книги / Теория вертолета. Кн. 1

8

Математическое описание вращающихся систем

В настоящей главе представлены некоторые соотношения, полезные при анализе периодических динамических систем, к который относится рассматриваемый здесь JV-лопастный несу­ щий винт вертолета, вращающийся с угловой скоростью О. Для одной лопасти период составляет Т = 2л /Q. В безразмерном времени, измеряемом величиной угла азимута ф, период равен 2л. Для несущего винта в невращающихся координатных осях период составляет Т = 2n/NQ. Нас будет интересовать устано­ вившееся состояние вращающейся системы, которому во вра­ щающихся осях соответствует периодическое движение, описы­ ваемое с помощью рядов Фурье (как в гл. 5). Мы будем также рассматривать переходные процессы во вращающейся системе и ее динамическую устойчивость.

8.1. РЯДЫ ФУРЬЕ

Ряд Фурье представляет периодическую функцию Р(Ф) в виде линейной комбинации гармонических составляющих с ос­ новным периодом 2л:

(предполагается, что масштаб времени нормирован таким об­ разом, что безразмерный период равен 2л). Коэффициенты Фурье, или амплитуды гармоник, — постоянные величины, кото­ рые определяются следующим образом:

уравнения движения произведения синусов и косинусов сводят­ ся к суммам синусов и косинусов с помощью тригонометриче­ ских соотношений. После этого производится приравнивание коэффициентов при одинаковых гармониках (т. е. при 1, совф, sinij), cos2\|), sin2тр и т. д.) в правой и левой частях уравнения движения; в результате получается система линейных алгеб­ раических уравнений бесконечно большого порядка для ампли­ туд гармоник р0>Pic, Pis и т. д. Для получения системы конеч­ ного порядка ряд Фурье ограничивают требуемым количеством гармоник.

Во втором способе к дифференциальному уравнению движе­ ния применяют следующие операторы:

2л 2л 2я

Периодические коэффициенты вновь записываются в форме ря­ дов Фурье, а произведения гармоник сводятся к суммам гар­ моник. Данный способ проще предыдущего, поскольку в нем параметры движения не представляются в форме рядов Фурье. Интегральные операторы применяются только к произведениям параметров движения на синусы и косинусы, т. е. к членам вида Рсоэбф или р sin Далее полученные интегралы заменяют соответствующими гармониками движения лопасти с помощью выражений коэффициентов Фурье. В результате получают си­ стему линейных алгебраических уравнений, которую решают для требуемого количества гармоник.

Оба способа приводят к одной и той же системе уравнений. Операционный способ имеет то преимущество, что в нем сразу получается искомая система уравнений; его можно интепретировать как представление в невращающейся системе координат условия равновесия моментов, из которого вытекает уравнение движения.

8.2. СУММА ГАРМОНИК

Для определения суммарного действия несущего винта с N лопастями, совершающими одинаковые периодические движе-

принятой за начальную), а Д ф ='2я/А г — азимутальное расстоя­ ние между лопастями. Суммирование производится по всем ло-

где gn = 1, если п — -j- + pN (р — некоторое целое число),

и gn= 0 в противном случае. Таким образом, суммы равняются нулю, если номер гармоники не равен нечетному числу, крат­ ному N/2 (при этом несущий винт должен иметь четное число лопастей). Доказательство аналогично приведенному выше; за-

8.3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

При практических вычислениях периодическая функция Дф) обычно задается в J точках, равномерно распределенных по азимуту: // = f (ф/), где ф;- = /2я// для /, меняющегося от. 1 до /. Функция f в промежутках между известными значениями может быть оценена с помощью интерполяционной формулы Фурье:

есть численная оценка представления функции Дф) гармони­ ками ряда Фурье. Если L < ( / — 1) /2, то данное выражение яв­ ляется наилучшим приближением к f в смысле минимума сред­ неквадратических отклонений. Если L = (/-— 1)/2, то Дфу) =

Интерполяционная формула Фурье, давая точную оценку периодической функции в точках, где ее значения известны, обычно плохо определяет промежуточные значения. Она при­ водит к отклонениям из-за высших гармоник и не позволяет получить хороших оценок производных функции. При числен­ ном гармоническом анализе лучше использовать линейную ин­ терполяцию

ство гармоник. Интерполяция улучшается усечением ряда Фурье: I = —L ч- L. Обычно значение L ~ J /3 удовлетвори­ тельно.

8.4.ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Вобщем случае уравнения движения несущего винта во вращающейся системе координат содержат параметры, описы­ вающие, движение каждой лопасти по отдельности. Примером

может служить уравнение махового движения, полученное в гл. 5. В действительности, однако, несущий винт реагирует на возмущения (такие, как порывы ветра, отклонения управления или перемещения вала) как единое целое в невращающейся системе координат. Поэтому желательно иметь дело с пара­ метрами, которые отражают это реагирование. Такое представ­ ление движения несущего винта упрощает анализ и позволяет лучше понять поведение винта. Для установившегося состояния маховое движение лопасти описывается рядом Фурье, ампли­ туды . гармоник которого характеризуют движение несущего винта в целом. Уравнения движения в невращающейся системе координат представляют собой просто алгебраические уравне­ ния для амплитуд гармоник. Далее мы будем рассматривать ди­ намику несущего винта в общем случае, включая переходные процессы.

