Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 298 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

D?V =

Edi,

= h(0);

£« =

£(0);

ц =

X2 = _ J ü .

D°M’

R =

r0p ta);

k =

- J S

l .

(2.71)

С учетом

(2.71)

уравнения (2.70) представим в виде:

&4С

9 /

dE*

d3C .

dt,4

\ £ *

d’I/d-r,3 '1"

Г 1

d2g» .

d£*

d/ .

d2/

ft/ i

rf/V

|* *

dt\2

E*t

dij

dt)

*,*■*"6 W

d-ц)

t*2

1 d \

n2fe

P .

(2.72)

£ * /3J dt)2

p£*<3

£**3 ’

l / « ) *

, ь C __

ft2

(2.73)

dtj

( d y )

1 2 £ T

Введем далее

вектор-столбец переменных

где

z =

{C, d,

xF.

(2.74)

у __

dx _

Л .

dO_ =

d^L.

d3Ç

(2.75)

ft=

dtl

di]3

Уравнение (2.72) с учетом (2.75)

;можно записать в виде ей*

етемы уравнений в нормальной форме Коши:

dç

d3 .

dt]

dt)

di)m-'

il!*. _____2 Г-L dt)

d£*

dri + r s ] ï -

Г 1 dE*

dE*

d‘

[£* Wv, "r J7*y

dt)

* Л-

“T

dtjг + * ( 4 Й '

dv)

£<7

dt]

..2

4 +

p£*f

(2.76)

£*/3.

17*•*3'

E*tr

Приняв во внимание (2.74), систему

уравнений

(2.76)

можно пе

реписать в матричной форме

(2.77)

где А =

(аф (г, / =

3, 4) — квадратная матрица размерности

4x4, ненулевые элементы которой:

й\2 =

«23 =

«34 =

Û43

Г 1 d£*

dE*

l*2 1

U * dt]

dt]

* dt}

dt}2

dt}/

d£*

0>\\ —

£ •

' dt]

dt) ’

(2.78)

fe=[/i, h* h t f*]T — вектор	нагрузочных членов, для			которых-
[ \ — h —h — О,		U - J & - Etз
В матрично-векторной форме граничные условия запишутся так:
—V	—►	при	'Q = — 1;
B\z — b\
BiZ—bz		При	1 0 = 1 ,	(2.79)

причем В\ и В2— заданные прямоугольные матрицы порядка 2x4;

b 1 и Ь2 — заданные	векторы.	фиксированном р,
Решение краевой	задачи (2.77), (2.79) при	фиксированном р,
находим в форме
	Z = Z\ (fi) - f Z2 (\|i) Po,	(2.80)

где Po — характерный фактор нагрузки.

Для решения краевой задачи (2.77), (2.79) применим устойчи вый численный метод дискретной ортогонализации [16, 30]. После

того, как вычислена С, из (2.73) для				получения £	находим зави
симость
dt	_	ft2	.С	I ( dK \ 2	(2.81)
dr,	~	12E*t	R p	*2 [dr,) '	(2.81)

в которой фиксируется то же самое значение jx.

Из условия отсутствия сближения кромок (2.59) с учетом (2.80)

и (2.81) получаем зависимость между Р 0			и	fx	в	виде
d(C1+ С2Р0У		I				1
		+ A J\| <t. + C2Po)7			é	J ^ 3 = 0. (2.82)
ЫГ	dr.

Таким	образом, при фиксированном fx		из		(2.82) находим Р,
а из первой строчки (2.80) — перемещение				С.		Выражение (2.82)
вместе с (2.80) позволяет получить нелинейную						зависимость С от

Ро. Входящие в выражения (2.82) интегралы находятся численно. Поскольку эти результаты можно получить с достаточно высокой точностью, то решение, полученное описанным выше методом сле дует отнести к точным.

На основании изложенной методики проведем исследование гибких длинных цилиндрических панелей при шарнирном опирании кромок для различных законов изменения кривизны и толщины. Модуль упругости Е* положим рав ным единице.

