книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Когда деформации достаточно малые, а функции связи напря­ жений и деформаций достаточно гладкие, зависимости (5.1.1) можно разложить в ряд по степеням еш и сохранить столько членов ряда, сколько считается необходимым. В частности, отсюда можно полу­ чить кубическую параболу, которая часто используется, если нели­ нейность не сильно выражена, или линейную связь напряжений и деформаций (закон Гука):

Для изотропного материала а1|1П - изотропный тензор четверто­ го ранга.

Кроме соотношений (5.1.1). задаются геометрически нелиней­ ные зависимости деформаций от перемещений в точке тела

На участке границы 5, заданы граничные условия в напряжени­ ях в виде:

где 7], - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности;

Fk - поверхностные силы, отнесенные к единичной площади недеформированной поверхности.

На участке границы St заданы условия в перемещениях:

где (J* - заданные функции координат. Массовые силы, отнесенные к единичному объему, обозначим: Р, (i=l,2,3).

Тогда принцип виртуальной работы для такого тела имеет са­ мый общий вид:

Принцип гласит:

Если тело, определенное зависимостями (5.1.1 )-(5.1.6) нахо­ дится в равновесии, то есть выполняются уравнения

д_

+ Pk =0; ij=l,2,3, (5.1.8)

<9Xj

то на допустимых виртуальных перемещениях SU, (допустимые - значит удовлетворяющие геометрическим условиям на S2) будет вы­ полняться (5.1.7) и обратно: из (5.1.7) и геометрических условий на

.Sj следуют уравнения равновесия и граничные условия на 5,. Рассмотрим функции, описывающие физические соотношения

(5.1.1). Если эти функции такие, что величина c^de^ - полный диф­ ференциал, то, значит, существует функция состояния А(е„,е12,...,ез3) такая, что

выполняемые для всех сочетаний индексов.

В частности, для линейных зависимостей (5.1.3) требование (5.1.10) равносильно такому

(5.1.11)

При этом

А - называется плотностью энергии деформации. Когда плотность энергии деформации существует, то существует энергия деформа­ ции.

Известно, что при малых деформациях плотность А положи­ тельно определена.

Если функция энергии деформации для физически нелинейного тела существует, то принцип виртуальной работы (5.1.7) может быть представлен в виде

где A{U,) получено из A{%) с помощью (5.1.4).

Отметим, что вид функции A(e.t) всякий раз надо получать за­

ново, он зависит от вида (5.1.1).

Выражение (5.1.12) - принцип стационарности энергии для неконсерватнвных сил. Если для внешних нагрузок существуют потен­ циальные функции Y(ev) и Z(er)

8Y = -Pj 5Uj и 8Z = -F,8Ui,

то вместо (5.1.12) имеем

где

П = Ш A(U,)dv+ (JJY(U;)dv+ JJZ( U ; )ds .

V V S

Здесь П - полная потенциальная энергия системы, которая явля­ ется функционалом от перемещений. Перемещения рассматриваются как варьируемые независимые переменные, удовлетворяющие гео­ метрическим граничным условиям.

Заметим, что стационарное значение положительно определен­ ного функционала (закон Гука) - это минимум функционала. Он су­ ществует и достигается только на равновесных состояниях.

5.2. Принцип виртуальной работы для тела с наведенной неоднородностью

Рассмотрим два различных распределения напряжений: исход­ ное ау и возмущенное ст*у , различающихся на величину Асту и со­ ответствующих двум состояниям S n и Sn+I инкрементальной тео­ рии.

Пусть, согласно инкрементальным соотношениям, делается пе­ реход из исходного состояния в возмущенное, для чего определяются

возмущения (приращения) {дсгу.Деу}, соответствующие прираще­

ниям внешних нагрузок APj,AF; и приращениям параметра внешне­ го процесса, соответствующим АФ„„ которые создают приращения параметра АЯ. Приращения JДоу,Аеу}должны быть найдены из ус­ ловия равновесности состояния Sn+, .

Сформулируем принцип виртуальной работы для тела с наве­

Допустим здесь, что нагрузки консервативны и что массовых сил нет (отметим, что учет внешних массовых сил не представляет затруднений).

Уравнения равновесия в состоянии S п удовлетворяются для

116 Вариационные принципы

На участке границы ^ выполняются условия в напряжениях

где Fk - поверхностные силы, отнесенные к единице площади в не* деформированном состоянии 5п.

На участке границы S, выполняются условия в перемещениях

Uj = Uf на S2 (5.2.5)

Пусть заданы приращения внешних факторов к текущему их уровню и делается переход в состояние S,,*,, где тело должно нахо­ диться в равновесии. Для этого необходимо определить приращения

{Дсту,Дев} к текущим {<ту.еу}.

Чтобы тело в состоянии Sn+I находилось в равновесии, необ­

ходимо выполнение принципа -виртуальной работы для возмущенно­ го состояния Jajj+Aa^ejj+Aejj|,при этом варьировать можно вместо

U, ч-AUj только AUj.

Так как при варьировании по АИ; 8(еу + Де#) = 8Деу, имеем

Здесь F^SAuj— элементарная работа, совершаемая внешними поверхностными нагрузками в возмущенном состоянии на виртуаль­ ных приращениях перемещений; аубДец— элементарная виртуаль­ ная работа внутренних сил в возмущенном состоянии CTJ, совершае­ мая на виртуальных приращениях перемещений бДец

Отметим, что функционал (5.2.6) не имеет аналогов ни в де­ формационной теории пластичности, ни в теории пластического те­ чения. Причина этого в том, что все соотношения модели наведен­ ной неоднородности, несмотря на использование гипотез деформа­ ционной теории пластичности, построены в приращениях (или в скоростях), но не аналогичны линейным зависимостям для скоро­ стей в теории течения.

В случае модели наведенной неоднородности условие стацио­ нарности (5.2.6) функционала П* не связано со стационарностью по­ тенциальной энергии (как в упругих задачах) и не гарантирует достижение функционалом П* экстремума на допустимых прираще­ ниях перемещений (удовлетворяющих геометрическим связям).

5.3. Теорема о вариационном принципе для тела с наведенной неоднородностью

Точное решение задачи в приращениях о равновесии тела с на­ веденной неоднородностью физико-механических свойств материа­ ла доставляет функционалу П*, заданному в (5.2.6), минимум на множестве допустимых полей приращений перемещений.

Докажем сформулированный вариационный принцип. Сопоставим два состояния нагруженного тела с наведенной не­

однородностью: исходное и возмущенное, отличающееся от исход­ ного плотностью рассеянных микроповреждений материала. Исход­ ное состояние S п характеризуется распределением напряжений сту, возмущенное состояние ст’ отличается от исходного на величину

Ат у, которая характеризует формулировку проблемы построения

Ее существование в теории наведенной неоднородности обес­ печено свойствами уравнений состояния. Для исходного напряжен­ но-деформированного состояния S п, следуя построению уравнений состояния, справедливо

Вследствие этого, вторая вариация

62А>0,

что и требовалось доказать.

Минимум этот достигается на тех приращениях {Лст^Деу},

досуммировав которые к текущим {оц,еу}, получим равновесность

возмущенного состояния |oJ,e* J, так как 8П* =0.

Для формулирования условий равновесия в виде краевых задач нужно получить выражения для 8Деу через геометрические соотно­

шения, при этом следует варьировать лишь приращения перемеще­ ний, для освобождения от производных от приращений перемещений использовать формулу Грина для интегрирования по частям, затем собрать коэффициенты при независимых вариациях приращений пе­ ремещений. После этого нужно использовать, что в состоянии S п

(сГц,еу} уравновешены с внешними факторами, то есть выполняются

уравнения равновесия. Оставшиеся слагаемые при вариациях при­ ращений перемещений дадут определяющие дифференциальные уравнения в приращениях и граничные условия на границе, где зада­ ны условия в напряжениях.

Следует отметить, что доказательство опирается на выпуклость зависимости Б(Г) на всем интервале деформирования, что является некоторым ограничением.

Отметим, что в доказательстве мы нигде не опирались на гео­ метрические соотношения, это позволяет заключить, что вариацион­ ный принцип справедлив для любых конструкций с заданной моде­ лью деформирования материала. Также можно утверждать, что по­ лученный вариационный принцип инвариантен относительно преоб­ разования координат. Конкретизируя геометрию тела и подставляя геометрические соотношения в уравнение (5.1.1), можно получить вариационное уравнение для заданной конструкции, материал кото­ рой подчиняется модели наведенной неоднородности. Определяю­ щие уравнения вытекают из вариационного принципа как условия стационарности. В ряде случаев, а именно когда приходится решать концептуальные вопросы, вариационная формулировка предпочти­

тельнее рассмотрения системы определяющих уравнений в виде сис­ темы дифференциальных уравнений по ряду причин:

•инвариантность функционала относительно преобразования координат: получив функционал в одной из систем, нужно только выписать инвариантные величины в другой системе, а затем при­ менить варьирование;

•вводя дополнительные условия, можно преобразовывать функционал к эквивалентной задаче, если она решается проще ис­ ходной (в данном конкретном случае). Задачу минимизации с до­ полнительными условиями можно решать, применяя процедуру множителей Лагранжа для сведения задачи с ограничениями к за­ даче на абсолютный экстремум:

•можно применять специальные методы для приближенного решения, основанные на вариационных формулировках: метод Галеркина, метод Ритца. метод конечного элемента.

Если метод Галеркпна допускает и постановку для краевых за­ дач определяющих уравнений, то для корректного применения мето­ да Ритца необходимо обоснование в виде полученного выше доказа­ тельства, подтверждающего правильный выбор функционала, ми­ нимизация которого дает решение.