1.1.10.Потенциал электростатического поля. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

Работа сил электрического поля, созданного зарядом , по перемещению зарядаиз точки 1 в точку 2 равна:

.

Работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии:

,

тогда потенциальная энергия заряда в поле зарядаравна:

.

Значение константы выбирается таким, чтобы при удалении заряда на бесконечность (то есть при ) потенциальная энергия обратилась бы в ноль, поэтому

.

Ясно, что разные пробные заряды ив одной и той же точке поля будут обладать разной потенциальной энергиейи. Однако отношениедля всех пробных зарядов будет одинаково. Величинаназывается потенциалом электрического поля и является его энергетической характеристикой. Потенциал поля точечного заряда равен

.

Если поле создается системой точечных зарядов, то работа сил поля над этими зарядами равна

,

где - расстояние от зарядадо начального положения заряда,- расстояние от зарядадо конечного положения заряда(зарядперемещается силами поля).

Тогда потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов:

,

и потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Зная потенциал, можно найти потенциальную энергию заряда в электрическом поле:. Работа поля над зарядом:работа равна убыли потенциала, умноженной на заряд.

Если заряд удаляется из точки на бесконечность, то работа сил поля равна , следовательно,потенциал численно равен отношению работы, которую совершают силы поля над положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность, к величине этого заряда. Потенциал измеряется в вольтах: .

1.1.11. Связь между напряженностью и потенциалом

Электрическое поле можно описывать либо с помощью векторной величины (силовая характеристика), либо с помощью скаляра(энергетическая характеристика). Сила связана, как известно, с потенциальной энергией:, где- оператор Набла,. Для заряженной частицы в электрическом поле:,, тогда,, тогда- связь напряженности и потенциала, то есть, или- проекция вектора на произвольное направлениеравна скорости убывания потенциалавдоль направления,или .

Так как градиент потенциала направлен в сторону его возрастания, а численная величина градиента является мерой быстроты этого возрастания, то можно сказать, что напряженность электрического поля есть мера быстроты спадания потенциала, или, просто, что она равна спаду потенциала.

Вернемся к определению работы поля: ,, отсюда циркуляция вектора на участке 1=2 равна . Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа не зависит от пути.

Для обхода по замкнутому контуру: и- пришли к теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

1.1.12. Уравнение пуассона и лапласа для потенциала

По теореме Гаусса . Подставим выражение, связывающее напряженность и потенциал, имеем: .

Согласно правилам векторного анализа,

Тогда - это дифференциальное уравнение называется уравнением Пуассона.

Для участков поля, где нет электрических зарядов , или.

Это частный вид уравнения Пуассона – уравнение Лапласа. Уравнение Пуассона дает возможность определить потенциал поля объемных зарядов, если известно расположение этих зарядов.