книги из ГПНТБ / Ольвовская М.Б. Основы механики и строения вещества учеб. пособие

V

W - І Ъ Ш ~

Рекомендовано к изданию

методической комиссией

I

механического факультета

І 6 Д І - 7 І г .

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

<*

I . Погрешности измерений

В естествознании очень редко приходитоя иметь дело о точными числами. Полученные из опыта величины неизбежно яв­ ляются приближенными, так как они содержат систематические и случайные погрешности (ошибки), обусловленные самыми раз­ нообразными причинами. Систематические ошибки обусловливают­ ся причинами, действующими вполне определенным образом, и могут быть всегда устранены или достаточно точно учтены (на­ пример, ошибки, вносимые неправильно проградуированными при­

борами или внешними условиями опыта и т .д .) . Случайные ошиб- £И вызываются, как правило, весьма большим числом причин, действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Исключить совершенно эти ошибки невозможно; учесть же их можно только в среднем, для чего необходимо знать законы, которым подчиняются случайные ошибки. Для построения теории ошибок применяется аппарат теории вероятностей.

Случайные ошибки изменяют результат по сравнению с дей­ ствительным значением измеряемой величины как в сторону умень­ шения, так и в сторону увеличения. При многократном повторе­ нии одного и того же измерения сумма отклонений в одну оторону близка к сумме отклонений в другую оторону, ибо вероятность

л at C L; - & .

Среднее арифметическое из абсолютных величин ошибок от­ дельных измерений называется средней абсолютной ошибкой (погреш­

l , L

* 0,01 (см).

Отсюда выясняется, с какой точностью определена величи­ на £. , то еоть сколько десятичных знаков можно писать в ре­ зультате; в найденном среднем арифметическом уже второй знак поолѳ запятой оказался сомнительным.

Записывая результат вычислений, нужно всегда кончать тем знаком, с которого начинается средняя абсолютная погрешность;

•все следующие знаки отбрасываются. Если при этом первая от­ брасываемая цифра больше 5 , то последняя сохраняемая цифра при округлении увеличивается на единицу. (Погрешность округ­ ляется всегда в сторону увеличения).

* В рассматриваемом примере правильная запись результата имеет следующий вид:

£* (3,13 + 0,01) ом .

Здесь цифры 5 м I - совершенно достоверные, а последняя цифра 3 - сомнительная. Истинное значение измеренной длины

относительная погрешность результата

1 - 0 , 2 * .

■£ 5,13

Таким образом, в приближенных числах все цифры, за ис­ ключением последней, должны быть верными^ Возможные изменения последнего знака приближенных чисел определяются их абсолют­ ными погрешностями, которые должны указываться.

В некоторых случаях абсолютная погрешность результата может быть определена без многократных измерений, на основа­ нии точности используемого прибора. Точность прибора в первом приближении определяется его чувствительностью, т .е . ценой наименьшего деления шкалы. При однократном измерении считают абсолютную погрешность практически равной половине цены мини­ мального деления шкалы. * s

Приближенные значения физических постоянных, например, плотностей тел, коэффициентов расширения и т .д ., в большин­ стве случаев округляются.

Когда приближенные числа берутся с округлением, все знаки, включая последний, являются верными. При этом абсо­ лютная ошибка не может быть больше половины единицы послед­ него десятичного знака округленного числа..

2 . Погрешности функции приближенных аргументов

Не всегда можно измерить искомую величину, как это де­ лается, например, при измерении длины. В большинстве случаев непосредственно измеряются величины, связанные с искомой из­ вестными закономерностями, а затем на основании этих законо­ мерностей вычисляется иокомая величина.,Например, для опре­ деления плотности вещеотва измеряются масса и объем тела, и затем выполняется операция над приближенными числами (деле­ ние).

Погрешности результатов основных арифметических действий

Результат дѳйотвий над приближенными числами представ­ ляет собой также приближенное число. Пусть известны абсолют­ ные или относительные погрешности чисел, над которыми произ­ ведены операции сдо--еп;:л, вычитания, умножении, деления. Требуется выразить погрешность результата через погрешности

первоначальных даиапх, 6

абсолютных погрешностей слагаемых. Такой результат получается

долями. Однако считать надо и тысячные доли, которые после выполнения действий отбрасываются;

£= (23,89 + 0,005) м

Очевидно, при умножении нет смысла брать сомножители о разны­ ми чиолами десятичных знаков. Если, например, в одном оомножителѳ 8 верных знака, в другом 5 , то произведение имеет по­ грешность, соответствующую 3-н верным знакам.

Относительная погрешность произведения равна:

Следовательно, относительная погрешность произведения равна