книги / Пространственная модель турбулентного обмена

§ 7.6. Схема в каноническом виде

Многие ашоры (см., например, ссылки в монографиях [25, 31] н др.) а стремлении получить быстро сходящиеся итерационные методы пришли к следующей общей схеме итерационных методов:

ратору Л, например, в смысле энергетической нормы «ли в смысле разложенин п рпп Тейлора и т.д. (52,58).

Аналопешым образом составляются и схемы неполной факторизации, где Л и 5 выбираются такими, чтобы опера ю р Я5 был близок к операто­ ру А , поэтому в качестве С можно иэять оператор Л.У; это даст возмож­ ность использовать схему (4.2) дин создания нового варианта схемы непол­ ной факторизации, теперь уже о каноническом виде (6 -1). Подобный

с релаксацией с другим широко распространенным методом - схемой последовательной верхней релаксации - проделано В,Л. Римкиным в [53].

уравнений, при преобразовании ее в канонический вид может быть записана

Обозначим эту схему аббревиатурой КСНФ (канол ическая схема исполн ”

мы КСНФ вычисляются из тех же ура доений (4.4) - (4.12), что и для П€НФ, с тем небольшим отличием, что вместо р1и в уравнениях (4 .4)-(4 .12) будем использовать увеличенное на величину т значение диагонального элемента, т.е, Д/м + $.

При 1[ - I и г = 0 схема КСНФ тождественна схеме ПСКФ, поэтому результаты. полученные для КСНФ (г = I, х = 0), аитоматнческц переносятся н на ПСНФ.

Схема (6.2) отличается тем, чио в ней но сравнению со схемой (4.2) требуется еще один дополнительный массив для

251

§ 7.7. Численные эксперименты ддн КСНФ

Ради возможности сравнит я полученных; результатов схема КСНФ исследовалась на решении задачи, приведенной л [5 3 |.

Решался следующий вариант задачи:

с граничными условиями Дирихле л Некмала. Сетка кубическая, От] =тг =

Следует отметить, что в работе (531 при <г = 8,0 и граничных условиях Дирихле решение было получено за шесть итераций, в для схемы КСНФ оказалось достаточно двух итераций. Для граничных условий Неймана при о < 0,1 «сено итераций п{а) заменю возрастает (табл. 7-5).

Таблица 7.5

Влияние параметра о на сходимость итерационного процесса для задачи Неймант

Следует отмеппь, что имеется некоторый произвол при выборе опера­ тора С в уравнении (6.1). Используя его для схемы КСНФ, можно сущест­ венно улучшить сходимость при решении задач с малым диагональным преобладанием а < 0,1. Предлагается следующее: в формуле (4.10) вмсс- г<> Рш использовать значение рш + з, где т > 0, в при вычислении невязки использовать в А ш М прежнее значение диагонального элемента .Рш-

252

числа нтерэндй н(т) от различных значений 5 при о =0.

Дня решения задачи Неймана при условии о <0,1 можно рекомендовать для * лыбор таких значении, чтобы о + а = 0,12 + 0,13, что потребует для решения задачи не более 10 итераций. Аналогично для задач с граничными условиями Дирихле при о < 0 ,0 5 рекомендуется брать 0,125.

§ 7.8. Случаи границы.

вс параллельной координатным плоскостям

При )хмиении плохо о буело пленных двумерных задач (например, зада­ чи Неймана) но прямоугольной области метод неполной факторизации иногда приводит к пространствсиной неустойчивости итерационного про­ цесса.

Аналопистос поведенио схем неполной факторизации может проявиться н в трехмерных задачах, если нс позаботиться о выполнении условий прост­ ранственной устойчивости. Исследования показ агам, что каноническая схема неполной факторизации даст возможность обеспечить пространствен­ ную устойчивость схемы при использовании единственного вещественного параметра таким же образом, как в описанном выше решении задачи Неймана на сетке 15 X 15 X 15.

Пример расчета.

Область определения задачи: точки куба 15 X 15 X 15, за исключением точек, у которых / + * -г 1> 37, т.е. от хуба отрезается уголок, на месте которого возникает седьмая по счету грань, имеющая форму треугольннка (рис. 7.1).

Вешалась задача Неймана:

Ъф 1

<8 1 >

Коэффициенты операторов Я и 5 вычислялись по формулам (4 .4 )-(4 .1 2 ), тде вместо Рщ\ использовалось значение р1к1 * 5, а > 0. Невязка в первом уравнении системы (6.2) вычислялась беэ использования искусственной диагональной добавки

Оценку сходимости Проводили ло критерию

"|,Я*

(8.2)

Л . , 1Лм1

25)

пум трехмерную систему координат, а каждый индекс /, к, I соответствует оси координат. Выбирая попарно дао оси, мылопучим три варианта двумер­ ных сечений оператора /1/*г(ф):

Можно считать, что в этих грех случаях отсутствует зависимость исходно­ го дифференциального уравнения от кдординаты г - (9.1), ог координа­

ты у - (9.2) нот координаты х - (9.3).

Аналогично, рассматриваясистему (4.2), получим три двумерные схемы,

*л " $4Г*Н-1,4 + *П

кратно модернизировавшаяся.

Отдаленный намек на идею схемы 2 можно найти у Четвсрушкнна [54|. Он использовал двухточечное уравнение д л я ^ Л при "нелинейной фактори­

и еще три оператора по переменной 7. Тогда удавалось записать замкнутую нелинейную систему уравнений, связывающую коэффициенты исходного

Фактически схема 2 задает пример повой схемы неполной факте ризации, где коэффициенты у и , \ и получаются за одну итерацию, но

255

приходится итерировать сами уравнения (9 .6). получая приближение решения ^ г.

Аналоги схемы 3 также можно найти среда различных схем переменных

ходя нэ различных соображений. Здесь методика получения коэффициен­ тов полностью совладает с методом неполной факторизации.

Перейдем теперь к подробному рассмотрению новых схем и выводу уравнений для получения прогоночных коэффициентов. Для общности изложения будем использовать стандартную запись схем неполной факто­ ризации с индексацией (*, Л) для координат л , у соответственно к вместо

Подспшдяя второе уравнение системы (10.1) в первое» получим одно ура■- 1Ю1ШС, которое должно выполняться в каждой точке:

V;* (?) = - (Р|* Ь,* - 1 - $Г* %! А * I ) ?/ ♦ 1 .к +

Я<к~ регулярнзаюр.

Такой способ задания операторов Н,к{$) и <2,*0р) приводит к следующей системе уравнений длянрогоиочимх коэффициентов:

_______ ДГА М 1 + г)(^ц 4 й(к)_______________

<Ък * Р(к * •“ (1 + т)(^А + </»)(> ♦ <■>)*/* 4 <?1к + *1к +0 “ ?Г- I,*)*№

<1<Ы1>

Для того чтобы эта сумма была меньше единицы (необходимое условие устойчивости итерационного процесса для первого уравнения системы (10.1)), требуется выполнение условия

Уравнение (10.12) использовалось для получения ограничений на е(к. ЛереЩШ1СМ сто так:

с максимального значения индекса г = Л/в сторону его уменьшения в соот­ ветствии со вторым уравнением системы (10.1).

$ 7.11, Схема 3 для решения двумерных задач

257

Из практики численны* расчетов метопом неполной факторизации известно, что использование канонической записи схемы относительно приращения искомом функции даст возможность использовать некоторые дополнительные методы повышения устойчивости 1Г увеличен)! л скорости сходимости схем по сравнсЕпио с записью (3.1).

Запишем схему в каноническом виде:

В тиком виде мы имеем довольно большой произвол в выборе коэффи­

тор К ■5(<р), близкий в смысле разложения Тейлора к оператору Лм (чО. что, как показывает практика, обеспечивает высокую скорость сходимости.

Теория разностных схем (например, (2 5 ,3 11) также рекомендует выбор оператора 8 (см. обоз паченик о [2 5 ,3 1 ]), близкого к оператору Лм (у>). В нашем случае оператором В является оператор Л - ,5. Произвол, который имеется у нас по отношению к выбору вила оператора В, позволяет несколько отклониться от метода Л-факторизации в се первоначальном аиде и при выводе уравнений для прогоночных. коэффициентов жиопьэо. вать искусственное диагональное преобладание, т.с. делать сдвиг диаго­

Из уравнении (П .-6), (11.8) и (11.9) можно получить выражение для раз­ ностей, стоящих в знаменателе формул (1 1.6), (11.7)

С учетом (11,10) можно переписать урлипсния (П .6 ), (11.7), используй только коэффициенты оператора:

Щк

25в

Следует отмстить, что. во-первых,

После определения коэффициентов <*,-* и %1к по формулам (11.11), (1 М 2 ) перекипим к вычислению коэффициентов 5/*, используя одномерную прогонку в соответствии с уравнениями (1 1.8), (1 1.9). Неравенство (11.14) должно обеспечивать устойчивость итерационного процесса мри вычислении

что обеспечивает устойчивость дин итерационного процесса вычисления щк пэ уравнении (1 1.3).

0 конце 70-х ю дон подобный вариант схемы на основе Л -ф акторизации предложил О Л . Гликин. Однако, как выяснилось при чиа1снцых экспери ­ ментах, итерационный процесс по схеме В.П. Гпнкмна при решении задачи Иен мала для уравнения Пуассона р сходился. По схеме (1 1.6)-([ 1.15), оппсапкой иышс, можно получить сходящийся итерационный прайссс для аада'и1Неймана при д ~ 0,1.

Метод, найденный для трехмерной схемы (4.1), (4.2), применим н дня сечения этой схемы. Эи»,пи-онднмому.одиакэ возможностей добиться сходимости схемы (П .1 ), а именно использовать каноническую запись схемы (11.2)- ( 1 1.4) и существенный диагональный сдвиг, т е . 5 ~ 0,1 -г1,0.

§ 7.12. Результаты тестовых расчетов

1) качестве тестовой задачи для проверки работоспособности н скорости предложенных алгоритмов использовалась задача, описанная в гл. 6. Для

Выполнялось 20 итераций, после чего определялся средний коэффициент сходимости нсонэкл но формуле

Задача решалась дня четырех вариантов расположения области (см. рис. 6.1) по отношению к началу координат расчетной « тк и . Для схемы 2 исследовалась зависимость скорости сходимости (величина коэффициента

К Ср ) от расположения области по отношению к началу отсчета и в зави­

симости от свободных параметров схемы. В этих расчетах вычислялось по следующему алгоритму:

259

нию гимй сдвиг.

В приведенных расчетах I] = 0,01. Следует отмстить, что 3-й и 4 и варилиты расположении областей дают более высокую скорость сходимости: каилучшнс значения А '^ 0^ ^0,83 получаются при г = 0,5, о? = 0,3, е0 = 0,02, 7] = 0,01. Если рассматривать варианты по отдельности, то следует признать

Для 3-го варианта исследовалась скорость сходимости (величина коэффи­ циента А'с*20*) от расположенияобласти но отношению к началу отсчета

н в зависимости от свободных параметров схемы х и г. Комментируя результаты, следует отметить слабую зависимость коэффициента сходимо­ сти згой схемы от варианта расположения области, а также устойчи­ вую сходимость итерационного процесса (табл. 1.8).

Наилучшими следует признать значения параметров т= 1,95, х =0,2-5-0,3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.ГоАуноа С.К., Рябенький В.С. Наедемис в теорию разностных схем. - М: «Й1змаггн?, 1962.

2.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М: Наука. 1977.

Ь-Бум са И Л . Численный метод реиггния двумср|гых уравнений диффузии// Атом­

ная энергия. - 1959. - Т. 6, выл. >, - С. ЭЗВ-340.

4.Булаев И Л . Численный метод решения двумерных и трехмерных уравнений диффузии//Математический сборник. - 1960. -Т . 51»М* 2. - С. 227-238.

5.Булаев НМ. Схема неполной фангорнтшнн е регуляртатч1р1»м // Вопросы атомной

науки и техники. Сер. Физика к техника ящерных реакторов. - 1980. -

Вын. 4(13). -С . 15-26.

6. Булем НИ. Метод неполной факторизации дли решения двумерных и трехмерных разностных уравнеюсй тшм диффузии // ЖВМ к МФ. 1970. - Т. 10, Ь*+.- С. 1042-1044.

7. Булем НМ. О численном решении двумерных уравнения эллиптического тина// Численные методы механики еллошио* среды. 1975. - Т. 6,№3. - С. 18-28

260