книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек
..pdfСоотношения между приращениями
131
|
h |
h |
h |
Ng= |
f r«dx3; |
Qij = J r i3dx3; M§= J Гцхзёхз» |
|
|
-h |
-h |
-h |
|
|
|
(6.3.7) |
Температурные члены: |
|
||
ANy= J HijkiAski6kidX3' |
AQ?- jEDkiAeki5kidx3; |
AMy - J Еук|ДЕыбк1Хзбхз; |
|
AQi ; J Eijki~T AEki6kidx3‘. |
|
||
-h |
h" |
|
(6.3.8) |
|
|
|
|
Полученные соотношения позволяют записать систему разре шающих уравнений относительно приращений, перемещений ди?,
Д1)2, Д11з и приращений функций сдвига Ду”, Ду£.
Для записи уравнений в смешанной форме необходимо в соот ношениях (6.3.3) исключить приращения деформаций Деу.
Разрешая первое из уравнений (6.3.3) относительно прираще ний деформаций срединной поверхности оболочки, получим:
Де? = Pjjkl(AN м+ANJ -N С,)_ P>jt|SijkiДХщ+PijkiS#KI^Хы-
(6.3.9)
Здесь введены обозначения:
Ъ - 6 * - (6-3-1°)
132 Вариационные уравнения
где Д — определитель четвертого порядка матрицы, состоящей из
элементов Вцы |
(ij,k,l = 1,2); Ащ — алгебраическое дополнение |
элемента B p |
определителя А. |
Подставляя полученные выражения для приращений дефор |
|
маций срединной поверхности (6.3.9) в соотношения (6.3.4) - (6.3.5) и приводя подобные, будем иметь:
AQj= Bj3pqPpqk|(ANkl~Nkl+ AN|[|)+(Sj3mnBi3pqPpqk]Sklmn)AXnin~
-(S;,*„-B B„ PP,US^
+ $ -A Q b
AMij ~ SijpqPpqk](ANkl N^|+ANkl) “^^Dijmn Sijpq PpqkJSklmnj ^Хпш
(Djjmn_SijpqPpqk[Sklnin)^Xmn + ^Sijm3“ 3Sijm3“ SjjpqPpqki^Bklm3 " j " m "
*AY;+ 0 f -4 Q [;
AMjj= SijpqPpqki(AN kl~Nkl+ANkl)+ (Dijmn~SijpqPpqk|Sklmn)АХПш “
~(Dijnrm~SijpqPpqjt|Sklinnj^X inn*^^ij,'13"~Sijm3—SijpqPpqkl^Bklm3 ^ ^ m ^
+МЦ*-АМГ .
(6.3.11) Полученные соотношения позволяют построить систему диф
ференциальных уравнений в смешанной форме.
133
6.4.Вариационное уравнение
Вариационное уравнение получим на основе вариационного принципа, установленного в главе 5, в предположении отсутствия массовых сил
M(a58Aeg)dvfj(F?8AUi)dS = 0. |
(6.4.1) |
|
V |
s |
|
Подставим выражения для Леу и, производя варьирование по независимым переменным приращений перемещений ди? и при
ращений Ду?, будем иметь:
ЛЬ,Г” |
( 5 д ф ( х , - Ш |
б Л Т») + Д а , £ |
( б д и ф - ^ W ) |
|
v dxi |
|
|
|
|
|
+[1” |
|f(cTi3+ДО|з)5Ау?1+(oij+Дац)— — 8ДЦ?+ |
||
|
ч |
п / |
1 |
(kj C^j |
+(оц+Доу)— ^ 5ДЦ?-ку8у(оу+Доу)ш5-
OTJ OTj
(хзУ
3h3^(o8+4oii)^ ) +(I"^')((<I0+toa)i 8ius)dv
-Jl[(Fi+AFi)8AuS]ds=0 .
