книги / Пространственная модель турбулентного обмена

(Д ^ * ) = (VI- 1, к + ЙГ+1, к + V*. * - 1

- ♦ МкУГ *,

(2.10)

(П ,* -

П |_1, 01"1*

I /*.

если

« л

>

0.

(П л ь -

й ц

. ] . * )

1г< г*

№

е с л и

и 1к

<

0 ,

(2.П )

(П,* -

Л,,

* _ ,)

|н,*

1УАГ

если

и,*

5» 0,

( - ! -

•ь

)

\Щ *\-и1кУ

, к ^

2

\ Л А

( - 1 -

+

>

И

ь<н

)

л ,

I *>/* I ~ »1к

2

1

- ( - * -

\ Л й

'•

\ я п

+ ( ^ 7

+ 1“» 1

*

• “«. | ) я *

=

0.

(2.12)

-

'•'(♦I.*

- '•'(.»-! -

+ 44-,, = -ЛаЯ|*.

(2.13)

/ = 1,. . . , » д

к - 1 , . . . ,я .

На границе у а

1, согласно условиям (2-7),

^ ч ,п *1

а 0.

С.

(2.16)

После использования

в

уравнениях

(2.12), (2.13) граничных условий

(2 .1 4 )-(2 .1 6 )

получим

систему алгебраических

уравнении дин неизвест­

ных й Гк н Ф ^ в н д а

- « « ^1 + 1 ,* “

* -1 - ^« ^Г .А +Т +

4

* «?«(♦),

(2.17)

~а1 к % -и *

~

с№ % и ,к

~

а - 1

-

<*1к^1г *+|

*

+ р'№%к

’

Р\К -

Х'П/ь,

<2.18)

I = 3 , ... ,го;

к -

1 , . , . , /г,

причем а,ь = стк = Ьи =

= 0,

Слагаемое 9де(Ф) в «рапой части уравнения

(2.17),

связанное

сооим

происхождением с условием

(2.15), отлично от нуля лишь на строке к = I:

< н*т

|№ г - 1 . г

4

I

*

0 ,5 ^ ,)/р -^

при

к = I.

1о

при

к Ф I,

.

“ ^

1

+

1

+ »!*)■

Ь п

“ С1Ц|* I

если уравнение (2.12) ии на что предварительно не помножалось.

Систему

уравнений

(2.17)-(2.18)

перепишем

следующим

образом:

-<ГД :Д /_|,*

-

+ |

-

<*№&*, * + ! +

4 Р п (1 + Х)П№

= Р,к + * ,* (* )

+ Х р « (Д * )№.

(219)

1 • к

~

с/к^ТЫ ,к

-

^ к % ,к - ]

“

» м

4

+ Р п * и

= Ъ к

- * “«<*•

(2.20)

Параметр X, входящий в уравнение

(2.19). качественно играет ту же

роль, что н параметр 1/г (г

-

шаг по

времени)

в

решении задачи

(2.9)

методом установления.

Расщепим теперь каждое уравнение

(2.19)

и

(2.20)

на два разностных

уравнения первого порядка (см. [17]).

Для этой цели в правую и левую части уравнения

(2.19) прибавляем

двучлен

~ г1к&Г-1я*41

4

* - ! •

где коэффициенты г№ и л/* «ох® 410 произвольны.

Система уравнений

*{к

~ Ъ Л °1к *1 - 1,А 4

*/**<,*-«

4 Ъ к

+ «ГА (*)

4

*Р«с ( Д ^ Ы

4

+

I. А +1

4

*/*Я /+ 1 .А -|)>

^2 21^

П/*

= Уш{*юПг+1,к

4

* + *)

4 ***'

(2.22)

Ъ к

= К 1 4 ^)ЛА

-

« 1 * 0 -3 , * 7 / - 1 . *

-

^

1 .

к - I V .

к - I V '

б уди

эквивалентна уравнению

(2.19), если коэффициенты г/* и

I входя-

ти с в выражение для 0/*, принять равными

'/*

=

5*к

= ^1*0. Л - 1 ТГ/. Л—I -

Аналогично уравнение (2.20) заменим эквивалентной системой:

Щк

= 7|*(я1*И'г-1 .*

+ р 1к -

Ьг л 1к) +

+ 7|*(г/л^г-1, * + • +

, *- 1)•

(2.23)

^1*

-

Ък (С(ЛЬ * I . к

+ 4\к *1. к+1 > * ^Аг»

7/*

=

С#'/*

- */**!-1.*7г-1,* - Ъиейф, к-1 Г/.к-м) 1»

(2,24)

г\к

= л! ^ - 1 , а7г-|.**

= Ь{кС(,кг |7 /,* -1 ‘

Поскольку

системы

уравнений (2.21), (2.22) и (2.23), (2.24) нсраэ»

делающиеся,

а именно

коэффициенты уравнений (2.21) к (2.22) и сла­

гаемые /у* + Я1к С'*')+ ЬРм

зависят от ноля функции Ч'.обе системы

ближений.

Задав в нулевом приближении поле функции

вычисляем коэффи­

циенты вцс-> , с и ,«/«, Ък и величины /•« , й,к (^ ),

(Д Ч*)/*, входящие

(2.22)

, а затем

(также итерациями)

систему уравнений

(2.23), (2.24).

Далее

уточняем коэффициенты а1к,

,

с(к, (1^,

у{к уравнений

(2.21),

(2.22)

, правую часть Г(к + ч1к( * ) + Ърлк (ДУ),*

уравнения

(2.21) и снова

решает систему (2.21), (2.22), а затем систему (2.23), (2-24). И так далее.

Итерационный

процесс для всей

системы четырех уравнений

(2 .2 1 )-

(2.24)

прекращается, когда разница между последовательными приближе­

ниями для поля функции Ч'пс станет меньше заданной малой величины с.

В итоге получаем поля скоростей и и и в канале в виде функции коор­

динат.

Решение

задачи

(1 .2 )-(1 .8 )

конкретно

проводилось

лря следующих

граничных условиях дин составляющих скорости и и V при я = 0 н я = 1\

и -

I,

Зо/Эх

=

0 при

х

-

О,

(3.1)

/г = 3(1 -

1/2у).

ди/дх

=

О

при д* =

I .

(3.2)

Условие

(3.2) взято из решения стационарной задачи (1 .2 )- (1.4) для те­

чения в бесконечном канале.

Опыт решения

системы

(2 .21)-(2 .24)

прежде всего показал, чпо при

X - 0

итерационный процесс может расходиться.

Оптимальные значения X, при

которых итерационный процесс (2 .2 1 )-

(2.24) сходится наиболее быстро, находятся в интервале 0 < X < 0,5.

Иэ анализа реализованного итерационного процесса

(2.21 > —<2.24)

можно

сделать вывод, что итерируемые члены в правой

части уравнения

(2.21)

г » & * - |кк +1

+ » д Л * .ц | * _ 1 далеко не составляют основную долю

рост и м на оси

канала

(кривая /)

и па установлению касательного напря­

жения т на стенке канала (кривая 2). Кривая

/ удовлетворительно согла­

суется с результатом [18|.

Рассчитанное

поле

скорости

качественно

согласуется с результа­

тами (19].

1» =

1,

о

= 0 ,

(*. у ) е Г',

т? =

О,

о = 1 ,

(*, у ) Е Г".

где Г’ и Г н - ненсрекрывающисся части границы Г (Г = Г' + Г " ), каждая

из

которых

может

состоять

из конечного числа отрезков;

п -

нормаль

к

границе

Г

(для

опредслелности - внутренняя);

и

_

заданные

на

Г

функции,

причем &

предполагается дважды

дифференцируемой

вдоль границы.

Используя

для

32Ф /Э ла

разностные аппроксимации иторого

порядка

_

8*1

- * » - 7 ъ ( Р ) - * Ь ъ ( Р )

(4.1)

Щ П = Ч -----------------

1 -------------------------

п п

= М Р )ь

(4.2)

где Р -

счетный узел, расположенный на контуре Г;

и Ф2 - значения

/А * - производная вдоль границы.

Запишем уравнения для 12й н

в виде

1, к~ Ь1к&1, к-1 ”

к ~ &1к

Л-и + Р1кЯд* -

О,

(4.3)

—'Я / * * / - I . * - ^ № * 1 , к - I

, к ~

*с + 1 +

= 0 .

№

Значения

коэффициентов этих

уравнении очевидным образом следуют

из (1.38), (2.13) гл .1 .

Учтем

в уравнениях

(4.3),

(4.4) условия

(4.1), (4.2). В результате

получим систему уравнений ищ а

-“в« ^ - 1 . А

“

й -1 ~

”

^Дс^Г.А +1 *

+

“

Р/П |,*«Г *(8,1'|а

- ^ 2 * ) + ^ГчЛГ* С {к(№ ш

-

Фат_ 1.л) *

й^(8'1'л

"

^/а) +

Чду<//*(8Ф^ -

^г.лг^1)]/(2А 2) - Л а ,

(4.5)

- « | { 4 г/ - [ . *

-

^ * Ф т . * - _ |

~

С ц 1? ; 4 - 1 ,* ~

( 1 * * 1 * :,к 4 1 *

*

Распит + &1к

= //* .

(4.6)

где

аа

=

0

-

5,)а№.

й/к ~

(*

-

Ьк)Ъ{к>

е1к

=

О

"

®/*)?№.

<1}ъ = (1

-

Ь ^ ) ^ ,

*№

°

(I

-

&()*№•

Ь/к

-

(1

-

Я *)^*,

<•«

=

(I

-

<1'а

-

о

-

л ? )./;* ,

7|* = 4(0. >»л).

4лга

= Г\{Х, у к), 4/1 = 1Г(ХГ,0), Иглг(^>1)-

Правыс части / , А.,

/Д

ион пились в результате учета граничных условий.

Теперь систему уравнений

(4.5), (4.6) будем рассматривать как одно

векторное уравнение относительно переменной

Эю уравнение запишем в виде

- А ц У г-1, * - ВлнУи к - I -

Сг*?4*|. к - &1кУг. А-Н

= ^ « , (4.7)

Г

•

-

* *

С№ а г н 1)

1

ад*

е < 1]*/»

1 .о

Г

. •

“

* *

• Ы ( 2 Л ’ )

©Л

б * п^N

А *

=

1 .

Г сг*

6 * ч /*

* « / < 2 Л ’ )

Сде

=

1 .

с ; :

г

-

* ; ч п

6ц, П 2 Л *)

А *

-

Ф

1

С х е м а

1:

О у ' - 1' 2 4.Д У,_ 1/2

Л у ' - 1/ 1

4 ..

у ' - , / 2 х Г у '" 1

* - 1

+

-/*/1к + Л я к * 1 -1 в * + С ,**/^ -Ц 1к ,

Г

Г

Г

I

1—112

(4.8)

*+ ^/|гУ ^ - С /АУ^*11 * = /?/А:+^А У/§ А -1+ А цУ/, Дс+1

Здесь У- номеритерационногошага.

С х е м а

2 (векторная модификация верхней релаксации по линиям

/ = соп$1):

- В р ( У ! ,

* - 1

+ Л * У /* ^

А*1*

»

г ^ у ; ; , * в ( г ; , , ' 1 - г ! А

(4 9 )

0 =

(4.10)

причем V и о 1 подбираются экспериментально.

с[кл 4/*,

В обоих случаях коэффициенты

уравнения

для Я рассчитываются по полю ^

“ 1.

Важным достоинством схемы

1 является отсутствие каких-либо итера­

ния из

(4.9)

обращаютси методом векторных одномерных прогонок.

Например, для первых ураопспий

=

Г

К'^1

+ С{к),

(4.1!)

к « =

г ,к(и ,* г ,,* _ |

+ а д ,

где

Гг* =

( Р<к

Гг.

с Яг. *+1Г 1.

(4.12)

чения параметров релаксации о

л о 1 оказались лежвщими в пределвх

1 4-

1,1

при

Ко <

500,

1

при

Не >

500;

] ,1 4- 1,3

при

Ке

> 500,

1,3

-г 1 ,б

при

Но

<

500,

, 1,6

при

Ке

=

200.