книги из ГПНТБ / Цифровые многозначные элементы и структуры учеб. пособие

Для большинства описанных ранее многоустойчивых элементов характерно наличие интегрирующего звена, необходимого для пре­ образования некоторого динамического параметра в напряжение, которое является статическим признаком устойчивых состояний. Ин­ тегрирующее звено значительно ограничивает быстродействие элементов и усложняет их схемы. В отличие от таких элементов, фазо-импульсные элементы можно построить без интегрирующего звена, а следователь­

фициент деления. При использовании опорной последовательности им­ пульсов той же частоты, что и частота импульсов с выхода делителя, состояния такого элемента будут различаться фазовым сдвигом его выходных импульсов относительно импульсов опорной последователь­ ности, а их количество будет равно коэффициенту деления.

Блок-схема фазо-импульсного элемента, работающего по изложен­ ному принципу, изображена на рис. 30 [25]. Здесь делитель частоты

врат напряжения на на­ копителе Я к начальному значению. Число устойчивых состояний та­

кого фазо-импульсного элемента определяется параметрами импульсов ТИ, напряжением Uon и свойствами емкостного накопителя.

Принципиальная схема фазо-импульсного элемента, построенного

всоответствии с описанной блок-схемой, представлена на рис. 31

[25].Тактовые импульсы отрицательной полярности поступают на базу транзистора Т1, который, если нет импульсов ТИ, закрыт поло­ жительным смещением на базу. Импульсы ТИ открывают транзистор Т1 до насыщения, вследствие чего на сопротивлении R6 появляется

30

положительный импульс U, амплитуда которого равна значению Ек. Импульс U через конденсатор С1 открывает диод Д1. Время заряда кон­ денсатора С1 определяется постоянной времени цепи заряда и не за­ висит от длительности импульса U. Таким образом, цепочка С1Д1 стабилизирует длительность импульсов, поступающих на накопитель. По окончании действия импульса U конденсатор С1 заряжается так, что диод Д1 закрывается, а диод Д2 открывается, вследствие этого CI разряжается на накопительную емкость С2. По мере поступления так­ товых импульсов напряжение на емкости С2 нарастает по ступен­ чатой кривой причем высота i-и

ступени

связи. Когда напряжение на конденсаторе С2 достигает значения f/on, диод ДЗ открывается, тем самым замыкая цепь обратной связи блокинггенератора. Разряд конденсатора С2 производится положительным импульсом, который индуктируется в обмотке L1, когда срабатывает блокинг-генератор. При этом благодаря фиксирующему действию дио­ дов Д1 и Д2 напряжение на конденсаторе С2 ограничивается нулевым уровнем. Выходные импульсы снимаются с коллектора транзистора Т2 или с обмотки L3 трансформатора.

Отметим, что из всего многообразия типов многоустойчивых эле­ ментов самое широкое распространение в цифровой технике получили именно фазо-импульсные элементы [22, 231. Разработано и реализова­ но довольно много различных схем таких элементов [25, 26]. Созданы фазо-импульсные элементы, не содержащие индуктивностей. Это упрощает реализацию таких элементов методами интегральной техноло­ гии. Схема одного из вариантов фазо-импульсного элемента такого ти­ па изображена на рис. 32. Элемент выполнен на базе синхронизирован­ ного емкостного релаксационного генератора. Конденсатор С1 заря­ жается от источника напряжения Е1 с постоянной времени RxCx. Зарядный ток протекает через переход база — эмиттер транзистора Т1У поддерживая его открытым. Когда напряжение на конденсаторе С1 достигнет уровня Uon, диод Д / открывается, а транзистор 77 закрыва­ ется вследствие прекращения тока заряда. Поэтому очередной тактовый

31

импульс ТИ, проходящий по цепи R2, R3 будет открывать тран­ зистор Т2. При этом конденсатор С1 разряжается через диоды Д2, ДЗ и транзистор Т2. Постоянная времени цепи заряда определяется сопротивлениями диодов в проводящем направлении и сопротивлением открытого транзистора, поэтому разряд конденсатора происходит практически мгновенно. После окончания действия тактового импуль­ са транзистор Т2 закрывается и вновь начинается заряд конденсатора С1. Число устойчивых состояний такого элемента определяется на­ пряжениями Е1 и Uоп, а также постоянной времени /^Cj. Установка

Рис. 33. Временная диаграмма работы фазо-импульсного элемента с пятью устойчивыми состояниями.

элемента в требуемое состояние производится импульсом сброса, по­ даваемым на базу транзистора Т2. На рис. 33 представлена временная диаграмма, поясняющая работу такого элемента с пятью устойчивыми состояниями (Uc — напряжение на конденсаторе С1).

Как уже указывалось выше, в основу работы фазо-импульсных элементов положено явление деления частоты следования импульсов. Это дает возможность использовать в качестве фазо-импульсных эле­ ментов делители частоты различной физической природы. Так, на­ пример, для создания фазо-импульсных элементов может быть исполь­ зовано явление дискретного приращения магнитного потока в фер­ ритовом сердечнике с прямоугольной петлей гистерезиса или явле­ ние остаточной поляризации в сегнетоэлектриках [24]. Особый ин­ терес представляют делители частоты на двоичных триггерах, так как их можно легко реализовать методами интегральной технологии. Та­ кие триггерные декады с фазо-импульсным представлением информа­ ции уже разработаны на основе серийно выпускаемых промышленно­ стью интегральных схем [27].

§ 1.7. Элементы с пространственным и амплитудно-импульсным принципами представления информации

При пространственном принципе представления информации каж­ дое из k значений элементарного сигнала передается по отдельной шине. Поэтому элемент, предназначенный для запоминания таких сиг­ налов, должен иметь k выходов, из которых только один может быть

32

возбужденным в произвольный момент времени. Такие элементы легко реализуемы на обычных двоичных элементах. Примерами могут слу­ жить потенциальные счетчики-дешифраторы и кольцевые схемы на дво­ ичных триггерах [5]. Более экономичны кольцевые схемы с потенци­ альными связями, у которых количество ламп или транзисторов вдвое меньше по сравнению с триггерными кольцевыми схемами. На рис. 34 изображена схема элемента с пространственным представлением ин­ формации при k = 4. Элемент построен на двоичных логических эле­ ментах типа ИЛИ—НЕ [51. Здесь выход каждого элемента ИЛИ—НЕ соединен со входами остальных элементов и одновременно являет­ ся одной из k выходных шин.

В качестве элементов с простран­ ственным представлением информа­ ции могут также использоваться электронные и газоразрядные при­ боры: декатроны, трохотроны и др.

Следует отметить, что элементы с пространственным принципом представления информации весьма перспективны для построения мно­ гозначных структур, поскольку их можно легко реализовать метода­ ми интегральной технологии. Кроме того, пространственный принцип представления информации позволяет достичь быстродействия много­ значных структур близкого к максимально возможному, определяе­ мому временем переключения активных элементов, в то время как, например, при фазо-импульсном принципе представления информации

симально возможного.

Многоустойчивые элементы с амплитудно-импульсным принципом представления информации получили распространение, в основном, как троичные элементы. Реализация таких элементов возможна как на основе двухполюсников и четырехполюсников с нелинейными

Г Л А В А 2

МНОГОЗНАЧНЫЕ ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

§2.1. Основные определения и понятия.

Функциональная полнота систем многозначных переклю чательны х функций

умножения по модулю 10 являются 10-значными переключательными функциями. Множество всех 6-значных функций обозначим через Рк.

Подобно двузначным функциям, многозначные переключательные функции (в дальнейшем — просто многозначные) задаются таблицами истинности, причем значений истинности может быть 6, если функ­ ция 6-значная. Например, функция сложения чисел хх и х2 по mod 3 может быть задана табл. 1. Другим примером задания сразу двух мно­ гозначных функций является таблица умножения, которая отпечатана на последней странице обложки школьных тетрадей. Это таблица ис­ тинности функции умножения по mod 10 (правая цифра произведения) и функции переноса в старший разряд (левая цифра произведения). Однако во многих случаях удобнее пользоваться квадратными табли­ цами. В них цифры соответствуют значениям функции при тех значе­ ниях аргументов, которыми обозначены строки и столбцы таблицы. Например, такой таблицей истинности функции сложения по mod 6 чисел хх, х.2 и х3при 6 — 3 является табл. 2.

Назовем набором а = (ах, а 2, ..., а„) совокупность фиксированных значений аргументов xi — а с, записанную в определенном порядке. Многозначную функцию можно задать, определив ее значения на всех

наборах а. Но иногда функция на некоторых своих наборах может при­ нимать произвольные значения из Ек, то есть на этих наборах ее зна­ чение не определено. Такие функции называются неполностью опреде­ ленными.

Число различных наборов а, очевидно, равно числу п размещений с повторениями из элементов 6 видов, то есть kn. Отсюда получаем чис­ ло 6-значных функций как число ^"-размещений с повторениями из

35

п < 10 число kk” может быть столь большим, что его нельзя будет сравнить с численными характеристиками окружающего нас мира.

Многозначную функцию / (х) называют существенно зависящей от аргумента xt, если для нее характерны такие два набора:

каждая из которых зависит не более чем от п аргументов. Суперпозицией функций системы (2.1) называют функцию, полу­

ченную из функций (2.1) заменой аргументов или подстановкой в нее новых функций вместо аргументов. При этом замена аргументов и

36

подстановка новых функций может быть многократной. Например, функция

(к —■1) — [{х х г (mod к) -f у (mod k)] x t (mod k)

является суперпозицией функций (к — 1) — x, x + у (mod к) и x X X у (mod k).

Класс M функций из множества Fk называют функционально замк­ нутым, если к этому классу принадлежит не только некоторая система функций (2.1), но и любая суперпозиция этих функций.

Важнейшее понятие теории переключательных функций— это по­ нятие функциональной полноты.

Система переключательных функций из замкнутого класса М называется функционально полной (или просто полной) в классе М,

одной из функций, входящих в ее состав, приводит к потере полноты этой системы. В современной об­

ласти технических приложений теории переключательных функций важную роль играют избыточные полные системы (иногда называе­ мые избыточными базисами), для которых исключение из их состава одной или нескольких функций не приводит к потере полноты этой системы во множестве Рк.

Как известно [28], при к = 2 необходимым и достаточным усло­ вием полноты системы переключательных функций является непри­ надлежность ее целиком ни к одному из пяти замкнутых классов двузначных функций. Однако для многозначных переключательных функций, исключая частные случаи к = 3, к = 4, не удается конкрет­ но построить указанную систему замкнутых классов.

А. В. Кузнецов доказал следующую теорему о функциональной пол­ ноте систем многозначных функций [28].

Теорема. Можно построить систему замкнутых классов М ъ М 2, ...

..., Als, каждый из которых целиком не содержит ни одного из осталь­

37

128] выполнил такое построение лишь для k = 3. Поэтому теорема Кузнецова не является практическим руководством при определении полноты систем многозначных функций.

Более эффективный критерий полноты для широкого класса систем многозначных функций формулируется в виде следующей теоремы

1281.

Теорема. Для того чтобы система функций из множества Р к, {к > 3), содержащая все функции одного переменного, не прини­ мающие хотя бы одно значение из множества Е к, была полна, необхо-

димо и достаточно, чтобы она содержала функцию f (х) £ Рк, которая существенно зависит более чем от одного аргумента и принимает к значений. В некоторых случаях удобнее пользоваться теоремой, яв­ ляющейся следствием предыдущей (теорема Слупецкого).

Теорема. Система, которая содержит все функции одного перемен­

ного из множества Р к и функцию / (х) £ Рк, существенно завися­ щую более от одного переменного и принимающую к значений, полна.

С ростом к число kk функций одного переменного быстро увеличи­ вается, что затрудняет практическое использование приведенных тео­ рем. Поэтому целесообразнее строить такие системы функций одного переменного, на основе каждой из которых можно формировать все функции одного переменного. Например, все функции из множества Р к при п — 1 можно сформировать на основе функций [281

функций тесно связаны с понятием предполного класса. Класс функ­ ций N, принадлежащий замкнутому классу М из множества Рк, на­ зывается предполным в классе М, если класс N представляет непол­ ную в классе М систему. Однако присоединение к этой системе любой

функции f £ М и f £ N обращает N в полную систему в классе М. Каждый замкнутый во множестве Рк класс М, М Ф Рк можно рас­ ширить до предполного во множестве Рк класса, причем число таких предполных классов конечно. Необходимое и достаточное условие пол­ ноты системы функций из множества Рк можно сформулировать в сле­ дующем виде [28].

38

Теорема. Для того чтобы система функций из множества Рк была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из предполных во множестве Pk классов.

Представляет интерес проблема функциональной полноты систем, состоящих только из одной функции. По аналогии с двузначными функциями такие функции называют функциями Шеффера. Но в отли­ чие от случая k = 2, когда существует всего две функции Шеффера, число многозначных функций Шеффера очень быстро растет по мере увеличения k. Например, при k = 3 насчитывается 3774 таких функ­ ций [17]. В связи с этим важно определить те свойства функций, ко­ торыми они должны обладать, чтобы быть функциями Шеффера. Можно показать, что многозначная функция будет функцией Шеффера тогда и только тогда, когда на базе этой функции можно сформиро­ вать все функции одного переменного.

Важное значение для теории многозначных функций и ее практи­ ческих приложений имеет проблема оценки числа полных систем во множестве Р к. Число различных базисов во множестве Рк бесконечно. Базис называется простым, если при любом отождествлении аргумен­ тов функций, образующих этот базис, получающаяся система функций не является базисом. Число простых базисов при k >■ 3 не превосхо­

по проблемам функциональной полноты систем многозначных функций касались, главным образом, изучения свойств предполных классов, полноты систем неполностью определенных функций, построения не­ которых достаточных критериев полноты и др.

Из-за отсутствия практически применимого критерия полноты для общего случая представляют интерес так называемые ослабленные критерии полноты. Их получают при некоторых допущениях, следу­ ющих из специфики решаемых задач. Одним из таких допущений, на­ пример, может быть включение в состав исследуемых систем опреде­ ленных функций одного переменного, поскольку технически реализо­ вать такие функции обычно проще, чем функции, зависящие от боль­ шего числа аргументов.

Функционирование комбинационных схем с многозначным струк­ турным алфавитом можно описать некоторой системой многозначных

где i — 1,2, ..., т\ т и п — соответственно число выходных и входных полюсов комбинационной схемы; xt £ Ек.

Для построения комбинационной схемы необходим функциональ­ но полный набор многозначных логических элементов, то есть на­ бор элементов, реализующих полную систему функций. При этом

39