книги из ГПНТБ / Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений

Следовательно, вычислительная схема (VI.6) сводится к пере­ множению двух матриц: одна матрица — массив исходных данных —

(VI.7) и (VI.8) симметричны относительно осейх и у, а также диагона­ лей палетки, достаточно иметь х / 4 или 1 / 8 часть коэффициентов палетки.

Рассмотренный алгоритм задачи трансформации позволяет про­ водить вычисления Ѵг (z), Vz (z) — Vz (0) и роз. простираний. Аномалии, объединенные в зоны простираний аномалий, дают дополнительные сведения о геологическом строении региона. Быстро

их вычисления производятся следующие операции: 1) вычисление

ние числа градиентов по интервалам в процентах:

А * = ЧГь

2 Iw i і

2.ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ

ИВЫБОР ПАРАМЕТРОВ

Вобщем случае приближенное вычисление интеграла (VI.3) приводит к погрешностям, складывающимся из погрешностей исход­ ных данных, погрешностей за счет замены интеграла суммой, погреш­ ностей за счет вычисления интегралов (сумм) в ограниченных пре­ делах.

Если о — ередняя квадрэтическая ошибка исходной функции, то средняя квадратическая ошибка о"т функции, трансформирован­

где Сц определяется по (VI.7) и (VI.8) при расчетах Vz (z) и Ѵгг соответственно.

Корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов палетки и сумма коэффициентов палетки, характеризующие точность транс­ формаций, вычисляются в программе и выдаются на печать. Абсо-

лютная погрешность за счет ограниченных пределов интегрирования при расчетах Ѵг (z) равна

так как интеграл (VI.4) от ядра в бесконечных пределах равен еди­ нице.

При вычислении Ѵгг абсолютная погрешность

271-і 2П -1

6,А,мгл

Помимо этих оценок, были проведены расчеты на модельных полях Vz, создаваемых телом правильной формы. Проведенный анализ погрешностей полей силы тяжести от тел различной гео­ метрической формы, но равной массы и одинакового местоположения центров тяжести показал, что максимальные отличия в Ѵг наблюда­ ются над центром тела. Если проводить оценку ошибок трансформа­ ций по площади (среднеквадратические погрешности), то получае­ мые величины погрешностей не будут зависеть от геометрической

61

формы аыомалиеобразующнх объектов, а будут характеризовать лишь точность исследуемого алгоритма при расчетах полей от изо­ лированных масс.

Ошибки трансформаций исследовались иа точно заданных функ­ циях Ѵг (0), Vz (s) (ИХ значения рассчитывались по аналитической формуле на ЭВМ с точностью до ошибок округления), так и на функ­

рать оптимальные в смысле точности высоты пересчета в соответствии с густотой сети массива исходных данных, определяемой технической инструкцией, что соответствует шагу s = 1 см в масштабе исходной карты.

11 р и м с ч a h u е. Данные в колонках 1,2, 3 взяты из [А7].

Наряду с определением высоты пересчета, оптимальной в смысле точности, к выбору высоты пересчета и размеров палетки можно подойти и с точки зрения оптимальности целей трансформации, т. е. в зависимости от глубин аномальных масс, гравитационное влияние которых нужно ослабить при пересчете в верхнее полупро­ странство. В качестве критерия разделения полей получено соотно­ шение, аналогичное мере осреднения, которое принято в методе осреднения [92].

В методе осреднения за меру осреднения принимается отношение трансформированного поля к исходному и дается выражение этой меры как функции центров тяжести локальных масс и радиуса палетки. При пересчете на высоту мера осреднения е, которую по

62

существу можно назвать мерой уменьшения или мерой смешивания, выразится так:

при z =j= H

палетки R к глубине центра тяжести.

возможной точностью и единственным параметром пересчета, вли­ яющим на изменение региональных и остаточных аномалий, будет высота пересчета. Оценив по исходной карте глубины аномальных масс и задавшись е, по рис. 10 выбирается z. Если мы будем выбирать

картину выделения локальных аномалий, но одновременно возникнут и ложные аномалии, которые характерны для метода осреднения.

пропорциональны шагу s. Среднеквадратическая и абсолютная погрешности коэффициентов, рассчитанных по (VI.8), указаны в табл. 13.

Приводимые данные показывают, что вычислительные схемы (VI.6) и (VI.8) дают меньшее влияние случайных погрешностей,

63

точности трансформации, но одновременно возникает опасность, что

материалах съемок, рассмотренная схема дает удовлетворительную точность для задачи трансформации, результаты которой эффективно используются в основном для качественной интерпретации, под

TT,

Н,кп

Pue 11. Разрез трехмерной модели.

Элементом количественных расчетов может явиться исследование отношения максимальной амплитуды аномалии на высоте к макси­ муму аномалии исходного поля, что дает возможность оценить порядок глубин центров тяжести локальных аномалий. Для этого можно воспользоваться элементарно получаемыми теоретическими графиками отношений Ѵг (0, 0, z - j - Н)/Ѵг (О, О, H) для шара и бес­ конечного горизонтального цилиндра. Но поскольку расчеты проводятся по относительным амплитудам, величины которых существенно зависят от выбора нормального поля, глубины, полу­ чаемые по убыванию поля с высотой, отягощены ошибками за счет выбора нормального уровня и за счет меры смешивания. При пере­ счете сложных аномалий на различные высоты каждое элементарное поле, входящее в сложную аномалию, убывает с различной степенью, поэтому на каждой высоте в сложную аномалию будут входить поля от локальных масс с различной степенью смешивания.

Оценка погрешностей была сделана на трехмерной модели слож­ ной конфигурации для выяснения возможности определения глубин по трансформированным картам. Модель состояла из контактной

64

Pue. 12. Исследования возможности определения глубин по трансформированным картам на модели,

а — карта V' от модели; б — карта относительных по ­ грешностей остаточных аномалий; в — карта частного; цифры на кривых — Ag п мгл.

(Здесь следует подчеркнуть, что для изолированной массы погрешно­ сти массы — см. табл. 12.) Одновременно вычислялись относительные

и поле частного (мера смешивания) (рис.12, s). Карты погрешностей показывают, что над контактной поверхностью погрешности не сохра­ няются постоянными по площади, а изменяются и достигают мини­ мальных значений в центре локальной аномалии. Следовательно, расчеты глубин по трансформированным полям обычными методами (особенно интегральными, которые используют всю кривую) будутотягощены дополнительными, весьма существенными и переменными для разных тел погрешностями, которые могут достигать нескольких десятков процентов.

Степень изменения гравитационного поля с высотой характери­ зует карты частного Vz (z)/Vz (0). Построение последних целесооб­ разно для трассирования сбросов и разломов. Над уступом при отсут­ ствии регионального фона график частного имел бы максимальное

66

значение. Над линией сброса величина частного равнялась бы еди­ нице, а над опущенными и поднятыми крыльями она была бы меньше единицы и всюду положительной. При наличии фона переход част­ ного от -j-1 до + оо и от — оо до -(-1 будет находиться или над опущен­ ным или над поднятым крылом в зависимости от уровня фона. Карты

изолинии, а вытянутой узколокализованной зоне, ограниченной единичной изолинией. Если эта зона раздроблена, она может соот­ ветствовать многоступенчатому сбросу.

Г Л А В А V I I

УСТОЙЧИВОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ АНОМАЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ОБЛАСТЬ НИЖНЕГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА

Обширный класс задач математической физики, очень интерес­ ных п нужных для интерпретации, относится к некорректно поста­ вленным. Как известно, классическая постановка задач, корректных по Адамару, включает три пункта [43]. Первый из них требует до­ казательства существования решения, второй — единственности ре­ шения, в третьем — формулируется необходимость непрерывной зависимости решения от исходных данных. Это означает следующее:

риваемой, не имеет места непрерывная зависимость классического типа, сформулированная в третьем пункте классической коррект­

него полупространства имеет осциллирующий, пилообразный харак­ тер. При этом осцилляции, растут настолько быстро, что уже на глубинах, гораздо меньших, чем глубина до поверхности телат решение теряет физический смысл: результативная функция не имеет ничего общего с исходной и наблюдается эффект «распадения» поля.

погрешности резко возрастают по величине. Следовательно, даже

при малых погрешностях исходной функции ее приближенное реше­ ние на любых уровнях ниже поверхности наблюдений может значи­ тельно отличаться от точного. А. Н. Тихонов ввел понятие устой­ чивости при решении обратных задач и доказал классическую теорему устойчивости [98]. Неустойчивость решения задачи о продолжении была отмечена во многих работах, авторы которых, независимо от используемого математического аппарата, применяют различные способы сглаживания растущих погрешностей либо промежуточных, либо результативных функций. Ввиду важности для разведки за­ дачи о продолжении разработаны разнообразные вычислительные схемы, которые реализуют задачу о продолжении различным мате­ матическим аппаратом: конечно-разностные схемы, схемы, исполь­ зующие аппарат преобразований Фурье; схемы, построенные с по­ мощью рядов Фурье; схемы, использующие дробно-рациональные функции, и ряд других.

Но в общем случае ни специальным образом построенные коэф­ фициенты квадратур, ни разного вида формальное сглаживание не дают устойчивого решения. Некоторый эмпиризм, а главное отсут­ ствие четких критериев степени сглаживания, приводит к тому, что результативная функция^либо «переглаживается» т. е. наряду с по­ грешностями теряется полезная информация, уровень которой зача­ стую не слишком превосходит уровень погрешностей, либо «недо­ глаживается» — и в этом случае оказывается невозможным отделить полезный сигнал в результативной функции от оставшихся в ней погрешностей. Устойчивые результаты получаются лишь в вычисли­ тельных схемах В. Н. Страхова, реализованных для двухмерного слу­ чая [92, 95].

Кроме того, методы, использующие сглаживание исходных функ­ ций, и функций, полученных на уровнях нижнего полупространства, не имеют критериев того, что полученное сглаженное решение есть действительно решение задачи.

Еще в 1943 году А. Н. Тихонов ввел понятие устойчивости при решении обратных задач и доказал ставшую классической теорему устойчивости [98]. Он провел [90, 100] общий анализ решения некорректных задач и дал принципиально новую постановку этих задач. Разработанный А. Н. Тихоновым общий метод регуляриза­ ции позволяет получать устойчивое приближение к решению некор­ ректных задач и дает критерии, пользуясь которыми, можно найти указанное приближение с гарантированной точностью, соответству­ ющей точности входной информации.

Авторами, под влиянием идей Б. А. Андреева [3] и А. К. Маловичко [66], была разработана вычислительная схема, реализованная еще на машине «Стрела» [35]. В основе этой схемы лежало интеграль­ ное уравнение первого рода, решение которого искалось методом последовательных приближений. Но решение не было устойчивым, а при построении для данной схемы регуляризируюгцего алгоритма встретились тогда непреодолимые трудности. В то же время пред­ ставление решения задачи о продолжении в виде двойного ряда

68

Фурье оказалось более плодотворным с этой точки зрения. Для операторов

ния первой краевой задачи теории потенциала с помощью рядов

сов убывают при k, I -> оо как квадраты ряда синусов. Эти обстоя­ тельства позволяют искать решение задачи для потенциальных

между точками, получаем численное решение в виде следующей частной суммы:

Верхний предел суммирования (VII.6) ограничен областью зада­ ния функции (числом точек M, N).

69