книги / Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуатации нефтяных месторождений. Проектирование разработки
.pdfПри получении уравнений неравновесной неизотермической фильтрации уста* навливается зависимость между интенсивностью локального источника энтропии diS и протекающими необратимыми процессами.
Но одно установление указанной термодинамической связи недостаточно. Это объясняется тем, что систему (законы сохранения массы и энергии* уравнения баланса энтропии и состояния) еще нельзя решить, так как в ней содержатся в ка честве неизвестных переменных необратимые потоки, в то время как в качестве начальных и граничных условий при расчетах задаются параметрами состояния (давлением, температурой, концентрацией) или их производными.
Поэтому указанная система дополняется феноменологическими уравнениями, выраженными через параметры состояния, которые позволяют установить связь между необратимыми потоками и соответствующими термодинамическими силами, входящими в выражения для источника энтропии.
После этого система уравнений становится согласованной.
Уравнение баланса энтропии рассматриваемого процесса строится на основе соотношения Гиббса, связывающего скорость возрастания энтропии с изменением внутренней энергии U\ и, удельного объема v = 1/р и значений концентрации Су,, меняющейся в связи с фазовыми превращениями, химическими реакциями,
диффузией.
Изучая гетерогенную систему, состоящую из п фаз / (/ = 1, 2, ..., я), содер жащих к компонентов i (i = 1, 2, ..., к), имеем функцию Гиббса для скорости изменения удельного значения энтропии в фазе /:
dSj |
duj |
dvj |
tElL |
(XV.24) |
|
S^ 4 F |
-"Ч Ц Т |
+ SJPJ^T |
|||
- Е * л ' dt |
|||||
|
|
|
i=i |
|
где Tj — абсолютная температура (термодинамическая); S, — удельная (на еди ницу массы) энтропия; uj — удельная внутренняя энергия; Vj — удельный объем; Су, = ру,/ру — концентрация компонента i в фазе /; р,'., — потенциалы Гиббса
для фазовых переходов, химических превращений компонентов t, диффузии. Применимость функции (XV.24) в качестве определяющей возрастание эн тропии за счет необратимых процессов обоснована И. Пригожиным, который уста новил границы ее использования. Эта функция, отражающая второй закон термодинамики, совместно с уравнением Онзагера [18] являются основой для выбора потоков и соответствующих термодинамических сил (при дополни тельном учете принципа Кюри, предусматривающего определенную тензорную
согласованность). Приведем уравнение Онзагера
Т '4 г = |
5 J r x r> |
|
(XV.25) |
где |
|
|
|
N' |
|
|
|
Jr = 2 |
Ll’a 'Xa'' А' = 1.2, |
■» AT; |
(XV.26) |
г=\ |
|
|
|
а' — параметры состояния (температура, давление, концентрация и т. д.); J г — |
|||
поток, полная |
производная отклонения параметра |
состояния от равновесного |
|
по времени; Х„, — термодинамическая движущая сила — частная производная
отклонения энтропии от состояния равновесия по параметру состояния (его от клонению от состояния равновесия); L,,^, — кинетические коэффициенты;
L,, , = Lat(f (соотношение взаимности или принцип симметрии кинетических
коэффициентов).
Важным и принципиальным моментом является то, что перенос тепла и ве щества здесь определяется не одной соответствующей силой (как в обычной рав новесной теории молекулярного переноса), а действием всех термодинамических
сил (XV.26).
Чтобы решить уравнение (XV.24), необходимо найти полные производные по времени в зависимости от внутренней энергии, удельного объема и изменения
31з
концентраций компонентов (в фазе) в связи с фазовыми переходами, химическими реакциями и др.
Приведем основные уравнения и функции, составляющие основу системы дифференциальных уравнений, описывающих неравновесную неизотермическую фильтрацию многокомпонентных многофазных жидкостей с фазовыми переходами и химическими реакциями.
Уравнения получены с учетом законов сохранения массы, количества движе ния (импульсов), энергии и закона возрастания энтропии. Функции определены для отдельных компонентов i и для фаз /.
Использован принцип аддитивности, позволяющий рассматривать выделя емый объем dV в качестве элемента пласта. При этом скелет коллектора рассма тривается как одна из фаз, входящей в объем dV. Все вещества (природные или нагнетаемые), заполняющие поровое пространство, составляют систему компо нентов i (i = 1, 2, ..., к). Считается, что фазы, заполняющие объем dV (жидкие, газообразные, твердые), могут содержать указанные компоненты. Их относитель ное содержание в каждой фазе определяется термодинамическими условиями (состоянием системы).
