
1 dw , |
о cosç \. |
|||||||
|
+ - ? r { - -m + cos <P°)— 1Г Г |
T ж |
+ — — )• |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V' = ÊL |
|
|
|
|
|
|
|
(9.86) |
||
|
|
|
|
|
|
Ÿ |
ds’ |
|
|
|
|
|
|
|
||
В выражении для т (9.86) в теории оболочек часто пренебрегают следующими членами с тангециальными перемещениями:
1 ! du . sin© \ . \ dv
S a T â T + T ^ j + R j - à ï "
Соотношения упругости ортотропных оболочек примем |
в виде: |
|
Ni = СцЕ1 -f* Cl2E2i |
Ml = DilXi -{- Z)l242î |
|
N 2 — С 12® 1 “Ь ^22^2* |
М 2 = Dl2^l “f" -^2242, |
|
s = Сбб«); |
н = 2D66t. |
(9.87) |
Коэффициенты Сц и Z)t-/ задаются с помощью формул (1.150). Выражение для энергии деформации ортотропной оболочки
через деформации получим из (1.88), если в него вместо усилий и, моментов подставить выражения (9.87):
i/ = -i-Xi* (Сне? -j- С22Е2 + 2v2Cnei62 -f* СббШ2 + |
|
6 G |
|
•J- D\\%\ 4* ^2242 4-.2у2-Оп х1х2 4* 2Z?66,c2) rdsdti. |
(9.88) |
После подстановки деформаций срединной поверхности (9.85) в (9.88) выражение для энергии деформации U примет вид
и = и л + и нл, |
(9.89) |
где Uл — внутренняя энергия, соответствующая линейной теории оболочек; Um — часть внутренней энергии U, которая обуслов лена нелинейными членами между деформациями и перемещениями, причем:
£Лп = -jj И (Си е\ + Сггег *+■2v2C]\e\e2+ Сбб^лг +
4* D\\vï\ -J-D 22%\ 4~2 у2/?11иI%2 Н |
~ )rdsdO; |
(9.90) |
Снл = у H^Cueifti -H Cndî + С2262^2 Н- у С22&2 +
+ V2C11 ^б1&2 + 4* у $1^2j + 2Сбб«> 12О1О2+
+ |
C66»iftl]rdsd0. |
(9.91) |
Поскольку деформации и |
углы поворота меньше |
единицы, то |
в выражении для Ua„ можно пренебречь |
[70, 79J членами четвер |
|||
того порядка |
относительно |
параметров |
и их |
произведений. |
Тогда |
|
|
|
|
СНл — у |
И [Cueift? + |
С22е2Ь2 “h V2C11 (61&2 + |
62^ 1) 4* |
|
6 о |
|
|
|
|
|
+ 2Сбби>12^1^г] rdsdü. |
(9.92) |
||
Конечные элементы и функции формы. Разобьем оболочку вращения на конечные элементы плоскостями, перпендикулярными ее оси, т. е. представим в виде последовательности искривленных элементов. Угол ф между касательной к меридиану и осью вра щения oz будем задавать полиномом второй степени от расстоя ния s в меридиональном направлении (рис. 9.9) [70]:
ср — а\ H-û2S + a3S2. |
(9.93) |
Здесь s — расстояние по меридиану вдоль элемента; aj, а2, аз — коэффициенты, определенные из условия равенства углов наклона в узловых точках идеализированной и действительной оболочек. Для достаточно малых элементов при условии непрерывного изменения углов между узлами формула (9.93) является доста точно точной. Однако в узлах углы наклона <р могут претерпевать разрывы. Каждый кольцевой элемент идеализированной оболочки вращения будет замкнут в отношении координаты 0. Поэтому компоненты поверхностной и краевой нагрузок будут периодиче скими функциями с периодом 2тс. Это позволяет представлять все
искомые и заданные величины в рядах Фурье по кратным гармо
никам угла 6.
Перемещения и, v ,w в элементе представим в виде полиномов от меридиональной координаты s и рядов Фурье от угла <рв окруж
ном |
направлении |
[70]: |
|
|
|
|
|
|
|
/V, |
|
|
_ |
|
|
|
|
W= |
2 (ОСj"—|—a2S + |
CI3S2+ |
(X4S3) COS /0 + |
2 |
(a l"ba2S 4“a3s2 4-cUS3) sin tO; |
|||
|
1= 0 |
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
/VJ |
|
^ |
2 |
, |
, |
|
|
« = |
2 |
(“5 + |
aes)COS *0 + |
2 |
(<*5+ |
a6s) sin 10; |
|
|
|
i—0 |
|
|
t=l |
|
|
|
|
|
Nt |
|
|
Nг |
|
|
|
|
v = |
2 |
W + |
ass)sin i'O4- |
2 |
(a74~ ass) cosiO. |
(9-94) |
|
|
|
i*=l |
|
|
i=0 |
|
|
|
Таким образом, тангенциальные перемещения при каждой гармонике зависят линейно от переменной s, прогиб w — по куби ческому закону. В качестве обобщенных узловых перемещений dk при каждой гармонике я примем перемещения и углы поворота узлов i и /
[d]ï = [wi, т , vt dd (i -+ j).
