книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

равновесности смежной (или возмущенной) конфигурации в не­ линейной постановке.

Используем (10.3.7) для получения критерия устойчивости исходной (невозмущенной) конфигурации.

Для этого будем исходить из малости приращений U Ai, aAij, eAij, так как рассматриваем поведение деформируемого тела в малой окрестности около исходной конфигурации. Тогда для линеаризованных геометрических зависимостей

Для вариаций

(10.3.9)

Для приращений массовых PAi и поверхностных F Ai внеш­ них сил в малой окрестности также возможна линеаризация от­ носительно U Ai.

Из линеаризации физических соотношений (10.2.1) следует:

где eAki линеаризованы по (10.3.8). а из (10.2.1) получено

ijki_

cteki

Если закон (10.2.1) такой, что окажется ачи = аш3, то суще­ ствует функционал - аналог потенциальной энергии деформации.

Из линеаризованного критерия получается бифуркационная постановка при условии равенства нулю приращений внешних нагрузок.

Определяющими уравнениями для критических нагрузок является краевая задача, которая может быть получена из (10.3.7) следующим образом: подставляя (10.3.9) в (10.3.7), имеем

Вариационные критерииустойчивости

222

(10.3.11)

Применяя формулу Грина для интегрирования по частям первого из интегралов, а затем приравнивая нулю коэффициен­ ты при вариациях 51Л. с учетом равенства нулю и? на S2 полу­ чаем:

(10.3.12)

(10.3.13)

Добавляя к (10.3.12), (10.3.13) выражение для о Аи и геомет­ рические соотношения, получаем замкнутую линейную краевую задачу для определения критической нагрузки и смежного рав­ новесного состояния.

В частном случае, когда существует потенциальная энер­ гия деформации, (10.3.7) переходит в следующее выражение:

причем для eAij приняты линеаризованные геометрические зави­

где 5*2П - специальная вариация энергии, когда в качестве 6U приняты и* •

Получена еще одна форма критерия устойчивости. Для уп­ ругого тела (10.3.15) и (10.2.1), очевидно, эквивалентны; (10.3.15) имеет в и д :

Нормируя су к некоторому параметру - R, можно записать:

= 0. (10.3.17)

Тогда

Стационарность 8*2П, записываемая через функционалы U и Т, стоящие под знаком вариации, имеет вид

8U - R 6Т = 0.

С другой стороны: обозначим R = U/T. Тогда стационар­ ность R

дает

5R=0 ^ 5U T -8TU =0 о ^(5U -R 8T )=0. Т2

Поэтому критерий имеет еще одну формулировку: (10.3.15) эквивалентно стационарности отношения Релея 5R = 0, где

Если в краевой задаче (10.3.12), (10.3.13) (для наглядности при условии "мертвых" нагрузок) нормировать су некоторым па­

гружения и геометрии конструкции, материал которой деформи­ руется по использованному физическому закону, конечно, по­ лучить нельзя. Для частных случаев функционалов, составляю­ щих R, результаты можно видеть, например, в [154].

Изложенные здесь окончательные формулировки вариа­ ционных критериев в несколько иной форме или для частных случаев обсуждаются в литературе. Например, (10.3.15) для ли­ нейной упругости известен как критерий упругой устойчивости в форме Брайана [7], вариационный функционал (10.3.7) в бифур­ кационной формулировке известен как аналог статического критерия Эйлера [37,132], для исследования задач в области линейно-упругой устойчивости пластин и оболочек аналогичные формулировки широко применялись в расчетной практике.

Приведенные выкладки, формулировки и результаты имеют здесь, в основном, методологическую значимость для дальнейших построений в инкрементальных теориях, в частно­ сти, в теории наведенной неоднородности.

10.4.Вариационный критерий устойчивости

втеории наведенной неоднородности

Рассмотрим задачу устойчивости процесса So, Si,... Sn, Sn+i, ..Sr, понимая под состоянием Sn шаги инкрементальной тео­ рии наведенной неоднородности, что даст возможность конкре­ тизировать функцию состояния для приращений А и получить критерий устойчивости процесса деформирования в условиях наводимой внешними воздействиями деградации свойств мате­ риала.

Предварительно обсудим одну родственную формулировку для введенных ранее вариационного принципа и вариационных функционалов.

В главе 5 обсуждался введенный вариационный принцип. В главе 7 п.7.1 - 7.4 для частных задач пластин и оболочек были

Первый из интегралов правой части (10.4.7) преобразуем по формуле Грина, затем подставим в (10.4.6) и используем гра­ ничные условия и уравнения равновесия (10.4.3) - (10.4.5). В ре­ зультате вместо (10.4.6) имеем

обходимо выполнение вариационного условия (10.4.8).

Для использования в дискретных алгоритмах полезно со­

ляющие дифференциальные уравнения относительно прираще­ ний.

Таким образом, (10.4.8) - еще одна формулировка принципа виртуальной работы. Физический закон не был конкретизиро­ ван.

Используя уравнения состояния (10.4.1), можно получить из вариационного принципа (10.4.8) условия стационарности функ­ ционала, так как существование функции состояния А обеспече­ но, и полагаем нагрузки консервативными.

Тогда (10.4.8) записывается в виде

Обозначим выражение в квадратной скобке ДП, которое, при использовании уравнений состояния и геометрических со­ отношений (10.4.9) и (10.4.2), является функционалом от AU i .

227

Таким образом, получение вариационного функционала может вестись не только от принципа в форме 5П* = 0, но и от 6АП = 0.

При этом могут получиться разные функционалы, но их экстремальные свойства будут одинаковыми (с теоретической точки зрения).

Из (10.4.9) следует, что вся сложность при получении функ­ ционала из условия стационарности состоит в данном случае в определении функции А. Если в упругости она получается эле-

•ментарио, то здесь, при попытке ее выписать в явном виде, встречается масса технических сложностей. Хотя, следует отме­ тить, что они такого же плана, как и те, с которыми приходится сталкиваться при получении уравнений в перемещениях.

Для этого нужно записать выражение

SA = Доц 5Деу

через перемещения и тензоры из уравнений состояния. Тогда

В этом случае функционал АП можно получить в следую­ щем виде:

ДП = | ( | ^ , Д е иДе„

(10.4.11) Теперь нужно подставить вместо приращений деформаций их выражения через перемещения по формулам (10.4.2). -Учиты­

гональная, видно, что имеет смысл записывать окончательный вид (10.4.11) только для частных задач.

При использовании приближенных методов для нахожде­ ния минимума (10.4.11) , в частности, при аппроксимации при­ ращений перемещений ДЦ разложениями в суммы по базисным функциям, обычно аппроксимацию подставляют в геометриче­ ский закон, а затем используют специально подбираемые свой­ ства базисных функций при определении интегралов

-УниДемДе: ijklAeklAeij

что обычно упрощает задачу, при удачном выборе базисных функций.

Заметим, что в задачах пластин и оболочек нелинейность в геометрическом законе, породившая в (10.4.11) слагаемые

обычно сохраняется только по прогибам, то есть вместо сумми­ рования по к будет одно слагаемое с к = 3 ( Д11з - приращение прогиба).

к вопросам устойчивости. Видно, что ДП связан с текущим со­ стоянием Sn. При переходе в Sn+i будет меняться Туи, фу, о у , а также задаваться изменение ДБ.

Уравнения состояния в приращениях в теории наведенной неоднородности были сформулированы для различных вариан­ тов гипотез о свойствах материала в главе 4.

Рассмотрим вариант уравнений состояния (4.7.3) главы 4, которые учитывают сжимаемость материала (10.4.1).

Последнее слагаемое управляет движением траектории изображающей точки процесса по поверхности деформирова­ ния из фазовой плоскости. Первое слагаемое задает движение в фазовой плоскости по кривой деформирования, получаемой как сечение поверхности деформирования плоскостью, определяемой состоянием Sn, а также управляющим параметром деградационного процесса.

Для приращений Дау и Деу существует функция состояния А, как было показано в главе 4.

Получим здесь вариационную формулировку для принятой концепции устойчивости - бифуркации первого порядка для теории наведенной неоднородности, понимая под исследуемым процессом деформирования взаимосвязанный процесс деформи­ рования и деградации материала.

Допустим, что в состоянии Sn становятся возможными два продолжения процесса, которые вблизи бифуркации отличаются

При этом для Aa'ij, Де’у справедливы линеаризованные зави­ симости, так как Дст^, Де*у являются вариациями основного про­ цесса, по своему введению. Используя варьированные уравне­ ния состояния, из (10.4.13) получаем

или,с учетом существования потенциальной функции:

По способу введения Д1Лк можно видеть, что это - специ­ альные вариации Д1Л в состоянии Su, тогда (10.4.15) - критерий устойчивости в форме

где 5Л означает варьирование относительно 6 A U i. Так как ничто не мешает записать для смежного процесса A U jc = A U i + 6 A U „ то в результате этих же преобразований было бы получено (10.4.15), где д и 1*было бы не что иное, как обозначение 5Д1)ь

Часто критерий в форме (10.4.16) и (10.4.17) называют кри­ терием Брайана и критерием в форме Треффтца , когда АП явля­ ется энергией деформации линейно упругого тела.

Возвращаясь к обсуждаемому вопросу о единственности продолжения процесса из состояния Sn к Sn+1 видим, что условия (10.4.16) и (10.4.17) есть условия существования

смежного процесса AUj+AU1,, наряду с основным AU,.

Записывая ДП как функционал от A U i', видим, что по мате­ матической формулировке он похож на функционал полной энергии неоднородного упругого тела, в котором имеется поле предварительных напряжений оу, а AUi выступают в качестве полных перемещений.