При изменении условий, определяющих фазовое равновесие, компоненты соответствующим образом перераспределяются между фазами, в связи с чем ме няется их относительная концентрация в фазах.
Насыщенность фаз компонентами и их относительный объем в фиксированном элементе dV меняются в соответствии с процессом фильтрации и изменяющимися термодинамическими условиями.
Чтобы применять соотношения механики сплошной среды к настоящей су щественно гетерогенной пластовой системе, последняя гомогенизируется путем введения приведенных (к объему dV) параметров (плотности фаз, скорости те чения, давления).
При изучении процесса движения многофазных многокомпонентных систем предполагается рассмотрение двух аспектов.
1. Процесс движения рассматривается с учетом различия скоростей у раз ных компонентов i\ учитывается взаимодействие между компонентами. Силовое давление, трение между фазами не рассматриваются, учитывается только компонентообмен между ними.
На основе термодинамики неравновесных процессов можно определить дей ствующие термодинамические силы и потоки и с помощью феноменологических уравнений установить различные кинетические коэффициенты для так называ емых перекрестных эффектов, возникающих в процессе фильтрации.
2. Определяется движение центров масс смеси компонентов, т. е. движение фазы в целом. Передача импульсов учитывается относительно центров инерции фаз. Рассматривается межфазный компонентообмен и связанный с ним обмен импульсами. Учитывается межфазное силовое взаимодействие.
При определении скоростей движения центров масс можно использовать обобщенные фазовые проницаемости. Это дает возможность построить систему дифференциальных уравнений, учитывающих основные процессы и эффекты.
Оба аспекта имеют определенное значение.
Уравнение непрерывности
Уравнение непрерывности (баланс массы) для отдельного i-ro компонента имеет вид
д (sjpji) = |
— div (sj pjiWji) — div (sjJji) |
+ |
|
dt |
|
|
|
Г n—1 |
|
|
(XV.27) |
+ sj* |
/-1 |
|
|
L/-1 |
|
|
|
*= 1. 2 ,..., |
к; / = 1, 2, ..., d; / = 1, |
2, ..., n\ |
s7-= 1. |
|
|
|
/=1 |
314
Уравнение непрерывности для компонента i с учетом скорости движения, осредненной относительно центра массы фазы /,
-|j- [msjnPjMji] = — div {mSjnWjpjMji] —
|
|
|
к |
Г л—1 |
|
|
|
|
div [msjuJji] 4- msju 2 |
2 |
|
+ 2 |
|
||
|
|
i—\ L/=l |
|
f=l |
|
||
/ = |
1, |
2,_..., n\ i = 1, |
2....... к; |
/ = 1,2, |
2 |
||
2 |
s^n = i • |
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
В |
(XV.27)—(XV.28) |
|
|
|
|
|
|
|
dVj |
|
(объемная |
концентрация) |
фазы |
||
Sj = |
---- насыщенность |
||||||
|
|
объема dV; |
|
|
|
|
|
|
|
dVj |
|
|
в |
поровом объеме dVu: |
|
Sjn = -гг?---- насыщенность фазы j |
|||||||
|
|
uv л |
|
|
|
|
|
|
|
dJCji |
|
|
|
|
|
Рji = ■dVj |
|
|
|
|
|
||
|
|
dJfli |
фазы /; |
|
|
|
|
р ^ = —-----плотность |
|
|
|
||||
(XV.28)
= 1;
j в элементе
_ / f £ \ |
относительная массовая концентрация компонента i в |
\/ dv.
фазе /, т. е. массовая доля компонента i в данной фазе, -> -*■
wfi — скорость движения компонента i в фазе /, wj — ско рость движения центра массы фазы /,
w |
— |
1 у 1 |
|
р . LpjiWjf, |
Ji'i = Pyi (w/i — о//) — плотность диффузионного потока компонента i в фазе /; Xjulф1— источник (или сток) компонента i в фазе j за счет фазовых переходов между фазами / и / — отражает количество массы вещества i-ro компонента, вы деляемого или поглощаемого в единицу времени в единице объема.
Скорость фазовых переходов пропорциональна разности химических потен циалов Гиббса компонента i в фазе j и /, которые зависят от компонентного состава, давления и температуры.