Вектор обобщенных перемещений [d]7 = [d\, d2, . . d$] и вектор коэффициентов [a]r = [ a i/a 2l •. -, «s] для каждой гармоники свя заны соотношением
|
|
|
|
[а] =-~[A\[d], |
|
|
(9.95) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Л] = [ В ] - 1[ф]F; |
|
(9.96) |
|||
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
/ |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
■<ро |
||||||||
|
2 |
|
0 |
3 |
2 |
?! |
л |
3 |
1 |
|
•<ро |
12 |
Z |
1 |
0 |
i2 |
/ |
||
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
^0 |
п |
_2 |
1 |
91 |
и |
2 |
1 |
[В]- |
' |
i-2 |
и |
I2 |
I2 |
I2 |
> |
I2 У |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
' |
1 0 |
/ |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
1 |
0 |
0 |
о |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
I |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos'cp/ |
0 |
— sin <р/ |
О |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
> « Ч |
Г |
и |
|
« |
- |
sin <р/ |
0 |
co s <р/ О |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
(/ = |
0, /). |
|
|
|
|
|
(9.97) |
||
Здесь |
/ — длина |
элемента: <ро, <р'о, <pi> ?/ — Угол |
наклона |
и про |
|||||||||
изводная от него •jjp соответственно при |
s = |
0 и s = |
/. |
|
|||||||||
Вектор-столбец перемещений |
[и]г = |
[ДО, «, |
н] |
можно |
предста |
||||||||
вить |
в виде |
Nl |
|
|
|
N2 |
_ |
|
_ _ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(9.98) |
||||||
|
[«]= S |
М [ Ф 1Т[а‘] + |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
it о |
|
|
|
й-о |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos i О |
0 |
0 |
|
|
|
sin i 0 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
0 |
cos i 0 0 |
; |
(i.'] = |
|
0 |
sint‘ 0 0 |
(9.99) |
||||
|
|
0 |
0 sin i 0 |
|
|
|
0 |
0 cos i 0 |
|
||||
|
|
|
1 |
s |
s2 |
s3 |
О |
О |
О |
О |
|
|
|
|
[Ф] = |
О |
0 |
0 |
0 |
1 |
s |
О |
О |
|
|
(9.100) |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
s |
|
|
|
Врезультате подстановки выражений для перемещений (9.99)
всоотношения (9.86) линейные части деформаций и углы пово рота запишутся так: '
|
N\ |
|
N2 |
|
|
|
61 ~ |
S |
|
е*cos * ®+ |
S |
s*n * ®» |
|
|
f-o |
|
i-i |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
6 2= У e2l cos i 9 + |
V ёг sin i 0; |
|
||||
|
f=0 |
|
i=] |
|
|
|
|
/V| |
|
|
w2 _ |
|
|
<*>i2— J] |
ш{2 sin i 9 -f- 2 |
a>/2 cos i 9; |
|
|||
|
i=i |
|
|
1=0 |
|
|
|
ЛГ, |
|
N2 |
|
|
|
^ = |
2 |
|
cos *6 + |
2 |
w s*n * |
|
|
*=I |
|
tZ\ |
|
|
|
^2“ |
Nl |
|
t |
У .62 sin i 0. |
(9.101) |
|
2 |
62cos i 0+ |
|||||
|
f-o |
|
Ï-1 |
|
|
|
Здесь |
е\, е\, |
...» |
Ô2— функции только координаты s, например |
|||||||||
$2 — -у (ai + |
«2S + OL3S2 + afc3) + |
|
(a? + |
ags). |
Попутно |
заме |
||||||
тим, что выражения для величин с |
|
черточками |
получаются |
из |
||||||||
е\, . |
е\ путем |
замены i на — i. |
Параметры |
ап вычисляются |
||||||||
по обобщенным координатам в соответствии с формулой |
(9.95). |
|||||||||||
Обобщенные силы. В дальнейшем |
будем |
предполагать, |
что |
|||||||||
потенциал работы внешних усилий |
q\, qit |
q, |
выражается |
таким |
||||||||
же образом, как |
и в |
линейной теории: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ai = |
H ( ? i « + <72^ + |
q-M rdsdb. |
|
(9.102) |
||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
Если подставить выражения для перемещений из (9.98) в |
(9.102) |
|||||||||||
и проинтегрировать по элементу, потенциал |
работы для |
произ |
||||||||||
вольной гармоники |
с номером п запишется в виде |
|
|
|||||||||
|
|
^1 = |
И [и] Tiq] rdsdb = |
[di]T [Qf], |
|
(9.103) |
||||||
|
|
|
|
Gl |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Q f] = |
î î [А“]т[Ф ]\L n] [q"\ rdsdb - |
|
(9.104) |
|||||||
|
|
|
|
|
Gl |
|
|
|
|
|
|
|
обобщенные |
силы для |
элемента. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полные обобщенные силы, соответствующие какой-либо гар |
||||||||||||
монике п , получаются путем суммирования |
сил |
для элементов, |
||||||||||
сходящихся в каком-либо узле.
Уравнения равновесия. Уравнения равновесия можно полу чить, применяя теорему Кастильяно либо к отдельному элементу и приравнивая внутренние и внешние силы в узлах, либо к обо лочке в целом. Конечный результат будет одним и тем же. Из вестно [30, 37], что потенциальную энергию линейной теории
оболочек Uл для какой-либо |
гармоники конечного элемента мож |
|||||
но представить в виде |
|
|
|
|
|
|
и„= 4- i |
8 |
8 |
М |
А |
= № ' IKol №1. |
19-105, |
|
£ |
|||||
i=l 1=1 |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
[/Co1 = |
M |
f |
[/Coo][A \-, |
|
||
[/Coo] = 4 - |
Я |
[Ф1г [R]T P . ] [R] [<K]/-dsd9; |
|
|||
A |
Gk |
|
|
|
|
|
С и |
C12 |
0 |
D u |
D\2 |
0 |
|
C 21 |
C 22 |
0 ; |
p ] = £>21 |
D 22 |
0 |
; |
0 |
0 |
Сбб |
0 |
0 |
D QO |
|