Преобразование параметров и уравнений движения при пе­ реходе к невращающейся системе координат будем называть фурье-преобразованием. Имеется много общего между этим пре­ образованием координат, рядами Фурье, интерполяцией Фурье и дискретным преобразованием Фурье. Так, общим является периодический характер системы. Фурье-преобразование коор­ динат широко применялось в исследованиях, хотя часто лишь на эвристической основе. Оно было использовано, например, в работе [С.77] для представления движения лопасти в плоскости вращения при анализе земного резонанса и в работе [М.121] для представления махового движения лопасти при анализе устойчивости и управляемости вертолета. Среди недавних ра­ бот с применением фурье-преобразования координат на более солидной математической основе можно отметить [Н.137].

8.4.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим несущий винт с N лопастями, расположенными на азимутах фт = ф т Д ф , где ф — безразмерное время (ф = при постоянной угловой скорости) и Дф = 2я/М — расстояние по азимуту между лопастями. Номер лопасти пг ме­ няется от 1 до N. Пусть р(т) — угол взмаха пг-й лопасти во вращающейся системе координат. Фурье-преобразование

координат является линейным преобразованием углов взмаха из вращающейся в невращающуюся систему координат. Вводятся следующие новые параметры движения:

Эти параметры описывают движение несущего винта в невращающейся системе координат. Так, Ро—-угол конусности ло­ пастей, а р|с и Pis — углы, определяющие наклон плоскости кон­ цов лопастей. Остальные параметры можно назвать «безреакционными», поскольку они не связаны с силами или моментами на втулке винта. Обратное преобразование, которое вновь дает движение отдельной лопасти, имеет вид

ного N. Безреакционный параметр движения р^/г входит в пре­ образование только при четном N.

Переменные Ро, р„с, Р«* и Рлг/2 являютсяпараметрами дви­ жения, т. е. функциями времени, как и переменные р(ш). Они характеризуют движение всего несущего винта в невращающейся системе координат, тогда как переменная р<т > описы­ вает движение отдельной лопасти во вращающейся системе кбординат. Таким образом, имеем линейное обратимое преобра­ зование N параметров движения p(m> (т = 1, ..., N) во вра­ щающейся системе координат в N параметров движения р0, рпс, P«s, PJV/2 в невращающейся системе координат. Сравним это преобпазование координат с представлением установившегося ре­ шения в виде ряда Фурье. В последнем случае, когда р<т > яв­ ляется периодической функцией фт , движения всех лопастей одинаковы. Отсюда следует, что движение во вращающейся си­ стеме координат может быть представлено рядом Фурье с по­ стоянными коэффициентами и бесконечным количеством членов, так что имеется аналогия между фурье-преобразованием коор­ динат и рядом Фурье.

Параметры, связанные с общим и циклическим шагами (Ро. Pic и pis, где р может обозначать любую степень свободы лопасти), имеют особую важность ввиду их4 основной роли в связанном движении несущего винта и фюзеляжа. Из даль­ нейших глав будет видно, что на вертикальных режимах полета только параметры, связанные с общим и циклическим шагами,

обусловливают связь с движением фюзеляжа, тогда как безреакционные параметры (р2с, fbs, рпс, pns и Рлг/2) соответ­ ствуют собственным движениям несущего винта. На режимах полета вперед до некоторой степени все параметры движения несущего винта связаны с движением фюзеляжа, однако па­ раметры, связанные с общим и циклическим шагами, и в этом случае определяют динамику системы. Безреакционный пара­ метр движения p/v/2 винтов с четным числом лопастей вносит некоторые особенности в анализ. Этот параметр описывает идентичное для всех лопастей движение, знак которого пооче­ редно меняется для каждой последующей лопасти. Отметим, что для двухлопастного несущего винта в невращающейся си­ стеме координат имеются два параметра движения — угол ко­ нусности и угол наклона качалки:

Э.= j ( P (2)- P (,)).

Вданном случае угол наклона качалки Pi заменяет собой цик­ лические углы р|Си Ри и обусловливает связь с движением фю­ зеляжа. Ввиду отсутствия циклических углов динамика двухло­ пастного винта сильно отличается от динамики винтов с боль­ шим числом лопастей.

Докажем теперь, что параметры движения во вращающейся

иневращающейся системах координат описывают одно и то же движение. Пусть число лопастей N — нечетное; тогда комплекс­ ное представление их движения в невращающейся системе ко­ ординат имеет вид

(N-1)12

N

m-1

Покажем, что эти преобразования взаимно обратимы. Подста­ новка выражения р<т> дает

3 3 0 Глава 8

Используя результаты разд. 8.2 для суммы гармоник, находим,

требовалось доказать. Доказательство для случая четного N проводится аналогичным образом, хотя оно и. несколько услож­ няется наличием параметра $N/2-

Рассмотрим далее преобразование производных по времени

где Q = ij). В безразмерных уравнениях величина Q опускается, поскольку она постоянна (при необходимости учета изменения частоты вращения несущего винта вводится дополнительная сте­

пень свободы), и Q =* 0. Тогда гармоники производных опреде­