Пример 1. Рассмотрим изгиб круговой цилиндрической панели переменной

толщины h =	h0t (-rj),	t (г,) =	1-4- Bïj2 под действием			постоянной нагрузки Р.
Положим	S == 0;	0,5; 1,	я = 1	,5 .	В табл. 2.2 приведено сопоставление
результатов прй 1 =		0, полученных		в	работах [46, 47] аналитическим путем
и по предложенной методике. Из этого					сопоставления	видна высокая степень

точности результатов, получаемых е помощью предложенного численного метода. Заметим, что при каждом ft получаем два значения нагрузки Р, что непосред ственно видно из рис. 2.6. Из приведенных на рис. 2.10 графиков следует,

Р*		точное		Р			точное			Со		численное
Р*		точное		численное			точное					численное
		решение			решение		решение					решение
0,5		6,9401			6,9401		1,5225					1,5225
0,5		0,4700			0,4700		0,0220					0,0220
1,0		5,6422			5,6422		1,4531					1,4531
1,0		1,7637			1,7637		0,0925					0,0925
1.5		3,9301			3,9301		1,3171					1,3171
1.5		г,m 2			3,4722		0,2306					0,2306
2,0		4,4165			4,4153		0,5351					0,5351
2,0		2,9923			2,9925		1,0157					1,0156
		2,9923			2,9925		1,0157					1,0156
что с увеличением параметра				8 от 0 до		1 возрастают		верхняя			и нижняя		кри
тические	нагрузки.
Пример 2. Исследуем влияние переменности толщины /(*)) на величину
критических нагрузок р панели при сохранении ее веса.									и	переменной			Аа =
Будем рассматривать			панели		постоянной		hi =	Л10	и	переменной			Аа =
= Л20 (1+т,®) толщин при			k =	1,5.	Из
условия постоянства веса панели, т. е.												'/
из зависимости							<М					'/
	1	1					<М					t
	J h±df[ — J Нййц,						Ш-, \гг-					fкt }
	—I	—1						&		0	f
						?1tff		^>7 <			f
находим hi0 —		ft20. Полагая		А20 =	I,	?1tff
получаем hi =		4
получаем hi =		-g-. Из графиков, при
веденных	на рис. 2.11, следует,				что		0,3	0,6	0,9		1.9	1,5	St
для панели переменной толщины рав
ного веса	существенно возрастает зна							Рис.		2.10
чение верхней		критической нагрузки

вто время как значение нижней критической нагрузки изменяется незначительно.

Пример 3. Рассмотрим длинную гибкую цилиндрическую						панель		с	пере
менной	кривизной и толщиной,		изменяющимися по законам р			1(•*])	=	1
/(■>])= I +		Вт)2. Расчет проводился при f = ± 0,5;8=0,5; k =			1,5. В табл. 2.3 дается
					Т а б л и ц а				2.3
P-		P	численное	точное	сD	численное
		точное
		решенне	решение	решение		решение
0.5		7,6179	7,6179	1,6715			1,6715
		0,4973	0,4973	0,0202			0,0202

1,0		6,2279	6,2279	1,6092			1,6092
		1,8810	1,8810	0,0843			0,0843

1,5		4,3227	4,3227	1,4910			1,4910
		3,7809	3,7809	0,2056			0,2056

2,0		5,2929	5,2929	0,4328			0,4328
		2,8185	2,8185	1,2684			1,2683
сравнение полученных результатов при f = 0 ,5 ;				8 = 0 ; k =	1,5 с аналитическим
решением,		приведенным в п. 3.	Из этого сравнения видна высокая степень
точности	результатов, полученных по предложенному методу.					На	рис.		2.12

Ï-HS

—

Ч \

/ 1

■ / /

J / у

у /

- у

/ -

/ /

0,3

0,6

0,9

1,2

1.5

(о

"0,3 ~ 0,6

0,9'

1,2

1.5

Рис.

2.11

Рис.

2.12

в виде графиков приведены результаты

решения

задачи. Из

них

следует,

что

с изменением кривизны

панели происходит увеличение верхней критической

нагрузки, и

то

же

время

значение

нижней

критической

нагрузки почти

не изменяется.

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О БОЛЬШИХ ПРОГИБАХ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим деформацию гибкой прямоугольной пластины [74J, срединная поверхность которой отнесена к прямоугольной декар* товой системё координат хоу. Пусть пластина нагружена равно мерно распределенной нагрузкой = q. Толщина пластины посто янна h — const. Пусть на контуре пластины приложены растяги вающие усилия pi и р2. Края пластины шарнирно оперты. Гра ничные условия в этом случае запишутся так:

п	д w	п	при	л	а\
до — 0,	-^2	= 0		х = 0,
до = 0,	Q2	= 0	при	у = 0,	Ь.	(2.83)

Д ля решения задачи используем уравнения Кармана (1.125), ко торые имеют-вид:

d4w	g	d4w	. d4w	_____1	/ д2Ф	d2w
дх4		дх2ду2	ду4	&м \ ду2		дх2
	0	д2Ф	d2w .	д2Ф	d2w	\
	г дхду ‘ д х д у ^ дх2 *				ду2	V*

д4Ф , о	,	д4Ф __	vu \(d2w \ 2	d2w d2w\
	дх2ду2 +	ду4 - *	П1\дхду)	- ^ д р ' У

Нагрузку я представим двойным рядом Фурье

» = £ £	Чша	а	о
/п**0 л=0

(2»84)

(2.85)

Решение исходной задачи будем, искать в форме, предложенной Навье:

S	ri	. т пх .		ю га
S	2J	wmnsin ——sin
m=1/i=l
	2			тя*	tmzy
				тя*	tmzy	(2.86)
		m=0/i=»0	f ntn COS - 7-		COS	(2.86)
		m=0/i=»0		a
где wmn, /тп — неизвестные коэффициенты.						граничным
Прогиб ку, заданный	в таком виде, удовлетворяет					граничным

условиям (2.83). Подставив функции (2.86) во второе уравнение (2.84), после некоторых преобразований правой части и сравнения коэффициентов при одинаковых гармониках по т и п придем к следующим рекуррентным соотношениям, связывающим коэффи циенты fm n И wmn:

fmn —	7—JT о \2 ^ brspq®r№Pq.		(2.87)
4(^+V)
Здесь в сумму входят все произведения, для которых
г ± р — т,		s + q — n.
Коэффициенты brspq определяются выражением
brspq =	2rspq ±	(г2g2 + s2p2),	(2.88)

в котором из двух знаков положительный берется в тех случаях, когда или r + p — m, s — g = п или же г — р = т, s + g = п.

В других случаях выбирается отрицательный знак. Например, для квадратной пластины (а = b) имеем

/2.4 = ëôô(—4 вУ1.1^ 1.з + 36йУ1,цг>313 + 36Ш1,1101,5 + 64а>112ал> +... )•

Связь между коэффициентами прогибов, функции усилий и на грузки устанавливается с помощью первого уравнения системы (2.84). Внося (2.85) и (2.86) в первое уравнение системы, после некоторых преобразований приходим к соотношению

дтп =	ВмЩппК 4 {^2+		+	pWmn p	f	+
+	П2п2	1Ï4				(2.89)
+	Pïwmn ~n -f-		2,2 AJ CrspqfrsWpq.			(2.89)
	ab	4ab .
Суммирование,	как и выше,		охватывает все произведения, для
которых	г ± р — т,		s ± g — n.
	г ± р — т,		s ± g — n.
Коэффициенты Crspq вычисляются по формуле
Сrspq=	i (fQ i		если	r ^ 0, s		0,
или же
Crspq =	± 2 (rq ± sp)2,		если	г — 0,	s — 0.

•Здесь первый знак положителен, если либо г — р = т , либо s —

— q — п (но не одновременно), и отрицателен во всех других слу чаях. Второй знак положителен, если r + p = m и s — q — n или г — р = т и s-f-<7 = n, и отрицателен в иных случаях. Например,

.4			100/2,4^3,1 — 64/г,2Ï03,1 4“ • • •)•
(—8/о,2^ 1,1 •—8 /о,20>1,5 +
Таким образом, для-определения двух				серий	неизвестных fmn
и wmn имеются два соотношения			(2.87) и	(2.89).	В	практических
задачах ряды	(2.86), а,	значит,	и функции ш		и	Ф обрываются
на некоторых	номерах	М и JV. Подставив		(2.87) в (2.89), получим

для определения wmn некоторое количество кубических уравнений, равных числу членов ряда. Далее, по известным wmn находятся fmn. Точность вычислений можно оценивать путем сравнения результатов последовательных приближений отрезков рядов Фурье.

Если внешние силы по контуру отсутствуют, то р \ — р 2 — 0. Если края пластины при деформировании сохраняют свою длину, то удлинение пластины в одном направлении не должно

зависеть от другого направления. Эти удлинения равны:

(2.90)

При этом в самой пластине возникнут внутренние усилия р\ и ръ для определения которых используются условия (2.90).

Внося в правые части (2.90) значения деформаций из закона Гука, получим:

(2.91)

Подставив в них выражения прогибов и функции усилий из, (2.86), придем к зависимостям:

Последние уравнения позволяют выразить р\ и р2 через коэффи циенты wmn.

На рис. 2.13 и 2.14 приведены соответственно зависимости

Nid2

безразмерных мембранных oiM= — т (i = 1, 2) и изгибных а(и =

6A1/U2	(t =	1, 2)					Qfr*
= — ■4	(t =	1, 2)		напряжений от безразмерной нагрузки р — ^ п
Juft			загруженной		квадратной		Eft
для равномерно			загруженной		квадратной	пластинки (а = Ь) с не-
-----------	П------------
h		^		/
	(6,)с=(6г)в/			у
	А
	(6f)û~fe)c
			•>	(&<)*-&)а
0	1QÛ			200........	Р
		Рис.	2.13
подвижными краями (Д1 = Д2= 0) при v = 0,316. Буква							при (а,)
указывает,		в	какой точке		вычислены	напряжения.	Прямые
отвечают линейной				теории. Точки А,В, С, D имеют соответствен

но координаты (0, 0), (-|, о), (о, -|), (-|, j).

Глава 3

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ СВЕДЕНИЯ К СИСТЕМЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЗАДАЧЕ КОШИ

1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МЕТОД НЬЮТОНА

Ряд задач теории гибких оболочек и пластин можно описать с помощью нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями. К таким, в частности, относятся задачи об осесимметричной деформации

гибких круглых пластин, круговых цилиндрических оболочек и вообще оболочек вращения. Также к системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть сведены тем или иным способом понижения размерности более сложные задач», описываемые нелинейными дифференциальными уравнения ми в частных производных.

Внастоящей главе для решения нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений применим метод, основанный на эквивалентной замене исходной краевой задачи системой нелинейных алгебраических или трансцендентных урав нений и задачей Коши для начального вектора.

Всвязи с указанным рассмотрим итерационный метод Ньютона [39, 83] решения системы нелинейных уравнений вида

Ÿ1 (^/1>	У%г • • •>	Уп) = О,
Ы*/1>	уг......... Уп) = 0;
<9п{уи	#2, ...»	Уп) = 0 ,

или в сокращенном виде

? 6 /) = 0 ,

(3.1)

где вектор-функция <р(у) — непрерывна и имеет достаточное число непрерывных частных производных в рассматриваемых областях л-мерного векторного пространства. Построим вычислительную схему метода Ньютона решения системы нелинейных уравнений (3.1) в предположении, что в рассматриваемой области система имеет решение. Для построения вычислительной схемы потребуется матрица Якоби, которую запишем в виде

	&Р,		d<Pi
	ду\	ày2	дУп
	%	йр£	df2
Г (t/i, у2,	дУ\	ày2	Wn	(3.2)
	_дУ\	dJ?n	d4n
	_дУ\	ду2	дУп_
где частные производные s-ой строки находятся			при у = y s,	(s =з
= 1, 2, ... , л).
Пусть известно приближенное значение искомого вектора ун—
решения системы уравнений (3.1). Тогда для			точного решения
—*	равенство
у *— можно записать	равенство
	У* =Ук + Ьу1,			(3.3)
где Дy l — отклонение приближенного решения ук от точного.

Подставляя (3.3) в (3.1), имеем

? {уь + Ьу1) — 0.