^ф£ = /, и = ф(Р'ф/1; И'ф/»);
^ф/f = (М/1* М/2- • •• М/к> Р/> Т/)>
И’ф» — И'фК |
• ••> м 1к, PirTty, |
Qjulxf — источник (или сток) массы компонента i в фазе / за счет химической реакции /, приводящей к переходу компонента i между фазами / и / в единицу времени в единице объема.
М
315
ЗдесьdJtju — количество вещества /'-го компонента, взаимодействующего с дру гими компонентами при химической реакции; Qju — произведение молекулярной массы /-го компонента на стехиометрическое число в уравнении химической; реакции /; (6//*)/—параметр полноты протекания химической реакции.
Удельная производительность или скорость химической реакции в каждый момент времени определяется результирующей скоростью прямой и обратной реакций.
Скорость прямой и обратной реакций определяется законом действующих масс и законом Аррениуса, учитывающих влияние температуры, концентрации веществ и др.
Для ее нахождения может быть использована следующая формула:
|
|
|
hi\ |
|
|
hi2 |
|
|
|
Qae |
м П с 'п - |
Qpe |
П |
cji2 |
|
|
|
|
|
|
il |
|
|
где fia . |
— коэффициенты пропорциональности прямой и |
обратной реакций; |
|||||
Еакii• |
£ак£? — энергии |
активации; а |
и (3 — числа, |
характеризующие порядок |
|||
|
|
|
|
( |
|
кДж |
\ |
|
|
|
|
|
Дм —8,32------ ZT?) Т — температу- |
||
® |
,/н1 |
р JU2 |
|
|
|
МОЛЬ • |
1\ / |
ра;ПС/71 |
П Cji2 — произведения концентрации (С/7) реагирующих исход- |
||||||
пi'2
ных /1 и конечных/2 компонентов среды в степенях, соответствующих стехиомет рическим коэффициентам (hi 1 и hi2).
Если |
константа термодинамического равновесия реагирующей системы |
|
р |
,hi2 |
IJ* ,hi\ |
К = И |
с 72 |
/ П C.iX > 1, то результирующая скорость реакции или удельная |
12 |
|
/ i\ |
производительность процесса химического превращения вещества определяется лишь прямой реакцией:
Q//t1хf — Цхе |
RJT |
n c ,t |
|
|
ii |
Уравнения движения (баланс импульсов)
Движение компонента i в смеси компонентов фазы / при фазовых превраще ниях и химических реакциях описывается уравнением
—^ 7 д/ |
^ = |
— |
!S; (Р-7*wj* Wji |
R»)] |
|
|||
|
Гn |
i |
- |
a |
Q7*i V |
'(/. /) i + S/pjp /i . |
(XV.29) |
|
+S/ |
5 |
X/,< |
||||||
|
|
|
|
|
||||
( = |
1, 2, |
. |
/ = 1 ,2 , ... , |
n; / = 1 ,2 ........J ] s ; = l , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
/=» |
|
|
316
Уравнение движения центра массы фазы / определяется уравнением
д (Sjpjwj) |
|
■— Div |
SjlpjWjWj -f 2 |
П /i |
+ |
|
|||||||
|
dt |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[=1 |
|
|
|||
|
|
|
к |
/п -1 |
|
^ |
|
Ъ |
|
^ |
|
||
+ |
s/ |
|
2 |
1£ |
Х/7i!<btwu, |
П i + £ |
a ililxlw(j, |
I) i |
|||||
|
|
.1=1 |
\ /= 1 |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|||
+ |
S7 [ 2] |
#y/ + |
Jj |
pjt* |
|
|
|
|
|||||
|
|
l |
1=1 |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
i = 1, |
2, |
. |
. |
к; |
/ = 1,2, |
л; / = 1,2, |
|
tf; |
|||||
В |
(XV.29), |
(XV.30) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
, |
к |
|
|
|
|
Ру = |
|
Vi |
|
|
|
= |
1 |
V' |
py/^y/; |
|
|
|
|
|
2j Руь |
|
— |
2j |
|
|
|
||||||
|
|
i=i |
|
|
|
|
Р/ |
t=i |
|
|
|
|
|
+
(XV.30)
s, = 1.
/=1
-> -> |
* |
-> |
-> |
|
|
pjwjwj = 2j |
pyi^yi^yi; |
|
|||
—►— |
t=i |
|
|
|
|
|
(диада), |
построенный |
из компонентов векторов Ik |
||
pjWjWj — тензор |
|||||
(Р/*/®/Ь = Р/®/®/! |
|
|
|||
-► |
|
|
|
|
|
Fiji — обобщенный тензор, |
^ |
^ |
|||
-> |
-> |
-> |
|
||
n ;i = |
0Pji + |
Rji •+ |
Рji (Wji — Wj) (Wji — Wj); |
||
Z |
- > - > - ► |
VT PyiPyP |
|||
Rji=—Pjiwj (wJi - |
wj) = — 2 j |
nT" W/Р |
|||
|
|
|
|
P=1 |
Py |
|
|
|
|
|
|
(Wji — Wj) — вектор относительной скорости компонента i (вектор диффузии),
QPji — обобщенный тензор давления (напряжений) i — компонентов, определен ный относительно центра инерции этого компонента, характеризует влияние взаимодействия молекул одного и того же вещества на изменение количества
движения (импульса) компонента t; Rji — тензор напряжений в веществе компо нента i, вызванных взаимодействиями сдругими компонентами Р, находящимися в фазе /, характеризует силовое взаимодействие между указанными компонентами
[23], Rjj. — объемная сила диффузионного трения; ю(/ — скорость движения компонента i\ если осуществляется переход из фазы / в фазу /, — wn\ то же, при переходе из фазы / в другую — Wjj\ Rji — сила межфазного взаимодействия,
учитывает силу трения и давления; ру*Фу* — комплекс, учитывающий влияние внешних сил (например, силу тяжести) на изменение количества движения ком понента i.
Вторые комплексы в правой части (XV.29) и (XV.30) учитывают влияние фазовых переходов и химических превращений на изменение количества движения фазы /.
317
Баланс энергии
Баланс энергии многокомпонентного многофазного потока состоит из кине тической, потенциальной и внутренней энергий. Определение видов энергии необходимо для построения общего уравнения энергии фильтрации. Кроме того, выражение для внутренней энергии используется при определении баланса воз растания энтропии, которая необходима при нахождении термодинамических сил и необратимых потоков в протекающих неравновесных необратимых процессах.
Кинетическая энергия компонента i фазы /
|
д |
|
|
|
= — div |
|
|
|
W; |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
si \Pji-o~W ji + Pji |
Wji |
|
+ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n—1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
WU, l)i |
|
|
|
|||
+ si 2 |
% |
: Grad“v<+ |
si |
2 |
|
+ |
|
|
|||||||
* 'jli |
ф1 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
L/=l |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
W\ |
|
+ |
sj (Rjj r wIi-\-pIiOji-wIi)f |
(XV.31) |
|||||||
/=1 |
|
- (/. П i |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i = |
l, 2 ,..., |
к; |
/ = |
1,2....... |
я; |
/ = |
1, |
2, ..., Ф; |
J ^ s j = \ . |
||||||
Кинетическая энергия для фазы / |
|
|
|
|
/=i |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
' 1 |
* т |
) |
|
|
Г |
( |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
T t------ = - |
div |
[s/ [ v |
T |
w‘ + |
2 j |
il • Wi t |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
s |
L=\ |
|
|
|
|
L/=l |
\/ = l |
|
-----о-------Г |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tl—1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
Q}tiIxf W(i‘i ) ~ )i + |
S} |
|
Rjl.(Wj— w{) + |
> |
PjiOji-Wj |
||||||||
|
t=[ |
|
|
|
/J |
|
L /=1 |
|
|
|
|
i=i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(XV.32) |
i = |
1, 2, |
...» |
к; |
/ = 1, 2, |
..., n\ |
f = |
1,2, |
; |
J |
] = 1. |
|||||
В |
(XV.31), (XV.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Pji — oPji + Pji\ |
|
|
|
->■ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
->■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P°t- |
транспонированный тензор Р/Ч- путем замены индексации в матрице напря |
