книги / Пространственная модель турбулентного обмена

Таблица 2.9

Коэффициентсходимости Xсхемы (2.2) ■т м неймости от г и р я м етр а

9

9

0

0.3

0,5

0,6

0,7

О,Я

0,9

1.0

А

0,86

0,82

0,76

0,71

0,61

0,56

0,65

0.85

Как

показывает

решение задачи

(2.9), при оптимальных значениях па­

раметра

0

скорость

сходимости итерационного процесса

(2.2)

близка к

скорости

сходимости

метода переменных

направлений Дугласа-Рэкфор*

да: три

итерации равносильны двум итерациям

по схеме Дугласа-Рэк-

форда.

Итерационная схема (2.2) будет иметь

преимущества

по

сравнению с

другими методами в случае малых значений 9(к

исходного

разностного

уравнения

(1.1), так

как: а этом

случае итерируемое выражениеОга(ч>)-

— ЪкФм мало-

доказыва­

Дли

случая 0 = 0 сходимость ]гторациотюго процесса (2.2)

2Г* = ®№ 2Г-1,1с *

+ Щ к ? 1 - \ , к Ы +

+ 7га[/« +" &<к №) * На (у>)]>

(3.1)

У(к —Я(*Ч>),к- I -

~ ЬкЩ* 1.9 + 2ДС1

зывающих коэффициенты системы

(3.1)

с коэффициентами уравнения

(1.3) гя .1 , -

пять, го два

козффициента системы (3.1) могут быть вах­

ты произвольно. При

Й1А в ЦМкА-1.«.

(3.2)

главные члены итерируемого выражения

(ч>) обращаются в нуль. Тогда

7га0|АОр) =

(А -1 .кА - 1,а -

1 3 + 5 |- 1 ,к5/-*.*+1*у_1.и -а) ,

Ък “ У<к«(А»

(3.3)

- 7/*ДГА.

(3.4)

А* =7/*Аа+ *(*А-1.*&-1,к~||

Ак в 7гА</г* + йг*А -1,к& -1,к*1,

У*ь “ ( Р\к ~ $/* - ХдА - I

1

(3.5)

А» = 0 -А -1 ,к5 /_ |,А _ 1

- 6 /_ 1 гк А - 1 ,а м )'1Я/А-

Значение коэффициента 7^ 5^ бралось пропорциональным

сумме коэф­

фициентов в вираже ннк Т№ ^*(р);

ТГк*1к = б«1Аг(^1-1Л^Г- 5,1к—1

Цк^|-1,А+|)»

(3*^)

где 0 <

0 <

I ,

Как

И в

схеме (2.2), на правок границе области полезн

льэовать

линейную функцию Н !к(«р) в виде

7<кЯ|*(*) =

1.*-

+ < » а«^Ц -(3.7)

Методом индукции можно показать, что коэффициенты системы (3.1)

удовлетворяют условиям

“

0 1 *

* 6 1к + Ь<к + 7 м г 0 |* + ( I

-

+ К* к Ч к <

* .

^ 8 )

<*н+Н *+ Г (к*

_____________ ДгкС1 +

_________________

(1

- *{к) (& « + <*/* 4 сйк + 9 /* ) + ( 1

- 0)Ълка1к + {/>1к 4 * «)< »№

где

*1* = Л-1,к0/-I.*- 1***-а,**г-1,к+1 •

0 Л’ в

Д г - 1 | я в / - | , * _ | + 5 / _ | гк р 1 -

1„*4 1 .

Р к “ Р / - 1 . к & 1 - 1 . * - 1 + й | _ 1 ,* ? ! _ |, * + 1 .

Из сопоставления формул (3.8)

и

(2.8) следует, что ктс рацион пая схе­

нении все к задачам Неймана схема

(3.1) устушот методам переменных

направлений.

Коэффициенты у{к>а<ь>Рщ, 5;*,

входящие в уравнения (3.1), близки

Таблица 2 .2

Коэффнцнен пи о ,р, ъ 6. * ■ зависимости от ларамел» О

0

0

0,5

О,в

1.0

Схема (2.2)

7.1.*»

0,368

0,293

0,314

0,333

0.*

0,284

0.294

0,305

СХема (3.1)

7.*

0.275

Р.6

0,300

0,316

0,331

0,347

о

0.332

0,355

0,376

0,401

Таблица 7.3

Котффпцлонг сходимости Л схемы (3.1) в зависимое™ от пар»мстр» в

О

0

0,3

0.3

0,6

0.7

0,8

0,85

0,9

0,95

1,0

\

0,86

0.82

0.76

0,72

0,65

0,47

0,43

0,49

0,61

1,0

Приведенные о

табл.

2.2 коэффициенты из схемы (3.1) обеспечивают

пространственную счетную устойчивость этой схемы

(о +

ог0 + а5

<

1,

$ + / » + 5 <

1).

и табл.

2.3 приведена зависимость коэффициента сходимости Л от па­

раметра 0 итерационного процесса (3.1) для. задачи Дирихле

& ф х 7 +д2#1йуг = —2( 2 - х 7 - У ) ,

(3.9)

р = 0 при д- -

±1,

= Оири у = ±1 при шаге сетки Дх= Д у = 1/12 (529 счет­

ных узлов).

табл. 23, одна итерация

Согласно

результатам,

представленным

в

по

схеме

(3.1)

при 0

- 0,7, 0,8

или 0,9 в этой

задаче равносильна соответ­

направлений

лрл

постоянном значении итерационного параметра г [3].

Па рис. 2.)

для примера представлено рассчитанное по схеме (3.1) пер­

вое приближение

из

эхом

задачи на линии у - О. Точное решение задачи

(3.9) есть V» *

<1 -

х 1)

(1 - у 3). Как видно ш рис. 2.1, более близким к

задачи первые несколько итераций имеет смысл сделать при 0

I, а затем

перейти к оптимальному значению 0 .

*

<

О

0,5

ж

~0,5

Л с. 2.Л Первые приближение по схеме (3.1) в задаче <3.9)

на линии у ■ 0 при 9 =

Олифант [23], например, предложил итерационную факторизованную

систему, эквивалентную уравнению

<1.3)

гл. I,

следующей структуры:

+ 7Т*Г

4

I ,* + 1

4 0 » № + 1 .* -1 “

~ * (^А'РН 1 ,Я

4 а1*Р/,к-Ц)1 .

Ф1к ■ ЕщРн-1,к + &!*№.**] +*».

(1.4

где к = СОНЫ> 0.

В.П, Гишсии

[32] иное видоизменение

в нгерацколную схему

(2.2)

гл. 2. Он предложил в качестве сеточной функции

(А + В )(к(<р)

искать

сеточную функцию А\л №) = {КА5)1к(}р) структуры

(2.2) гя. 2, близкую

4

<л’ - ^ Ы

^ (,“ |>) .

(1-3)

Для определения

коэффициентов -цкт

агкз ^ к. Ь/к* $/*. составляющих

матрицы К%Л и

в разложениях выражений Л }*((/>) п А ц (ф) В.П. Гннкин

отождествлял члены с

*рх , <ру , *рхх и Фуу Практически все это равно*

В работе [24] по аналогии с [4] матрица А + В заменялась произведением

двух треугольных

матриц. Факторизованная система подучилась явной.

В работе же автора

[6] было отмечено, что при одной л тон же структуре

компенсированного

члена

(а именно, пропорционального функции <^*)

неявная факторизованная

система (2,2) гл. 2 позволяет достигать лучшей

сходимости итерационного процесса, чем явная тина (1.3) гл. 2. Приве­

денное значение нз

работы

[6) позволяет полагать, что структура факто­

ризованной системы (1 .4 )-(1 .5 ) более предпочтите льна, чем факторизо­

т*. величины (I - /

Г

|

_

'« (I

Л*-|,*

- *< -1»л)“1$т-.1,.илгь

по модулю

монотонно

возрастают, достигая значе­

уравнений

(1.3) гл. 1. Матрица А + В получается сильно асимметричной.

Итерируемый двучлен

в схеме

(2.2)

гл. 2 можно компенсировать

линейной

функцией ///* (? ), содержащей значения искомой

функции

со всего

пхтитошечного

шаблона. Таким

образом, примем

В - П +■ //,

причем

Игх (<р) -

- -*№?{-1.» -

I> -

Вс—1 —(1{к'?('к* I 4

+ еи*щР*к‘

(1-7)

Оптимальные значения

неонределепных коэффициентов а> Ь> с. й и ц

что уравнение

(А + В + Н )1к(4Р) = Л* 4 ^/Дс(V5) + 7/д ( ^ ) , т д е //д

) имеет

структуру (1.7),

может быть замелено системой двух

уравнений типа

(1.2), (2.2),

(3.1)

гл. 2 с той же самой структурой их

левой

части, что

и в системе, эквивалентной уравнению

(4 + В )(к -

4

Мен тьсн

будут только значения коэффициентов

у ^ . «/*. 0 /ьб /ь .

§ 3.2. Вариант схемы с полной периферийной компенсацией

Итак, заменим исходное уравнение эквивалентной системой

Ч к - а /к

1 .* 4 Т1кIГ/к

4

№) 4 7/1* (у>)],

(2.1)

Ъ к -$ Ц * Р 1 ,к - I

“

I = ЪкЯ>1* I.* * Ч к ,

(2-2)

/= 1 ......... т.

т е а,*,

0,*,

$,*,

6/Аг, у,*

-

неопределенные коэффициенты,

а выражение

И1*(?)

содержит

значения

сеточной функции ^т о л ьк о с ггнтиточсчного

(] + а/к й _ |,1 гМ * -® |* Л -1 .*

- Л * Л .* - 1

~ в/*^/л+1

*

+ в’« Л -1 ,* Л -1 Л -1 + аг/*б/_ \щк ^ -\,к * \ -

- 7а А*№) + 7(а« г*(0) +■7а / « •

(2 3 )

Из сопоставления (2.3) гл. I и (1.3) гл. I следует, что

7Г*А*№) “ Ал ^ - • ,А^1- 1.» - 1

* а Г к& (-1 ,»Л- I,**1 •

(2-4)

Виецем 7ц / /м (<0) следующей структуры:

7а ^Л *М я ®Т*01-1.&ОМ,№

“ ТМг.Лг-1 -® |Ы Л*Ц т) +

т-ад5^1^(6^,7,.- к ^ _ I,*- -

ЛУУ**1 “ (Г/ы ^ 1^),

(2.5)

где *, я, <-*, 0( -

пока неопределенные параметры,

I I

при

1 = 1 ,.. . ,;л

-

1,

О

при

/ = т .

Слагаемые о

выражении

(2.5), содержащие ^ а * служат для усиления

линейная комбинация я ^ _ , |А + до*,*-! *

0|<"Фн|.* компенсирует сумму

+ 0 (ч>(кш /шлейная

комбинация

к ц .! ,* *

Ч ? 1,л* 1 4

компенсирует сумму

* ° г*Р№-

Потребуем, чтобы параметры к, т|, <а,0 удовлетворяли усповига

1 4 0Г = к + гг * о(ы -» е,

(2.6)

где с - малая положительная величина или нуль.

Сопоставление уравнений

(2.3), гл. 2 и

(1.3) гл.

1 с учетом (2.5) при­

1 + ®/Л{ / —| ,* -

4 *

( Л - 1 .* + * / - 1 .* ) = 71* Р*к►

(2.7)

<*А -

* «А < * -

1Л * ЙГ- |.к) = 7 « « « *

Л * -

Т?*|*'Л- 1Л “ 71*Ь1к,

(2.8)

&Гк -

*? < *!*$ /-|,Л = 7а 4 ь .

4/* -

°1 иа(к( Л —1.*

*г_ 1 ,* ) = Ъ к Са .

или

Ут = [Р1**0 - # А - м +

Ч и а д - 1 . * + в Л - | , * ^ ? / - м ) Г \

»/* = |1 -*< Й г-|,е +&1-\.к)Г* Шкацс.

Р<к = Гйг&1* + Т^ОГ/А-Дт—I,*.

$№ = 7«</|* + >!«№&/-Т,к.

$№ = У1кс1к л ° { ы а (к

|(А+

1<Аг).

Итерационную схему

(2 .1 )-(2 .2 )

с учетом (2.4) и (2.5)

можно запи-

сать окончательно и виде

+ « ,* « ,.

,

+ «,■?«-1» -

-

(2.9)

* Ф - в ..* Ф

. + г (Ч.

(2.10)

Уравнение (2.10)

решается методом одномерной прогонки

(см., напри­

мер. (33)):

РГк - С1 “ Л*^|,Л-1Р/.А- I )"' г

М1к = Р1МкЩ .к-1

+ */*).

(-- П)

= РиЛ*1йг,*т1 + ^Иг

или не пересчитывать юс, удобно цвести обозначения

01* = РдА *.

5/* =*>/*$/*,

Ы

- РивЪпо

гПс = РГА2« .

Р(каЛ

-

в|А = ----------

Р1- I.*

После этого необходимо хранить п памяти лишь коэффициенты а ^ , 0 ^ ,

и делать прогонку для функций г(к} 1Уд и у 1к (на этот факт обра­

тила влнмаш<с Ж.Н. Бельская).

Естественно,

что в итерационной

схеме (2.9), (2.10) нужно стремиться

к тому, чтобы в выражении Оц (у)

4-2//*(р) сумма коэффициентов была

шей по

сравнению с коэффициентом а{к (и л н ^ д ) исходного уравнения

(1.3)

гл. I.

к сеточкой линейной функции А1к(^) по модулю

невязки, если сумма

коэффициентов выражения

близка к нулю,

и близкой по норме

(3.13)

гл. .1 и одновременно

близости

выражений [А

- О + Н)<*{?)

и

р)

коэффициент при Фгк И сумма КОЭффиЦИЙНТОВ

при

И

в выражении Огл (у)

4 #м(ч>)

должны быть соизмеримы, т.е.

осуществляемый но схеме

(3.33) гл. I с учетом <1.34)

гл. I и реализован­

ный п [33] и последующих работах автора, можно записать в виде

Я5(<ЛП

Г,4Ф<'-'>.

(2.12)

Как следует щ уравнения

(2.12), в отличие от классического метода пере*

(А Ч -«Л,)<Л'+а1,)<*11>-•1>,' - 1,) = т ( Р - Л ф ( ,- 1>).

<2.13)

(3.33)

гл. I с помощью диагональной

матрицы Г, после чего факторизо­

ванный оператор, близкий к оператору

ГЛ, составляется из матриц Й и 5

с единичными элементами на главной диагонали.

Исследуем теперь пространственную устойчивость схемы

(2.9), (2.10).

Методом индукции можно показать, что коэф ф ициент

$/*,€<* Удов­

летворяют условию

+

1-

(2-14)

Действительно, при / = 1 , . . . ,

гм - I из соотношения

(2.7)

с учетом (1.4)

гл. 1 И (2.6) можно получить

1 4 й Г*$Г-1Л “ 0® «(Л -1Лг+ Л - 1 .* )^°/*

+ 5^_1>(с) +

+ 0,к -

т)а(кР(_ 1 т -

- « а д

ими

I - (д

-&Гк -&{к

-

Бт-М “ Л-1.* “ ®Г—I,к *

4-(1 4-0 -К -

П - Ы ) ( Й - 1 Л

■•■^-1.*)]-

анализа устойчивости схемы (2.9), (2.10) запишем ее при /

= 1 , . . . . м - 1

в виде

Тис- .

1г- 1 л 7 )-|,*

" — [/**‘•‘^

( уО4 ^ * ^ ) ] ,

(2.15)

«I*

Чк

*р{к

+ 5 Г*Д*+1 = $|*(^Г* 4 ?1к)*

(2.16)

где 7)* =2ц ^ 1к. С учетом

(2.14) м (2.8) можно написать неравенство

т - Ч - 1 . » < 7 ^ ( 1 - й - м

■

Чк

_ _______ а1кИ ~ (Л - 1,* 4 $ / - 1.*)]________________

СДгМ —« (Дг—1^1 + Л -1,*Л 4

1.*