(3.4)

Из (3.4) с помощью формулы Лагранжа получаем, что

? \Ук + ДУк) = <р(ук) + Г ((/u,

Упк) byit,

где аргументы матрицы Якоби ~ysk(s = 1, 2, ..., п) находятся в сфе ре радиуса || àyl ||, т. е.

IJysk — УкII ■< ДУк-

С учетом этого разложения вместо (3.4) получаем

	У (Ук) +	^ !Â y l — 0,	(3.5)
где	обозначено Г* = Г (ylk> у2к,	... , уПк).
	Из (3.5) находим
	ДЙ = —ГГV Qk\
или
	у* = Ук — ТГ1ч(ук)-		(3.6)
	Так как векторы ysk неизвестны, то заменим их приближенно
известным вектором ук, а точное значение решения			у* — прибли
женным значением ук+ь
	Окончательно получаем итерационную формулу Ньютона
	Ук+l =Ук — Г -' (уk) Ÿ(у/г),		(3.7)
где	произвольно задают уо и полагают k =*0, 1, 2, . . .
	Поскольку при непосредственном использовании этой формулы
необходимо вычислять обратную матрицу к матрице			Якоби, что

усложняет вычислительный процесс, то удобно вместо формулы (3.7) вести вычисления по следующей схеме:

Г (ук) &j?k = —<рЫ »
Ук+i = уи Н- Д^/й, уо» k = 0, 1, 2, . • •	(3.8)

При реализации этой вычислительной схемы для каждого при-

ближения решается система линейных уравнений с матрицей Г (у*),

а затем по найденному приращению Дуа находятся следующие

приближения ук+i.

Однако в таком виде не всегда удается использовать метод Ньютона для решения нелинейных краевых задач для обыкно венных дифференциальных уравнений. Дело в том, что входимые

в матрицу T(yk) в системе уравнений (3.8) частные производные строго не определяются и их необходимо аппроксимировать ко* нечно-разностными выражениями. С таким обстоятельством прихо

дится иметь дело в тех случаях, когда функции <pt-(у) (i = 1, 2,

п) в системе (3.1) явно не заданы, а задан лишь алгоритм вычис ления их значений при фиксированном значении аргумента. В част ности, такая ситуация возникает при численном решении нелиней ных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений путем сведения их к системе алгебраических или трансцендентных

уравнений и задаче Коши.		В связи с			этим		требуется		заменить
матрицу Т(уь) в уравнении (3.8) ее разностным								аналогом.		Обра
тимся к матрице Якоби (3.2). Введем координатные орты										et (i —
= 1, 2,	. .. , п), т. е. векторы размерности п,						у которых i-я ком
понента равна единице, а все остальные компоненты равны										нулю.
Обозначим
	<?1 (у + кел) — чх (ÿ) <?i (У + he2) ~					(У)	¥i (У + hen) —			(у) .
	h			h		—b-		h
							<f2 (y -f hen) — cp2 (y)
	<р2(Н- fte7) — Ь й	?2 (у + Ие2) ■				(У)
Га(Й =	Л			h				■h
	(У + fo\) ■“ <РпЙ <?n'(y +			he2)	n iï)		?,t(7+ Л<7)“			9п(У)
	h			h				h
										(3.9)
в которой частные производные функций						ср/ (/ =		1, 2, . .		п) за
менены их разностными отношениями.
Матрица Га(у) является разностным аналогом матрицы Якоби
(3.2) вектор-функции ср (у)		и	зависит от		вещественного				параметра
к, который называют шагом аппроксимации.							процессов		Ньютона
Исследование сходимости			итерационных
вообще	проводилось для	более		общих		операторных			уравнений
в банаховом пространстве		[40] и для систем					нелинейных			уравне

ний в конечномерном векторном пространстве [83], где установлено существование решения и дана оценка быстроты сходимости про цесса.

В работе [83] исследован		вопрос о быстроте сходимости итера
ционного процесса	Ньютона	при замене матрицы Якоби ее дис
кретным аналогом,	а также	вопрос о применении метода Ньютона

к решению системы нелинейных уравнений в случае, когда мат рица Якоби является особой.

Следует отметить, что результаты теоретических исследований по установлению существования решения и оценке быстроты сходи-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 298 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги