книги из ГПНТБ / Автоматизированная система обработки и интерпретации результатов гравиметрических измерений

пределах и всегда можно выделить область выдачи результативной функции, в которой не сказывается погрешность за счет конечных пределов интегрирования.

Как показали расчеты на моделях с погрешностями, метод не очень чувствителен к погрешностям исходных данных: внесение

J — поверхность рельефа; 2 — плоскость относимости; з — график Ѵг (эс, z); 4 — график случайной погрешности при Д = 0,4 мгл; 5, 6 — графики погрешностей метода при s =

=0,2; 0,4 им.

случайных ошибок снижает точность метода пропорционально средней амплитуде этих ошибок.

На графиках, приведенных на рис. 4, видно, что уже при шаге s = 0,4 км на результативной функции сохраняются те мелкие особенности, которые вносятся в исходную функцию случайной погрешностью. Следовательно, очень ценно, что рассматриваемый метод при редуцировании не искажает общего характера гравита­ ционного поля и сохраняет даже мелкие аномалии, если они рас­ полагаются близко к плоскости относимости.

41

3. ОБ АЛГОРИТМЕ, РЕАЛИЗУЮЩЕМ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАЛЕТКИ В ЗАДАЧАХ ГРАВИРАЗВЕДКИ

Возвратимся к вопросу о вычислении интеграла (IV.7) с требу­ емой точностью при минимизации времени счета. В более общем виде интеграл (IV. 7) записывается как

дится по тем или иным формулам. Внутри As заданная дискретная функция обычно аппроксимируется некоторой аналитической функ­ цией, приближенной к исходной в среднеквадратической метрике. В существующих вычислительных схемах, основанных на вычисле­ нии интеграла вида (IV.20), разбиение поверхности интегрирова­ ния S на отдельные элементы As производится только один раз. При этом либо размеры As постоянные, а размеры области интегри­ рования S переменные; либо размеры As с удалением от точки счета увеличиваются и жестко закреплены, а размеры области интегри­ рования постоянны.

В первом случае жестко закрепленные узлы палетки не позволяют при изменении параметров исходных данных изменять As, чтобы достигнуть необходимую точность. Во втором случае в удаленных от точки счета частях области интегрирования вычисления прово­ дятся с неоправданной точностью, приводящей к излишне боль­ шим затратам машинного времени. В обоих случаях размеры As

42

не зависят от погрешности исходной функции F и вида подынтеграль­ ной функции.

В гравиразведке подынтегральная функция F получена в ре­ зультате измерений и отягощена погрешностями (всегда е > 0 ) . Она так же, как и поверхность S, задана не аналитически, а в узлах, вообще говоря, неравномерной сетки. Поэтому вычисление интеграла вида (ГѴ.20), когда ядро убывает как 1//-", требует неравномерного и динамического распределения узлов сетки. При этом параметры численного интегрирования должны определяться заданной точностью вычислений, видом и погрешностью подынтегральной функции.

Построим такой автоматический алгоритм, который на основа­

ных условий элементарные квадратики образуют составные прямо­ угольники A s > A s m i n , по которым и проводится интегрирование

43

в виде разрядов ячеек, составляющих логическую шкалу. Число разрядов (к) единой ячейки логической шкалы соответствует числу

логической шкалы по строке можно использовать следующую ячейку

по строке, происходит переход к следующей по строке шкалы, что

ренцирование V (х, у) и z (х, у) по профилю. По значениям коэффи­ циентов при старших членах полиномов вычисляется зависимость

динамическое разбинение площади интегрирования при сохранении заданной точности численного интегрирования. При этом достигается

45

и с 484 до 124 As. С увеличением размеров s эффективность алгоритма возрастает [65].

Г Л А В А V

ЗАДАЧИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

В гл. I было отмечено, что основным результатом процесса обра­ ботки является функция U (п, Сп), т. е. значения И З О Л И Н И Й И их координаты. Функция U (п, Сп) изображается в виде карты изо­ линий аномальных значений силы тяжести в определенной редукции.

Можно представить два пути получения U (п, Сп). Первый состоит в том, чтобы работали два оператора:

ная во всех последующих задачах: различного вида трансформа­ циях функции U (s, s) и решении обратных задач. В этом случае существенно упрощаются алгоритм u организация программ решения этих задач.

Второй путь состоит в том, чтобы непосредственно по значениям

при этом алгоритмические трудности, авторы считают первый путь

дусмотрено вычисление и выдача результативных функций в узлах как регулярной, так и исходной сети.) Если в процессе обработки задача редуцирования не используется, то действует оператор Аа. Метод и алгоритм задачи интерполяции, помимо восстановления функции в узлах квадратной сети, позволяют вычислять горизон­ тальные производные и векторы исходной функции и проводить осреднение заданной функции.

1.МЕТОД ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ФУНКЦИИ

Метод параболической интерполяции функции позволяет по значениям функции, заданным в узлах неравномерной сети, получить значения функции на равномерной сетке. Метод применим для гладких функций, заданных дискретно.

46

Известно, что при одной и той же точности исходных данных рисунок карты у разных исполнителей бывает разный. Это обычно свя­ зано с тем, что при плановом изображении изолиний авторы интуи­ тивно и индивидуально сглаживают исходные значения и каждая карта имеет некоторый субъективный характер. Алгоритм задачи интерполяции предусматривает введение некоторых вполне определеннных параметров, которые зависят от точности исходной функции. Поэтому алгоритм позволяет при определенно выбранных пара­ метрах получать результат с определенной точностью, т. е. он вно­ сит «субъективность» в смысле принятых параметров.

Будем считать, что на небольшой области изменения Іх, у] функ­ ция U (х, у) может быть достаточно хорошо приближена параболой

начало условных координат в точку В и рассмотрим некоторую окрестность точки В с радиусом R. В этой окрестности расположены точки Ak (xk, yk) (рис. 6). В связи с тем, что исходная функция отягощена случайными погрешностями, будем использовать метод наименьших квадратов:

S Pk[Uk(x, y)-F£>(x, у)]* = тш; (Ѵ.З)

47

ветственно их горизонтальными производными. В (Ѵ.З) суммиро­ вание ведется по всем точкам Ak, лежащим в окрестности радиуса R вокруг точки В (см. рис. 6).

Дифференцируя выражения (Ѵ.З) по неизвестными, Ь, с, d, е, / и приравнивая нулю частные производные, получим систему уравне­

Решая систему (Ѵ.5) одним из известных методов, например методом исключения Гаусса по стандартной подпрограмме, найдем искомые коэффициенты. Задав шаг s между точками счета и каждый раз помещая начало координат в точку счета (центр окрестности радиуса R), получим систему элементарных перекрывающихся параболоидов, аппроксимирующих значения U (х, у) во всей области

еезадания.

Ввыражении (Ѵ.З) через Рк обозначена некоторая весовая функция. Как известно, за вес можно принять функцию, обратно пропорциональную квадрату среднеквадратических погрешностей каждой точки [109]. При гравиметрических наблюдениях значения

аномалий силы тяжести равноточны (кроме' опорных значений) и вес такого вида не формализует рассматриваемую задачу. Расчеты

48

авторов показали, что более предпочтительна введенная Лапортом [119] весовая функция вида

где R — радиус окрестности элементарного параболоида; dk— рас­ стояние от точки В (0,0) до точек Ak (xk, yk); л , ѵ — некоторые коэффициенты.

2. АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ ПЛОЩАДНЫХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ

Как уже отмечалось, в процессе геофизических съемок изме­ рения различных составляющих какого-либо физического поля проводятся в точках, расположенных по системе профиль—пикет. Поэтому измененные величины не упорядочены по координатам (х, у) пунктов наблюдений: исходные данные представляют собой неупорядоченный по координатам и очень большой массив значений Aga . (При построении карт вручную упорядочивание наблюдении состоит в нанесении пунктов по их координатам на план).

Для обработки площадных наблюдений на ЭВМ необходимо, чтобы исходный числовой материал был представлен и вводился в память машины какими-либо ограниченными массивами (матрицами по­ рядка т), включающими наблюдения на определенном замкнутом участке. Размеры элементарной матрицы определяются объемом оперативной памяти данного класса машіш. Следовательно, алгоритм обработки площадных геофизических наблюдений должен произ­

порядка 2R должна выбираться в соответствии с текущими коорди­ натами рассчитываемой точки.

4. Изменять размеры элементарной матрицы порядка 2R в зави­

Ввиду того, что построенный алгоритм обработки площадных съемок участвует во многих задачах обработки, т. е. обладает неко­ торой общностью, рассмотрим его более подробно.