||||||||||||||
жений (столбцы меняются местами со строками), знак • |
характеризует скалярное |
||||||||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
+ ° |
что приводит к скаляр |
||
произцедение, знак J |
— двойную сэертку тензора Я^, |
||||||||||||||
ному |
значению» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
318
Потенциальная энергия |
|
компонента |
|
фазы |
/ |
|
|
|
|
|
||||||||
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7- |
+ |
|
|
|
|||
------ 0l------ •= — dlv Is; (l'jityjiwji |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
~ll—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-I |
|
|
|
|||
+ sj |
|
2] |
^(/\ |
/) i^ jli^ i + 5] |
^(/, |
Di^jli^xf |
|
|
|
|||||||||
— Sj (Pji®ji •wj + |
Jji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(XV.33) |
||||||
i = |
1, 2, |
|
|
/ = 1 ,2 , ... , |
л; |
/= 1 ,2 , |
|
|
fl; |
1. |
||||||||
|
|
|
|
J ] s j= |
||||||||||||||
Потенциальная энергия фу фазы / |
|
|
|
|
|
|
|
i = i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
д ( |
|
|
= — div |
sj |
pjtyjwj |
-b |
2 |
фу/Tyi ) |
+ |
|
|
|||||||
dt |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
\ |
|
i=1 |
|
/ |
|
|
||||||
|
- |
к |
I n—\ |
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
+ SJ |
|
^23 ^(/, |
/) iKilil^i + S'fy/. /) iQ//t |
|
|
|
||||||||||||
|
|
JL |
|
- > - > + - ► |
|
|
|
|
|
|
|
|
(XV.34) |
|||||
|
|
2j ‘(pj№ji'wj |
4“ J ji’^ji) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
i= l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i = |
1, |
2, |
...» |
к; |
/ = 1 ,2 , ... , |
л; |
/ = 1, |
2, |
..., |
■&; |
J ] s y = l . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=l |
|
|
Внутренняя энергия системы определяется путем вычитания из общего |
||||||||||||||||||
баланса суммы кинетической и потенциальной энергии. |
|
|
||||||||||||||||
Внутренняя |
энергия |
компонента |
i |
фазы |
/ |
|
|
|
|
|
||||||||
д (SjPjiUji) |
|
|
|
|
->• |
|
->- |
|
|
|
|
|
|
|||||
------ ------= |
— div [SjipjiUjiWji) + |
j 4i] — |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
~X |
|
-> |
|
|
|
/n—\ |
|
|
|
|
|
"& |
|
\ |
|||
-s/P/< |
Grad “W '+ s; |
5j x/ h V “</. 0 f + |
S |
a iiilxfuu. ;> t - |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\t=l |
|
|
|
|
|
/=1 |
|
J |
||
- h |
i r wji + R ifi^ |
s 'a ; (p (Г,,- - |
T/p); |
|
|
|
|
(XV.35) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
i = |
1,2........к; |
/ = |
1, |
2, ..., л; |
/ = 1, |
2, |
..., |
fl; |
1. |
|||||||||
J] sy = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=i |
|
|
Полная производная по времени от внутренней энергии, используемая при определении функции возрастания энтропии, (XV.24) на основании (XV.35)
имеет вид |
|
|
|
|
dujj |
_ |
~ |
? " : Grad |
+ |
dt |
div Л |
|||
|
Г/1-1 |
|
|
|
+ ^ г |
£ кш!ф1ии, 1) i + |
2 ^jli^xfuU, /) * |
|
|
|
f=1 |
|
|
|
|
к-1 |
|
(XV.36) |
|
— — |
-Ь Яip] — $] |
““ ^/р)» |
||
|
В=1 |
|
|
|
/ = 1, |
2....... к; / = 1 ,2 ......... л; |
/ = 1 ,2 ,..., |
О; £ s y = l . |
|
|
|
|
|
/= 1 |
319
Внутренняя энергия фазы j
д (sjpjUj) dt
К |
9 |
П |
Д?, |
i= 1 |
|
du |
— |
L_div |
|
|
|
|
|
|
||
4 J |
J |
sj' 2 ( |
ч |
+ р ' , - т £ ® ') 1 _ |
|
|||||
|
|
sJPj |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
L |
/=1 |
|
|
|
|
— |
L Y f t |
Grad w. h |
|
|
|
|
||||
|
P; |
L i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
/ n—\ |
|
|
|
|
|
|
|
+ T7 |
Li=l |
\ |
/ |
|
|
|
f= 1 |
|
||
|
n—1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
- |
2 |
a/' (г / ~ |
r ') _ |
s ,p. |
dt ( sj Z |
|
||||
p7< |
|
|||||||||
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
1= 1 |
|
|
/ = 1 ,2 ....... к; |
у = 1 ,2 ,..., л; |
/ = |
1, 2, |
J ] s j = 1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
320
Если |
пренебречь |
комплексами, |
содержащими А/?.- то |
(XV.37) и (XV.38) |
|||||
упрощаиц ются. |
|
|
|
|
в фазе / |
|
|||
Баланс полной энергии компонента i |
|
||||||||
д (SjVjieji) |
div [sj (рjiQjiwji +■Pji'Wji |
4- tyjiJji + |
^qji)\ + |
||||||
|
dt |
’ — |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Гп—1 |
|
в |
|
|
|
|
|
+ |
S/ |
S |
*'• |
')< + 2 |
|
|
О »■ + |
|
|
|
|
L/=i |
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/г-i |
|
|
|
|
+ |
% |
•(“’/* — “’.-p) - sj |
«ip (T’/f - |
T’/p); |
|
(XV.39) |
|||
i = l,2, |
...,k ; |
/= 1 , |
2....... n; |
/= 1 , 2, |
J ] s y = l . |
||||
Баланс |
полной |
энергии фазы |
j |
|
/=1 |
||||
|
|
|
|||||||
д (sjpfij) = — div dt
[ K i n—1
/ |
к -> |
к |
к |
|
|
sj I PjQjwj + |
S |
4- 2 |
4- 2 |
^Q*. |
+ |
|
i=i |
t=i |
i=i |
7/ |
|
|
ft |
|
|
|
|
E |
E |
x//t V |
e(/. /)«■*" |
E |
Q//i 7^/e(/. /) * |
+ |
t=i |
\/= i |
|
/7-1 |
/=i |
|
|
n—1 |
|
|
|
|
(XV.40) |
|
+ S; E Rjl-faj — “>/) — s7 E a]i (Ti ~~ Tib |
||||||
1=1 |
|
|
/=1 |
|
|
|
i = 1,. 2, |
..., к; |
/ = 1, |
2....... /i; |
/ = |
1, 2, ..., fl; J] |
sj = 1. |
|
|
|
|
|
/=i |
|
В (XV.39), (XV.40) eye, ey- — полная энергия компонента i и фазы /; энергия взаимодействия между компонентами i и Р и между фазами j и /, переходящая в тепло (теплообмен в точке),
RiP • (wji — wjt) > |
Rjf(Wj — Wi). |
|
о т - р 4 + t |
р//д/< |
+ pM -f pm; |
2 |
||
1=1
к |
к |
p a = £ ряел; |
р Л = £ рлЧ’л; |
i= l |
i= l |
к
р я /= 2] рл«я- i= l
Приведенные уравнения и их анализ раскрывают внутреннюю физико химическую природу сложных процессов, происходящих в пластах при фазовых превращениях и химических реакциях, сопровождающихся энерго- и массопереносом при фильтрации.
Отмеченное многообразие явлений в пласте описывается единой функцией состояний (энтропией) — ключевой при построении полной и замкнутой системы дифференциальных уравнений, используемых при расчетах.
321
Уравнение полного баланса энтропии многофазной многокомпонентной системы.
Определение потоков необратимых процессов
Для изучаемого здесь процесса фильтрации с фазовыми переходами и хими ческими реакциями функция скорости производства энтропии (XV.24) для фа зы / приобретает вид
dS{ duj dx)j SjTj ~dT = ~df + SjPj ~df +
/1-1
(XV.41)
i = l, 2 ,..., к; /= 1 , 2, ...Д ; / = 1, 2, ..., |
£ s, = 1. |
|
/=1 |
Vj — удельный объем фазы /; pj — давление в фазе /; uj — внутренняя энергия фазы /.
После подстановки соответствующих функций в (XV.41), умножения левых и правых частей на ру- и их деления на Ту получим уравнение полного баланса энтропии для фазы j в частных производных:
д (sjpjSj) |
|
div (SjJs) — sj ^ |
~ ftfi (Grad Wj) — |
|
|||||
|
dt |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
fei |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1= 1 |
|
|
( t t ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(п -1 |
X//i“(/.0 4» |
, |
. |
Q; |
|
|||
+ S7 |
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
/=1 |
|
|||
|
\/=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
/п-1 |
^*/7. |
|
|
А |
|
|
||
+ |
SJ ( |
s |
/ф, |
f |
^ - |
|
+ |
||
|
\/=1 |
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
/1-1 |
в... |
->• |
-> |
|
. T j - T , \ ' |
|
||
+ |
Sj |
|
“V — До/ |
* |
|
(XV.42) |
|||
|
|
|
Тj |
|
ai‘ |
|
|||
|
= 1,2....... к; |
/ = |
1, 2, |
.... n\ |
/==1,2, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/=> |
|
Здесь
l s = p/S/a>/ + Y J 2] ( 4 , — V-ji
— поток энтропии за счет конвекции и диффузии.
322