книги / Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек

Последнее слагаемое в (7.4.38) учитывает вклад приращения продольной силы ДР за счет нелинейности диаграммы деформиро­ вания

Подставив найденное выражение для дМц в вариационный принцип, получим:

5ДП=|0Дх118Ах1,+ДшЛ8Дх,,+ДРк5х11- Д р 8 ^ ) - р * ^ « ( ^ ) -

Как и в случае упругой геометрически нелинейной задачи, при отбрасывании неоднородности (ДшСк, ДРк, Aq) приходим к задаче на собственные значения. При этом определяемое собственное значение является критической нагрузкой некоторого упругого эквивалента конструкции Рэ* , обладающей жесткостными свойствами, совпа­ дающими с жесткостью рассматриваемой нелинейно деформируемой пластины с наведенной неоднородностью при данном фиксирован­ ном уровне ее нагружения Рф* и деградации физико-механических свойств материала, при котором определена Dk :

Критическая нагрузка рассматриваемой пластины находится из равенства PkP*(P<t>*HVПри сохранении неоднородностей (Дшск,

Минимум достигается на решении А.

Покажем, что минимум функционалу в полных функциях на истинном решении доставляется не только при решении задачи по параметру нагрузки, но и по параметру нелинейности диаграммы деформирования при фиксированном значении параметра нагрузки (Цф) в условиях развития процесса наведенной неоднородности. Подставим в функционал не истинное решение А+, не соответст­ вующее текущему значению переменного параметра нелинейности диаграммы деформирования шс, связанному с истинным решением соотношением:

мое на основе минимизации функционала (7.4.45) как сумма прира­ щений, доставляет минимум функционалу (7.4.46). Эго можно пока­ зать, построив зависимость для "энергетического уровня" Г Г , выра­ зив полную нагрузку.в (7.4.46) через решение, полученное на основе (7.4.45):

получаем, что минимум с точностью до шагового процесса линеари­ зации находится на решении А.

Аналогично покажем, что минимум функционалу (7.4.46) на истинном решении доставляется решением задачи минимизации функционала (7.4.45) и по параметру нелинейности диаграммы де­ формирования при фиксированном значении параметра нагружения. Шаговый процесс по параметру нелинейности диаграммы деформи­ рования шс (процесс развития наведенной неоднородности) начина­ ется с некоторого уровня нагружения, в дальнейшем фиксированно­ го (q=q<|)). Значение параметра т с, получаемого как сумма прираще­ ний Д тс из условия минимума функционала (7.4.45), будет иметь вид

Очевидно, что каждое из выражений в фигурных скобках рав­ но нулю с точностью до линеаризации.

Отсюда следует вывод: приближенное решение задачи, полу­ чаемое как сумма решений по шагам вариационными методами с использованием нелинейной части введенного нами в рамках инкре­ ментальной теории функционала, доставляет минимум функционалу в полных функциях (принцип возможных перемещений) для исход­

ной нели н ей н ой задачи , х о тя н а каж дом ш аге реш ается линейная за­

фун кци онала П *

Глава 8. Устойчивость конструкций

сучетом разупрочнения материала

8.1. Устойчивость и закритическое деформирование конструкций из линейно-упругого материала

Рассмотрим влияние наведенной неоднородности материала, вызванной диффузией жидкой агрессивной среды, на устойчивость пластины.

Под агрессивной средой подразумевается любая среда, пребы­ вание материала в которой приводит к изменению длительных упру­ гих свойств полимерного материала.

К таким средам относятся, например, жидкие физически актив­ ные среды, не вступающие в химическое взаимодействие.

Зависимость длительного модуля Е от содержания жидкости в материале в первом приближении можно аппроксимировать линей­ ной функцией вида: Е(с)=Ео(1-Сс), где Ео - модуль в исходном со­ стоянии; С, - коэффициент пропорциональности; с - относительное содержание жидкости в материале. Линейная аппроксимация зави­ симости длительного модуля упругости от концентрации среды удовлетворительно согласуется с рядом экспериментальных данных, например, для полимера СДФ и пентапласта, взаимодействующих с дистиллированной водой /270/

Влияние концентрации воды в материале на длительный мо-. дуль упругости показано на рис.68, для СДФ - кривая I и пентапласта - кривая 2. Как показывают эксперименты /270/, при отсутствии хи­

166 У стойчивость конструкций с учетом разупрочнения м атериал а

мического взаимодействия полимерного материала и среды коэффи­ циент пропорциональности С, меньше единицы, в частности, для СДФ и пентапласта £ = 0,2. В этом случае полного разрушения или растворения материала в зоне замачивания не происходит. Жесткостные параметры пластины являются функциями концентрации сре­ ды в материале, которая определяется из решения уравнения диффу­ зии /270/. Решая уравнение диффузии на полупрямой z > 0 (z - коор­ дината по толщине пластины) для значений t>0 с начальными и гра­ ничными условиями: c(z,0) = 0; c(0.t) = 1, получим :

где Ф((37) - интеграл ошибок; рЛаргумент интеграла ошибок; Dz - коэффициент диффузии в направлении оси z.

Е(С)

Вводя аналогично /270/ понятие фронта диффузии жидкости Рф, аппроксимируем (8.1.1) зависимостью:

Рф

При двухстороннем воздействии среды расчетная схема сво­ дится к трехслойной пластинке со слоями переменной во времени жесткости. Равновесие такой трехслойной пластины определяется не только величиной нагрузки, но и уровнем разупрочнения мате­ риала.

В качестве примера рассмотрим длительную устойчивость пластины из полимерного линейно-упругого материала с учетом

диффузии жидкой среды и разупрочнения поверхностных слоев ма­ териала.

Используя метод последовательных возмущений параметров, запишем нелинейное уравнение пластины в приращениях, беско­ нечно длинной в одном направлении и шарнирно закрепленной в другом направлении:

где 1/R, 1/AR - нелинейные выражения кривизны и приращения кри­ визны; Uo, U - функции начальной погиби и прогиба; AU - прираще­ ние прогиба; N, AN - продольная нагрузка и ее приращение; D*, D - изгибные жесткости в возмущенном и невозмущенном состоянии.

Уравнение (8.1.3) содержит следующее нелинейное выражение для кривизны и приращения кривизны:

При получении результатов для функции прогиба, прираще­ ния прогиба, начальной погиби принято: U=fSin(7ts/l), AU=AfSin(7ts/l); U0=foSin(7ts/l), f=SAf, 1 - ширина пластины, и исполь­ зована процедура Бубнова-Галеркина.

В результате диффузии среды и разупрочнения материала пер­ воначальное распределение напряжений по сечению искажается: пропитанные жидкостью слои материала частично перестают вос­ принимать нагрузку, вследствие чего происходит перераспределение напряжений и догружение незамеченных слоев. Этот процесс может привести как к достижению предела прочности, так и к потере ус­

168 У стойчивость конструкций с учетом разуп роч нен ия м атери ал а

тойчивости, что более вероятно в случае сжатых и сжато-изогну­ тых тонкостенных конструкций.

Коэффициент пропорциональности С при отсутствии химиче­ ского взаимодействия, как показывают эксперименты, оказывается равным 0.8 - 0.9 и приближается к единице для материалов, разру­ шаемых или растворяемых агрессивной средой /270/.

На рис.69 в координатах прогиба, отнесенного к толщине пластины h, и безразмерного параметра времени t=tDz/h2 приведе­ ны результаты исследования длительной устойчивости и закритического деформирования пластины под действием постоянного про­ дольного усилия N =7ГЕоП3/(2412).

Кривые 1,2,3,4 построены при начальной погиби fo=0.1; 0.05; 0.025; 0.001, и £=1. С уменьшением начальной погиби поведение пластины стремится к поведению системы без начальных геометри­ ческих несовершенств. При fo = 0 (штрихпунктирная кривая) на докритическом решении появляется точка бифуркации, соответствую­ щая критическому времени потери устойчивости пластины. Решение 4а на рис.69 соответствует закритическим состояниям равновесия, переход к которым возможен при дополнительных воздействиях ма­ лой поперечной нагрузки с последующим ее снятием. Графики 5 и 5а, 6 и 6а получены при £ = 0,9 и 0,8 соответственно.

Как видно из приведенных результатов, с уменьшением значе­ ния коэффициента пропорциональности £ критическое время поте­ риустойчивости значительно увеличивается.

Таким образом, разупрочнение слоев материала приводит к яв­ лению выпучивания тонкостенной конструкции, находящейся под действием постоянной во времени сжимающей нагрузки, что следу­ ет рассматривать как потерю конструкцией устойчивости. При огра­ ниченном разупрочнении материала (£<1) постановка задачи устой­ чивости оказывается аналогичной проблеме устойчивости процесса выпучивания при ограниченной ползучести на неограниченном ин­ тервале времени. Это дает возможность определять длительную критическую нагрузку и критическое время потери устойчивости.

f

На мгновенной диаграмме (кривая 1 на рис.70) квазистатического нагружения (t=0) за границу устойчивости исходного состоя­ ния следует принимать бифуркационную критическую нагрузку q°,q>, получаемую как минимальное собственное значение линеаризован­ ной краевой задачи устойчивости. На кривой длительного t->oo на­ гружения (кривая 2 на рис.70) границе устойчивости исходного со­ стояния соответствует значение длительной нагрузки q*^. Для уровня нагружения q, из интервала q*«p < qt < q0^ за границу устой­ чивости исходного состояния во времени следует принимать время tiq> (рис.71), критерием для определения которого может служить равенство уровня нагружения qt критической бифуркационной на­

170 У стойчивость конструкций с учетом разупрочнения м атериала

грузке qK-p(t), определяемой на основе линеаризованного уравнения для рассматриваемых моментов времени q, = q^Kp)

Таким образом, определение устойчивости конструкции на эта­ пе деформирования во времени в результате разупрочнения линейно­ упругого материала основано на статическом критерии устойчивости состояния равновесия Эйлера-

8.2.Бифуркация равновесных состояний при разупрочнении материала

снизкой сдвиговой жесткостью

Одной из особенностей композитных материалов является низкая сдвиговая жесткость, что приводит к необходимости учета деформаций сдвига в поперечном направлении, и, как следствие этого, к усложнению уравнений, описывающих устойчивость тонко­ стенных конструкций, изготовленных из данных материалов.

Учет низкой сдвиговой жесткости в поперечном направлении иногда позволяет уточнить значения критических нагрузок на 30 - 40%, по сравнению с рассчитанными по классической теории, не учитывающей поперечных сдвигов /66,67/.

Вследствие неоднородности свойств материала в продольном и поперечном направлениях воздействие внешней агрессивной среды может ослаблять или усиливать эту неоднородность, изменяя упру­ гие свойства материала конструкций.

Допустим, что свойства материала тонкостенной конструкции в продольном и попереч юм направлениях существенно различаются и в процессе разупрочнения жесткостные коэффициенты продольно­ го и поперечного направлений изменяются во времени.

В качестве примера рассмотрим пологую прямоугольную в плане оболочку. Выражения для деформаций, учитывающие низкую жесткость на сдвиг, представим согласно модели (6.1.4).

Дифференциальные уравнения равновесия, на основе соотно­ шений (6.5.1), уравнение совместности деформаций /295, 296/ при введении функции усилий F дают систему смешанного типа, кото­ рую запишем в операторной форме: