книги / Пространственная модель турбулентного обмена

характеристика схемы весьма существенна при численном решении уравне­ нии перекоса тепла в случае слабого взаимодействия рассматриваемой области с окружающей средой и и особенности при адиабатических усло­ виях на внешней границе области. Ирл расчете полей скорости в потоке вязкой жидкости, где происходит превращение энергии давления в кине­ тическую и обмен импульсом со стенкой какала, бтлансность схемы не является столь обязательной, как монотонность. Однако и здесь нс сле­ дует недооценивать эго качество схемы.

Консервативные схемы строились для решелия различных задач в ра­ ботах [1, 2, 9 -11] и др.

Л(С. Расчетная областьЛДСХ>

Рассмотрим теперь закон диссипации энергии для уравнения {3.1). Будем предполагать, что на границе области реализуются условия прили­ пания {или периодические условия). Умножая уравнение (3.1) на р и интегрируя ко частям, получаем закон диссипации энергии вида

При этом нелинейные члены уравнения (3.1) вклада в {3.5} не дают, что яв­ ляется важным свойством рассматриваемого явления, Это свойство назы­

вается свойством нейтральности. На необходимость сохранения этого свой­

ства для разностных задач указывалось, например, в работе [12]. Перейдем к настроению разностных уравнений, эквивалентных системе

Приступим к построению балансной разностной схемы для уравнения (3.3). Проинтегрировав уравнение (3.3) ло элементарной площадке П,

Уг_ ! /2( к

261

2*2

Выражение аппроксимирует уравнение неразрывноа а (3 .2). Для расче­ тов важно, чюбы выполнялось соотношение (3.13), тогда в ячейке П не бу­ дет возникать источников и стоков за счет разностной аппроксимации. Полученная схема немонотонная. Она пригодна для расчетов лишь при вы ­ полнении условий

Существующие монотонные разностные схемы дал уравнения (3.1) не обладают свойством консервативности, например схема (1.38), схемы, описанные о работах [3, 13] и др. Однако монотонные схемы сохраняют

в направлен ни скорости, тогда как в описанных консервативных схемах возмущение может переноситься вверх по потоку. Поясним это свойство монотонных схем *).

Сохранение слагаемого дП/Э* в схеме решаемого стационарного урав­ нения полезно, так как обычно используемый итерационный метод решения сеточного уравнения моделирует некий нестационарный процесс усталовле ния.

Кроме того, слагаемое ЭП/дГ помогает объяснить дефекты различных разностных схем, построенных часто формально, без проникновения в сам физический процесс, который уравнением (3.1) моделируется.

Л рм аппроксимации дифференциального уравнения (3.1) сеточным необ­ ходимо вернуться к тем самым конечным интервалам А / н А х, которые мы согпосоватю устремляли к нулю при получеши дифференциального уравнения в часты х производных (3.1). Прежде всего мы рассматривали согласованные односторонние разности функции Л по времен и » по коорди­ натам. причем приращение Дг имелось в виду всегда положительным (дляотрицательных А / диффузия не имеет смысла).

В частности, изменение во времени функции О в какой-либо точке про­ странства и состояния движения жидкости связано с изменением функ ции Л в окрестности точки Л/0 только в одном направлении - навстречу лою ку жидкости и при получении слагаемого ЭДЭх, входящего в уравн»

Ш

Поэтому при аппроксимации дифференциального выражения итШ /Эх на сетке мы опять должны оерлутьел к этой сомом односторонней разности, а не привлекать центральную разность а окрестности точки Л/0 , так как поле Л В т » по потоку никакого отношения к последующему аднект явному изменению Г2 в точке Мц не имеет.

Дли построения монотонной балансной схемы рассмотрим дна подхода: 1. Корректировку балансной схемы (ЗЛ О )- (3.12) * ).

2. Корректировку монотонной схемы (1.38). Рассмотрим первый подход.

Поскольку разностное уравнение (1.12) при отмеченных я § 1.1 нредпо ложеннях является точным» то, следовательно, сеточное ураипсние (1.2), получаемое раздельной аппроксимацией конпектинного и диффузионного члена центральными разностями, страдает дефектом вязкости. 15 результате сопоставления (1.13) при к - кэ с (1.2) можно считать, что при 1г = с о л я , V = сол&1 получение аппроксимации вида (1 ,12) сводится к введению коэф ­ фициента кэ при втором слагаем ом я уравнении (1.2).

Обратимся теперь к уравнению (3.7).

Поскольку ло структуре аппроксимации конвективных, членов это урав­

(3.17)

Такая поправка делает балансную схему (3.7) монотонной,

) См. Артемьев В.К., Булеов ||,Ц. [11|.

Теперь построим разностный аналог для уравнения (3.1) на базе моно тонной схемы (3 .2 0 )-(3 .2 4 ). Исходное уравнение запишем а виде

28*

Схема (3.27) —(3.31) является монотонной балансной и в точности сов па* дает с монотонной балансной схемой (3.17). Естественно, предполагается, что выполняется соотношение (3.13). Вывод разностной схемы (3 .2 7 )- (3.31) подтверждает обоснованность введения коэффициента "искусствен­

(Л П .Я ) = X 2 ( ^ 0 / + ! * - ам Л г-1, *)М « 4

*к

4 М *П |, А4| - 4*& л а- I )Л ,а + смСЗД+1, * - Я га)* 4

Приведя подобные члены (учитывая (3.32), (3.33)) и предполагал, напри­ мер, что Я;, / Г а = 0 , получим

2*7

Соотношение (3.34) показывает, что дли разностною оператора Л ими л- нено свойство нейтральности.

Теперь остается сформулировать сеточную задачу (3.27) по перемен­ кой I. Дли этой цели проинтегрируем уравнение (3.27) по интервалу вре­ мени Ы =т. Результат запишем по схеме с весами

Лрн о > 0,5 уравнение (3.36) записано с нарушением причинна-след­

ном шаге моделирует искусственный временной процесс. Оператор /1&°л

описывает диффузионный к конвективный перенос скалярной функции 12, связанный обычными формулами с полем 1 2^, а оператор Л(121 - П 0) ^

описывает перенос скалярной функции 12, связанный такими же формула­ ми с тенденцией 312/3*. Слагаемое вИдеСЯ1 - 12°) в уравнении (3.3) играет роль демпфера, Оно размазывает действие источников, на большую область н, таким образом, обеспечивает гладкость временного процесса.

Нейтральность нелинейных членов (кососимметричность нелинейного оператора) позволяет доказать абсолютную устойчивость (3.3) при а = 0 ,5 -г 1,0 (см. [12] ). О возможных упрощениях решения многомерных нестационарных задач (экономичные разностные схемы) можно ознако­ миться по следиалыюн литературе - [12, 14, 1$) ндр.

ГЛАВА 2

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НЛВЬЕ-СТОКСЛ В ПЕРЕМЕННЫХ ВИХРЬ-ФУНКЦИЯ ТОКА

§2.1. Постановка задачи

отечении вязкой несжимаемой жидкости на входном участке плоского канала *)

Рассмотрим методы решения (Я , ^ -системы на примере задачи об уста­

ограничивающим поток. Начало координат поместим на одной нэ пластик во входном сечении (рно.2.1).*Для продольной и поперечной составляю­ щих скорости н для давления введем обозначения н, V и р соответствен'

' ) Результата | 2 .1 -1 3 нэложени а работе 116].

н г ь

Рис. 2.1. ОмматическнЛ чертеж плоско* го канала, Вхилкой профиль

несжимаемой жидкости в плоском зазоре примут вид (штрихи у безраз­ мерных переменных опускаем)

ЛЬу

Ради простоты будем рассматривать течение, симметричное относи­ тельно средней плоскости какала, т.е. верхней границей будем считать плоскость у = I .

На входе о канал зададим произвольный профиль составляющей скоро­ сти и и достаточно свободное условие дин составляющей скорости V

причем давление п находится с точностно до произвол ыюй постоянной.

2 »

§ 2.2. Метод решения задачи Преобразуем кашу систему уравнений следующим образом. Исключим

ЛЗу Эх Эх Зу

Граничные условия для функции Ф в рассматриваемой области получим из граничных условий для и н и (1 .5)-(I.В ) с учетом соотношений (2.2);

оо

тям, заменим это уравнение четвертого порядка системой двух уравнений второго порядка

290