книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

позволяют получить обычные условия равновесия для внутренних усилий исходного состояния:

Исходное состояние равновесно, следовательно, (7.1.15) и (7.1.16) тождественно удовлетворяются, поэтому условие стационар­ ности

Отметим, что из (7.1.18) получается система определяющих дифференциальных уравнений в приращениях

6д и * 0; d4И и = о (или AN|) = -AP ); (7.1.19) dx

(7.1.20)

7.2. Построение вариационного функционала для пологих оболочек с наведенной неоднородностью

Конкретизируем вариационный принцип в случае больших пе­ ремещений пологих прямоугольных в плане оболочек на основе не­ линейной кинематической модели, учитывающей деформации попе­ речного сдвига. В этом случае выражения для приращений деформа­ ций имеют вид

Приращения деформаций срединной поверхности будут пред­ ставлены соотношениями:

Через С обозначена та часть контура оболочки, на которой зада­ ны внешние контурные силы.

В этой главе для обозначений, связанных с кинематической ги­ потезой, в отличие от предыдущей главы, использован верхний сим­ вол ~ , так как символ * занят для обозначения возмущенных зна­ чений обобщенных усилий.

Подставляя (7.2.2) в (7.2.3) и группируя линейные слагаемые, получим выражение для функционала П :

равновесия в полных функциях, которые должны тождественно удовлетворяться (или давать соотношения для невязки, как в главе

После того, как функционал П* построен и вариационный принцип доказан, можно применять процедуры построения прибли­ женного решения задачи вариационными методами (Ритца, Гаперкина, конечного элемента и их модификаций).

Для этого нужно конкретизировать П* для заданной конст­ рукции, системы нагрузок, геометрических и физических соотноше­ ний.

7,3. Метод Ритца в нелинейных задачах механики конструкций с наведенной неоднородностью материала

При решении упругих задач механики конструкций широко применяется метод Ритца для получения приближенных решений. В основе метода Ритца, как известно, лежит вариационный метод, по­ зволяющий свести задачу к минимизации некоторого функциона­ ла, представляющего собой энергию деформируемой системы. Неиз­ вестные перемещения аппроксимируются системой функций с неиз­ вестными коэффициентами при них. Условия минимума энергии да­ ют алгебраические уравнения для определения неизвестных коэффи­ циентов.

Для упруго-пластических задач метод Ритца не получил широ­ кого распространения. Причина здесь в том, что прежде, чем приме­ нять метод Ритца, нужно найти функционал, который бы обладал не­ обходимым свойством: минимум этого функционала должен дос­ тавляться точным решением задачи, для которой он построен, ины­ ми словами, нужно иметь вариационный функционал задачи. Для

принцип. Заметим, что для каждой новой теории (системы гипотез) функционал надо строить заново и доказывать, что найденный функционал может быть применен для данной теории в вариацион­ ных методах. Для деформационной теории (теории малых упруго­ пластических деформаций) и теорий пластического течения некото­ рые результаты приведены в [37].

150 Построение вариационного функционала

Однако для деформационной теории в приращениях (искомы­ ми функциями являются не перемещения, а их приращения, сами пе­ ремещения накапливаются от шага к шагу по нагружению) вариаци­ онный принцип должен быть сформулирован заново. Теория наве­ денной неоднородности является в некотором смысле обобщением деформационной теории в приращениях, так как в процессе де­ формирования конструкции под действием нагрузки возможен также учет деградации и развития неоднородности механических свойств материала. При этом напряженно-деформированное состояние в точке материала зависит не только от уровня нагружения конструк­ ции, но и от степени деградации механических свойств ее материала. Таким образом, для конструкций с наведенной неоднородностью, описываемых в рамках теории наведенной неоднородности, задается не только закон деформирования материала (диаграмма деформиро­ вания), но и закон ее изменения под действием факторов, вызываю­ щих деградацию механических свойств материала. К числу таких факторов можно отнести, в частности, воздействие агрессивных сред на материал нагруженной конструкции. Деградация свойств мате­ риала учитывается с помощью введения деградационных функций в закон, описывающий диаграмму деформирования, и использования критерия объективной прочности. Система уравнений задачи до­ полняется кинетическими уравнениями для определения деградаци-

'онных функций.

Вслучае вырождения кинетических уравнений для функций деградаций (функции деградации - константы) теория наведенной неоднородности предельно переходит в деформационную теорию пластичности в приращениях.

Таким образом, вопрос о применении приближенных вариаци­ онных методов для задач с наведенной неоднородностью должен быть решен в рамках теории наведенной неоднородности: требуется получить вариационный принцип, построить функционал для кон­ кретной задачи, используя соотношения модели, и, наконец, усло­ вия его минимума в виде алгебраических уравнений для коэффици­ ентов.

В основу положим принцип виртуальной работы, совершае­ мой телом в возмущенном состоянии на виртуальных приращениях перемещений.

Формулировка этого вариационного принципа сделана ранее, где показано, что точные решения задачи о равновесии тела.с наве­