(6.4.2)
Выполняя интегрирование по частям и учитывая, что по кон туру приложены усилия, действующие по касательной к срединной поверхности Р i и Р2, и поверхностная нагрузка q, нормальная к срединной поверхности оболочки, получим:
|
| (хз)э |
&Оу 1 |
(хзП Зои |
|
-flf |
3h2 |
SxiSxj |
h2J axs |
(8AU$) * |
134 Вариационныеуравнения
(Хз) |
оДстц |
( |
(хз) ^ЭДд;3, |
|
д ( |
|
|
ади? |
эи?' |
|||||||
+ ки5цАап+^-т------ -+ |
|
h |
—— +~ Астц-- +A®ij— |
-+Oij— |
||||||||||||
3h |
axjdxj |
( |
|
J |
5xi |
axjV |
|
d x i |
o x i |
d x i |
||||||
6AU§+ — |
(8AU?)+ — |
6AU?+ |
|
(хз)31 oaij |
L (хз)' |
|
||||||||||
|
3h2 J 5xj |
^ |
h2 |
|
||||||||||||
dXj |
|
|
|
Я*' |
|
|
|
|
|
|||||||
^(бАу^н |
|
(x3) |
| 5Aa,j |
Г |
(хз)' |
, |
(5Ay'’)|dv |
|
||||||||
|
"HhTJ й” ' ( |
7 " |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
|||||||||
B+h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б д к ф |
|
|
+ П |
|
|
dx, |
V |
|
h |
J |
|
|
|
|
|
|
|
||
()-ll |
|
|
|
|
|
|
|
|
3h dx. |
|
|
|||||
. 8UVA dAU^ |
бди” |
f. (хзЛ А |
|
/А ^ \M?дсп |
||||||||||||
A G U — - + A G H ~ ....+CTii-~- |
- + |
( |
h |
|
Aai3+(4-36ii)--T-~ |
5AU3- |
||||||||||
oxi |
|
|
dxi |
|
|
dxi |
|
1 |
|
|
3h"',->" 5xi |
|
||||
- —~ стп ~ |
|
(бДиз) - |
3h~ |
Дам |
dxi |
+ ai^SAU?) + Aaii 0 AU3 + |
||||||||||
3h" |
fix' |
|
|
|
|
|
|
x |
’ |
|
|
|||||
ax,v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ACT2j8AUj- |
dx3dxi~ |
|
Вариационноеуравнение |
135 |
|
|
-4 J |
Я (8Ли?)+До,2^-8Д 1 |
<Ьо- |
|||||
|
|
|
123h! |
|
|
|
|
|
(ч(8ЛЦ?)+ЛЧ8ДЦз)<Ь-? (Pi +APi)8AUi+Pi^(8AUS) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5xiv |
J \ D aU? дв ади°+в Эли“1ялч« |
a |
|||||||
+1 APi----+ДР1—— +Pi~ |
близ |
dx2~ J(P2+ AP2)6AU2+ |
||||||
v |
d x i |
|
5 x i |
5 x i J |
|
|
|
|
+ р2м |
(5ди§)+(дргм |
+др |
5X2 |
(1X2 = 0. |
||||
ЙХ2 ' |
|
' |
5X2 |
|
5X2 J |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.3) |
При использовании вариационного принципа в данной форме |
||||||||
можно видеть, |
что структура вариационного уравнения такова, что |
|||||||
при каждой |
из |
вариаций |
независимых |
приращений перемеще |
||||
ний: 5Ди?0= 1,2,3) и бАу■’ (i—1,2) стоят два слагаемых, одно из кото рых относится к состоянию S,,, второе содержит приращения пере менных состояния при переходе к S п+ь Пусть (после интегрирова ния по толщине) обозначено:
1 иГ коэффициент при вариации бди ?, относящийся к S„
(первое слагаемое при 5Ди?в (6.4.3));
ДХи; - коэффициент при вариации |
5Ди?, содержащий прираще |
ния (второе слагаемое при |
6AU? в (6.4.3)); |
Zyj - коэффициент при вариации 5Ду°, относящийсяк Sn
(первое слагаемое при 6Ду° в(6.4.3));
ДГу1 - коэффициент при вариации 5Ду[\ содержащийприращения
(второе слагаемое при бДу^в(6.4.3)).
Тогда + ДХи;, в объемном интеграле стоят в
качестве коэффициентов при вариациях перемещений, а аналогично обозначенные ©1Н + Д 0Ш, 0^+Д©^ - коэффициенты в контур
ных интегралах. Так как переменные состояния Sn уравновешены по построению теории, то слагаемые, содержащие полные функции, в
136 Вариационные уравнения
сумме тождественно равны нулю. Поэтому, при использовании ва риационного уравнения (6.4.3) для нахождения неизвестных прира щений, эти слагаемые Ъу1, 0 и1, 0 ^ могут не учитываться и
не участвовать в вычислениях. Однако условия равновесия для пол ных функций точно не удовлетворяются, если имеется в виду ре альный дискретный алгоритм. Поэтому возможны два варианта уравнений, схематично записанные ниже:
1. Я(Х№ + |
+ ( l„ + I r,)8ATidS + |
+({(©„, + A e ui)8AUi + ( 0 li +A©)i)5Ayi}dx, = 0
2. JjjAZu^AUi+AI^aAyjJds+jlAOuiSAUi+AOyjSAyiJdXi = 0 .
Первый вариант приводит к краевым задачам с невязкой, второй ва риант - без нее.
6.5. Определяющие дифференциальные уравнения для приращений
Приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях 6AUj, 5Ау j, получим выражения, определяющие невязки, и диффе ренциальную систему пяти .уравнений, записанную относительно приращений обобщенных усилий. Невязки задаются выражениями:
ЭН* .
(6.5.1)
3xj
^м■,] +^r'+Q Q i) 8ijkijNij+4+^lN^J=э ( аи°1 Z„u5'
Система уравнений относительно приращений:
Определяющие дифференциальные уравнения |
137 |
(6.5.2)
Здесь введены обозначения:
+li |
+U |
+h |
+Ь |
Nij= / aiidx^; |
ANii= 1Aa»dx3; |
Qr= I(Ji3dx ; |
AQj= {Aai3dx3'» |
-h |
|
|
|
(6.5.3)
Выразим перерезывающие силы (Qj — Qj*) и их приращения, входящие в последние уравнения систем (6.5.1) и (6.5.2), через производные от изгибающих моментов и их приращения.
При этом перерезывающие силы и их приращения в послед них уравнениях систем (6.5.1) и (6.5.2) будут отсутствовать, а сла гаемые, содержащие моменты высших порядков, взаимно уничто жаются:
138 |
Вариационные уравнения |
9xjил. |
|
|
|
|
|
Ш« |
A д ( |
5U? |
dttfi |
dAufl |
ж м v |
-— +8ijkijANy+Aq+ ~ |
ANy— +ANy—^+N,j-—- |
+ ~ r ~ - + -ш =°- |
|||
дкдк\\idK-} |
SxiV |
d*j |
f a j |
5xj J |
dXi |
(6.5.5) Уравнения (6.5.5) имеют инкрементальную форму: из их выво да следует, что если приращения определяющих параметров напря
женно-деформированного состояния {Доу,Де^} удовлетворяют
(6.5.5), то при добавлении их к параметрам состояния Sn они опре делят состояние Sn+iкоторое будет равновесным. Уравнения (6.5.5) являются основой для получения определяющих уравнений в при ращениях.
6 .6 . Естественные граничные условия
Граничные условия получим, обращая в ноль контурные инте гралы вариационного уравнения.
В данном случае, решая задачу в приращениях, рассмотрим слагаемые контурных интегралов, содержащие независимые вариа ции §ди® и 8Ду®. Для обращения в ноль этих слагаемых необхо
димо обращение в ноль либо приращений перемещений ди® и при
ращений сдвиговых функций Ду®, либо коэффициентов при них.
Рассмотрим контурный интеграл в направлении оси хг. Из возмож ных вариантов граничных условий выберем один следующего вида:
1.ANu +©Ш-ДР1 или ди? = 0;
2. |
ANi2+ 0 U2=O; или |
ди® = 0; |
3. |
д м ц - д м и + ® у 1= °; |
или Ду?=°; |
4. |
дМ]2- A M I2 + ®t2 = о ;или Ду?=°; |
|
Естественные граничныеусловия |
139 |
(A N ,|-8i,A Pi)^ + (A N ii-S uA P i)^+ (Nu-BnPi)— + AQ, - AQ|+
^ |
OXi |
uXi |
dXi |
+(4~38ii) |
11 + ©из = 0 |
ши &KJз =0 . |
|
|
uKj |
|
|
(6.5.6) Относительно последнего, шестого условия, следующего из контурного интеграла, следует сказать, что оно отражает тот факт, что в случае нелинейной сдвиговой гипотезы происходит повыше ние порядка уравнений, что очевидно, если записать уравнения в пе ремещениях. Если коэффициент при производной от §ди$ в контур ном интеграле обращается в ноль одновременно с коэффициентом при вариации ДуJ , то это приводит к известным взаимосвязанным
условиям равенства нулю либо первой производной от приращения функции прогиба, то есть приращения угла поворота касательной к срединной поверхности в точке закрепления, либо к равенству нулю приращения изгибающего момента на контуре:
6. ДМц + @ из= 0 или |
^ = 0. |
|
дк\ |
Определение формул для невязок в граничных условиях анало гично их определению в уравнениях:
1.N n -Р , = 0 Ш
2.М12= 0 и2 .
3.M u - M 'n =Q y l .
4.м 12- м ; 2 = 0 т2.
5. (N „ - |
+ Qi - Q? + (4 - 36(1) ^ = 0 U3. |
6.М п = ©уз.
Общее число естественных граничных условий, следующих из контурных интегралов, равно 12.
140 Построение вариационного функционала
Глава 7. Построение вариационного функционала теории пластин и оболочек
снаведенной неоднородностью
7.1.Построение вариационного функционала на примере замкнутой цилиндрической оболочки
Рассмотрим в качестве примера продольно сжатую замкну тую цилиндрическую оболочку, материал которой подчиняется мо дели наведенной неоднородности. В качестве кинематической гипо тезы примем модель Кирхгофа-Лява:
|
d2W |
_W |
(7.1.1) |
|
ец-ец- z — T ’ei2- u»e22- ~ |
||
|
dx |
к |
|
где |
W — прогиб; R — радиус оболочки; х — |
координата вдоль |
|
образующей; z - координата по нормали к срединной поверхности; Бц — деформация срединной поверхности.
Вариация функционала П* примет вид:
§П =Я | M I 1- — 2—+N22 |
R |
+Ni i5Де,i|ds-JJq*5AWds+p*5 Д1](1)=0, |
|
s [ |
dx |
J s |
|
(7.1.2) где Мп* , N22* , Nn* — возмущенные внутренние усилия: изги бающий момент, окружное и продольное усилие. Геометрические со отношения примем нелинейными, чтобы была возможность рас сматривать задачи устойчивости:
dU 1 ( d w V
(7.1.3)
е,1=* Г 2Т О •
Здесь U — продольное перемещение. Приращение продольной деформации: