книги / Пространственная модель турбулентного обмена

Таблица 1.3

Результаты решения задан (|.17>, (1.28)

X

оло

|

<М0

6,46

0.Й6

6.90

Схема (1.29)

Л «0,05

0,092

0,27В

0,466

0,595

0.616

Л -0,01

0.091

0,277

0,464

0,593

0,625

Л <=0,005

0.091

0.277

0,464

0,591

0.625

Схема (1.24)

А “ 0,05

0.096

0.283

0.470

0,597

0,624

А “ 0,01

0.091

0,277

0,464

0,593

0,624

А=0,005

0,091

0,277

0,464

0,593

0,625

А- 0,05

0.099

0.287

0.474

0.600

0.627

Слсыа (130

А- 0,01

0,091

0,277

0,464

0,593

0,625

А- 0,005

0,091

0,277

0.464

0.593

0.625

X

0.95

|

0,96

6.97

6,98

|1 М9

Л

«0,05

-------------1---- -------

1

0,817

0,611

0,588

0,536

0,401

Схема (1.29)

А =0.01

0,621

А = 0,005

0,619

0,607

0,582

0,526

0,387

Л

-0.05

0.597

0,606

0,581

0,523

0.383

Схема (1.24)

А -0.01

0.618

А =0.005

0.618

0,606

0,581

0,524

0,385

Схема <1.Э<)

А -0.05

0,610

А «0,01

0,617

0,605

0,579

0,521

0,380

А -0,005

0.618

0,606

0,580

0,522

0.382

Аппроксимации

(1.24)

была испытана

на

решении одномерного уравне­

ния вида

а л

й

<К1

0

< х

<

1

(1.27)

--------------у

— - = Г(х) иа отрезке

ах

ах

ах

при граничных условиях: П = 0 при х

я

0

и х

■

I.

Были взяты

/ ( х ) *

51л п х,

V = в + й л 1п 1гх, а -

0,01.

Ь =

0,05.

(1.28)

П/ТГ -&Л-1

р1 -1 » Д /-1 - ( ^ - Ц З

2Л

А3

В качестве

Точного"

решения задачи бралось

решет \с уравнении

(1 .24)

при шаге А = 0,005.

Заметим, что уравнение

(1.21) можно привести к

дивергентному виду

и другим способом, а именно, заменив его уравнением

1

а

ап

\р

. у>м-

(1 .3 0 )

ах

ах

“'К!

(1 .3 1 )

Умножая

уравнение

(1.30) на

и интегрируя

его о т х ^ _ ^ 3

до

получим

*/Т1/2

Л / - 1 /2 -Я**Ч2

=*

I

№ * ,

(1.32)

где

о

—

(1,33)

л = ^

Функцию Л в промежуточных узлах аппроксимируем по схеме

л /-1/2

= ^ - 1 / з ^ - |/ 2

Яг —И»_ I

(1.34)

------:---------

Тогда оеточное уравнение (1.32) примет вид

Пг

Я (_ |

-П#

л/+ 1/2

1/2КГ—1/2 ■

•“

^ у * 1 / 2 р/+ з /а

7

/

№ * '

* / - ! / 2

(1.35)

Если в правой части уравнения (1.35)

лринлть/'с сого$1 = /,!,а

в выраже­

нии для 9 на отрезке К /_|^2

ПОЛОЖИТЬ Х0 = X*, «/к = СОЛ51 =

=14,/»^, то разностное уравнение (1.35) примет следующий вид:

(и (

А )

I

пг

А )

1/а(Л / + 1 - Я т )

ехр1

— Г ^/_ 1/ 2( Л / - Ц т - ] ) - схр{------- “

Г

1//

1Р/

2 /

1

& }

•V

Г щ

А 1

I

ЫГ

А 1

СХ1>{

_

= /|-

(1.36)

Здесь, как н в уравнении

(1 .2 4 ),примем

=

“

( • 'т / з

+ ^ г -1 /*)-

+ у ---

-

а

ап

а

ап

(137)

Лх

а.х

ах

Ф

V ----

Ф

с1у

необходимо, очевидно, ура оценке

(1.37)

по каждой переменкой привести

т«Ау

ЧI—Т || ^12

1 1^1

Лу

- «р Г —

“Г

(1.38>

Монотонные разностные схемы,

рассмотренные в предыдущем пара*

графе, обеспечивают получение гладких и удовлетвор отельных по точно­

сти решений задач гидродинамики 11

переноса теплоты при меньших ограни­

при выводе

схемы

(1.12) делается

упрощение / -

сои51 = /}, что в дан­

ном

случае

является

достаточно

грубым, так

как при значениях

и/

-

< I \р

-

сильно меняющаяся функции. В результате такого

— (х

« /-1 /2

1 й

1 *

= //-1 /а

<2'0

при и > 0 и

V -»■ О.

Будем

теперь

строить разностный аналог уравнения

(1.1),

который

при V -* О переходит в схему (2.1), а при и -* 0 переходит в разностную

схему дня уравнении диффузии *)

~ &1- О -

Ц-и/аСПц-1 - Д /)

г

.

**'

(2.2)

При вычисления правой части уравнения (1.6) интервал интегри­

рования

разобьем

на

три

части;

( х ,_ 1 /2, ^1 - 1/е ) .

Лг+1 /4) .

(^/4 1 /4.

Х/ + 1/а ).

Будем

полагать,что

на каждом

из этихинтервалов

функция

/(х )

постоянна и равна соответственно

/) _

1уг. /г

и / т / а -

В формуле для#»(х. х,)

на интервалах ( х , _ ,/а,

1У4),

( х , _ ,/,ь х ,ы / 4) .

(х14 1/4|

Х /-ц /2)

будем

принимать величину и/» соответственно равноП

«1- 1/2^ / - 1/ 2,

«1+1/ 1 ^ 4 1/2 -Тогда можно записать

•*/♦1/2

/ф !х

-

/

С///-1/1 + *//< + ^///+1/2|

(2.3)

■*/—1/2

где

х/- 1 /з

л /_ ЧА

г

и

]

*1 =

/

ф*х =

/

е х р ---------- ^ ( х - х , ) М

х

=

1/2

■*/—1 /2

I

«/-1/2

}

- <еа*-

а /-1/2

* /4

1/4

\рёх =

* /♦ 1/4

А/ =

/

/

охр {— ^

(*--*1>|<**

=

* / - 1/4

1/4

-1 а,

-

-* «/

А

(2.4)

*1 * 4 1

ч * т

,

щ

1

х /4Г4-1/4

3Ч * \( Л

I «1 + 1 /2

г

1

-

I

А

г * * + т

- —

( е

»

'

_ . у - ^ 4 1 / 2 ) —

*/4 1/2

Заметим, что коэффициенты

л*, А/,

С/ неотрицательны.

Если

в правой

части

уравнения

(2.9)

на Интерполе

интегрировали

(*г-1/2. *

т / 1 >

принять

Ъу

\

ЗУ

/

\ д у

ду / ,

Г

-

СОП51 -

как это было сделано в $

I

(см. |4 |) ,

в

в выражении для у на отрезке

(Х< -1/ 2. *г м /а) положить

ф

= сопа = м,/и,. х 0 =

то

можно

записать

Х**Ч7

= а ^ и

Хй +Ч2

(± V

Ш

I

№ х

х/ - 1 / 2

^ - | / а \ 0 у

а7

\Ъ у

Ъу / ,

(2 .1 1)

где

1

*

_л

, =

*х

_[9

А,

( е * '- е а / ) ^ -

О/

2

",

2

Интегрируя

далее

уравнение

(2.9)

ко у

в

интервале ( У х-\{2, Ук + \?г)

с учетом соотношений (2.20), (2.) 1), получим

Дг*

„ 1 + В(к Ц.А ♦ I + С/кД |_ 1,* + Я / Л + , к ■*

п л

= /?л

(2.12)

с котффиднентами;

г

_

2 '/ * * '/ .* - 1У2

■

д

_

0#*|’/|* - | / 2

=

---------.-----------

-

-

.

V

V

С/*

=

—

т ^ “ .

(2.13)

0/1

=

- < _ 0 |*^/+|/а,*

Т^" .

~ -

И д

+ Д * 4

+ Д а)»

Ах

/

/

Ь

З й

\

/

Цх,у)ч>(х,у)(1х

=

( —

‘' 'Г -

Ы х .у )й х +

Х 1-Ц 7\*У

ЬУ

'

* /-!/*

2

(

зу

' ъ _ V

ш

\

2

и

*

а л

\

Л - , *Л(,Ъу

9

дУ

Л

91

^

/ / +|

4

( ± _

, 2

» \

♦ « . Л

» .

____

Ь

г

/

Т

Ък_

+ ЛГк Л

+

с‘к

Г

|-

( 2 ! 4 )

2

Л - .

Т

А "

---------- (евг-1 /г -

е 2

)

—

,

ЛГ-1/2

I

2

1

Л,

(е

2

------- -

е - ° /+ 1 /2 ) — .

*/♦■/*

2

Интегрируя

уравнение

(2.9)

но у

в интервале

(.?*_ 1/а. 3»* +1/ 2 ) с учетом

(2.] 2), получим разностное уравнение на цевнтиточечном шаблоне;

Л | А ^ —1 . 1 г - 1

* / ? » * & / _

|.Л

+ 0 * ^ _ | . А + 1 + А к ^ . А - а

+ А'г*П**

4

4 ^ лП/.А4| + Л а^Г+1.А-1 + еи гй г+,.* + Д |* П |+ |.к+|

= ^ 'к .

(2.15)

2

А»

д

*

. -

и Л +

а д -

. ^ 1 - 1 / 2 . А М|_ 1/зд

А,

’

•'г- 1.* ♦ I

Сг*

' “

Т

—

—

•

^

•

* . ь у и в - , д . = - № * ♦ * ) ♦

Ъу

й

+ (е*

.

- .

+ е-

<

ч .

.

4)

,

«*

*

Т

~

7 ,--------- •

к ис -

~

~

ш @1к = _

к ^

,

2

' V

* **

Л - 1 . А + Р / л / « + ~ ~

Л + 1 . * ^ Л

где I

- единичная матрица, &

- иоддкагональиая часть матрицы, взятая

с обратным знаком,

V - ладдиагоналън&я часть матрицы, взятая

с обрат­

ным

знаком.

Для

окончания

игерани к

(2.18) использовался

критерий

шах \Уц*'1

^

е - гИе « ~

заданная

величина.

деляется

нормой

матрицы (/

-

1 )" 1(/

-

Щ~Х1Л и

на практике оказы ­

вается не ниже, чем для илтиточечной.

I) качестве решении модельных задач были взяты две функции:

,

=

/

лх

+ « к

24.5 л.г

\

,

ну

.

(2.19)

й \,

+24,5

—

-

'~

-

р

~ У ')* 1

у

И],

= ^ I + 30,5

у

+С05

- У ) С 1 - « 0’Т(' -

Ж)) 4

+ I

К о * —

<2.20)

2

и н у, входящие и (2.7), приняты равными

Коэффициенты

Уд)

=

л.т

1 -

у

,

I + 5 Ш

—

+5111 Л /,

Идд

=

2

получались

о результате подстановки

и»,

в левую часть уравне­

ния

(2.7). Задачи решались в прямоугольнике 0

< х < X - 10, 0

< 1.

Шаг

сетки

по х бьш взят равным ^/3 0 ,

Х1А0,

, 2Г/90,

ЛГ/100, по

у - 1 /2 0 ,... ,1/30.

В

табл.

1.4 приведены средине и максимальные погрешности двух

численных

решении уравнений (2.7) для

модельной задачи

(2.19).. В

табл.

15 приведены средние и максимальные погрешности для модельной

задачи (2.20).

°ис.1.г. Результаты решения задачи <2.19): -----

- тччиоь ^ и1И1ПВ

+- -

пягиточечнан едем»;

X - девятиточечны схема; Лл » 1/ЗЦ, Ъу тД/20

Рис.

1.3. Результаты решения □адате (2 .2 0 ):---------

точное решение (пт,н

V

=0,3);

о -

пяпаочечнзя схема;

X -д ев ыиточечная схема;

Лх = 1/40, /ау в

Ж