книги / Основы проектирования турбин авиадвигаделей

или, поделив левую часть равенства на Wд , а правую —на Wc, получим

Отсюда величина компенсационного смещения в верхнем сечении, дающая равенство запасов прочности,

Сс (г) ~ СА W

Для реальной лопатки турбины авиационного двигателя, которая имеет переменную по высоте и сечению температуру, а следовательно, различные свойства материала и разные моменты сопротивления расчетных точек А , В и С, а также моменты, изгибающие ее в двух плоскостях, способ опреде­ ления компенсационных смещений сложнее, хотя суть его остается анало­ гичной приведенному выше примеру.

Обозначим через кд 2 , k Cli минимальные суммарные запасы в ло­ патке в расчетных точках соответственно на входной и выходной кромках и спинке. Очевидно, что эти минимумы могут находиться в различных рас­ четных сечениях.

Введя функции

КА С

где кдв — заданное соотношение суммарных запасов между выходной и входной кромками; к д с —то же для выходной кромки и спинки; ег и е2 —требуемая точность расчета. Искомые функции f x и /2 разложим вряд Тэйлора в окрестностях и + Ьи9v + 6v, удерживая в нем линейные члены, тогда

Ъи

271

которые определяют изменение начальных выносов в первом приближе­ нии:

В этих выражениях коэффициенты к г и к2 вводятся для улучшения сходимости процесса последовательных приближений; в результате расче­ тов широкого класса лопаток установлено, что наилучшую сходимость дают значения к г = к 2 =0,3.

Поскольку функции fi и / 2 не аналитические, их производные берутся на конечных приращениях. Расчетные оценки показывают, что достаточная точность и быстрая сходимость получается при Ъи = 8v = 10“4 см. Приве­ денные выше формулы для расчета действующих напряжений, величин длительной прочности и определения компенсационных смещений удобны для программирования; расчет по ним на машинах класса ЕС ЭВМ сос­ тавляет 1 ... 2 мин, включая ввод и печать исходных данных и результатов расчета. Число приближений, как правило, не превышает 15, а обычно ко­ леблется в пределах 5 ... 10.

Данный метод компенсации лопатки по сравнению с методами, осно­ ванными на конструктивном относительном сдвиге сечений, имеет то пре­ имущество, что позволяет сохранить взаимное расположение сечений, выбранное по конструктивным и технологическим соображениям.

Следует отметить еще одно обстоятельство, которым удобно пользо­ ваться на стадии предварительных расчетов: если в некомпенсированной лопатке получены некоторые величины минимальных суммарных запасов прочности, то после компенсации с большой точностью можно ожидать, что минимальный суммарный запас прочности будет равен их среднеариф­ метическому, или

272

Как было сказано выше, в охлаждаемой лопатке действует дополни­ тельная система нормальных и, вообще говоря, касательных напряжений, вызванных неравномерным нагревом профиля. Здесь остановимся только на расчете нормальных напряжений.

Дальнейшие выкладки иллюстрируют рис. 7.7, где дано сечение лоНатки с осями и положительными направлениями углов поворота относительно них.

В соответствии с гипотезой плоских сечений перемещение каждой точ­ ки профиля перпендикулярно его плоскости имеет вид

где \рп —углы поворота сечения относительно осей £, г\\ z0 —перемеще­ ние всего сечения параллельно самому себе в направлении, перпендикуляр­ ном его плоскости; деформация в направлении осиг имеет вид

Выражение (7.84) означает, что деформации распределены по сечению ли­ нейно и после деформирования оно остается плоским, лишь перемещаясь в радиальном направлении и поворачиваясь в двух плоскостях. Из соотно­ шения упругости получаем

о

Е

где t — температура рассматриваемой точки лопатки; Е и а соответствую­ щие ей модуль упругости и коэффициент линейного расширения материала лопатки; о — нормальное напряжение. Если в лопатке развиваются дефор­ мации пластичности и (или) ползучести, их легко определить, введя в

формулу (7.85) дополнительный член б, учитывающий эти эффекты.

На лопатку действуют внешние нагрузки, ко­ торые связаны с нормальными напряжениями уравнениями равновесия

F

Рис. 7.7. Определение положительных направлений углов поворота профиля при его деформации

273

Можно воспользоваться методом суперпозиций, считая, что напряжение от внешних нагрузок и температурные напряжения независимы, тогда о = = авн + оt, где (твн —напряжения, посчитанные по формулам 7.39 ... 7.41; Of — напряжения только от неравномерного нагрева. Они получаются в предположении, что

pf =Mt =Mn =o,

и равны

Из (7.90) следует, что для уменьшения величины температурных напряже­ ний необходимо снижать температурные градиенты как по стенке лопатки, так и в поперечном направлении, поэтому вопрос выбора и проработки схе­ мы охлаждения является одним из важнейших при конструировании лопат-

274

ки, и в некоторых случаях следует идти на некоторое ухудшение общей глубины охлахщения, чтобы при этом получить заметное снижение градиен­ тов температуры.

В рабочих лопатках действует эффект восстановления, основанный на том, что величина изгибающих моментов от центробежных усилий зависит от положения лопатки. Эта зависимость делает задачу отыскания равновес­ ного состояния лопатки нелинейной и нерешаемой в замкнутом виде, поэ­ тому при расчете восстановления применяется метод последовательных приближений, быстрота и точность сходимости процесса определяется спо­ собом решения интегральных уравнений изгиба лопатки; одним из них яв­ ляется способ, разработанный С.М. Гринбергом, отвечающий перечислен­ ным выше требованиям. Запишем общие выражения для потенциальной энергии деформации П закрученного стержня, работы центробежных сил А ы и работы A q нагрузок, независящих от перемещений,

1 г2

в1 )2 + EJ%X\ + EJпX

F

(7.91)

dr, (7.92)

'о I *

Уравнения равновесия получаются как следствие принципа возможных перемещений П - Aw — A q = min или 6[П - А ^ - A q ] = 0. Обозначив подынтегральную функцию в комплексе П — А ^ —A q через ф, получим уравнения равновесия в перемещениях

275

пишем в виде

М ^ и M v — суммарные изгибающие моценты на начальных выносах цент­ ров тяжести. Операторык 1 \ и к 2 Х задаются выражениями

ихарактеризуют восстанавливающее действие центробежных сил при изги­ бе. Полагая, что радиальное перемещение лопатки под'воздействием центро­ бежных сил мало, а также учитывая слабую связанность деформаций изгиба

икручения в турбинных лопатках, получим окончательно

276

где kL —интегральный оператор.

Учитывая это и внося в (7.104), (7.105) выражения (7.102) и (7.103), преобразованные с помощью (7.106) и (7.107) и значений

—+rcos^A:iT?LT, —sin^n^r? —rcowk\$L$ —ш^ркг ^1^ =

~(7.109)

+rsimpfclT?Z,T + oos\p-k2nL n — rsm^-kx^L^ + cosyp-k2^L^ =Mq.

(7.110)

В формулах (7.109), (7.110) введены следующие обозначения:

ггг

- s i n yfPjdrf S ^ L ^ c o w d r ,

k 2L n =rsirupf-^ -dr f rS ^L ^sin yd r +

L

требуемая погрешность.

Подставляя значение и L n в соответствующие выражения, получаем напряжения в лопатке от внешних факторов с учетом эффекта восстановле­ ния. Таким образом, полное напряженное состояние лопатки определено.

Расчет на прочность бандажных полок

На рис. 7.8 представлен вид сверху на бандажную полку. Изгибающий момент, действующий от заштрихованной части в сечении 1 —1,

где Лц —радиус центра тяжести отсеченной части; V —ее объем. Напряже­ ния изгиба в сечении I—I

Считая, что V = k F 5, где к —коэффициент, учитывающий изменение толщины полки от свободного края к сечению I - I, 8 —толщина' полки, получим

На стадии проектирования проточной части есть возможность проработ-

Рис. 7.8. К расчету на прочность бандаж­ ных полок:

В - размер полки в осевом направлении; b - ширина сечения 1 - 1 ; t - шаг в ок­ ружном направлении; h — расстояние от центра тяжести отсеченной части до сече­ ния 1 - 1

279

/

ки нескольких ее вариантов с различными числами лопаток z, что может быть связано со статической прочностью самих лопаток или частотной от­ стройкой. Поскольку различные варианты делаются с сохранением подобия,

1

и плечо h ~ — .В результате получаем для напряжений изгиба а2 в полке z

лопатки, соответствующей измененной проточной части,через о г:

А '

Из выражения (7.130) следует, что если ог обеспечивает требуемый запас прочности, то можно положить о2 — Oi, откуда

Таким образом, при увеличении числа лопаток до z2 можно уменьшить б2, снизив таким образом центробежную силу полки и разгрузив перо. Если число лопаток z2 < z b то следует утолстить полку, чтобы уменьшить ее нап­ ряженность.

При оценке прочности лопаток, особенно на стадии эскизного проекти­ рования, расчет лопаток с бандажными полками проводится исходя из того, что центробежная сила полки составляет 15 ... 20 % от центробежной силы собственно пера.

Объем полки, принимаемый в расчет, складывается из объема собствен­ но полки и части пера лопатки, расположенной между полкой и верхним расчетным гидравлическим сечением, или VnE = Vn + Vn.

Уп = 0Л1ст А ~ ( — ) 2,

2 2

где А —высота части лопатки между полкой и верхним сечением лопатки. На стадии эскизного проектирования должна быть надежно определена прочность лопатки на основании довольно ограниченного числа данных: частоты вращения ротора, компонентов газовых нагрузок на нескольких

280