книги из ГПНТБ / Ольвовская М.Б. Основы механики и строения вещества учеб. пособие
.pdfИ так ,-относительная погрешность степени равна относитель ной погрешности., основе.ния, умноденной на показатель степени.
Абсолютная погрешность степени
|
а с е |
- |
п . |
О— а , |
-=/z. |
|
|
|
|
|
CL |
|
|
|
|
||||
Ч а с т н о е сс. . |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
Дано:& |
и |
S> |
é |
|
с погрешностями |
д С С |
и |
с £ |
|
Величины |
с с *измерены. |
|
|
||||||
|
|
|
|
а се |
с г ± л а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ё * é é ’
Погрешность результата а се имеет максимальное значение, когда ошибки в измерении числителя и знаменателя имеют разные знаки. Наиболее неблагоприятный случай:
~_ cz t a cl
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
Умножая числитель и знаменатель на сопряженный множитель |
||||||||||||||||
( |
|
t й é |
) . имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(ct± ,a t z ) ( é |
:£ А é ) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
сс С |
асе |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая |
членами |
(а |
|
Со е у - |
как малыми 2-го поряд |
|||||||||||
|
|
|
& & & £ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||||||||||
ка, .получаем |
с с * |
а се |
==- |
■- |
* |
* с |
с^ |
|
- |
|
|
|
||||||
|
|
Из |
сравнения |
с выражением |
|
|
а |
|
следует: |
|||||||||
|
|
|
|
|
сс - |
|
|
i * |
|
|
|
é |
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
а |
сс |
|
é~ |
|
;ЛЙé |
= |
5,36; |
|
|
* 0,7А 8. |
|||||||
5. |
Пусть |
|
|
=»• |
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, |
д й = |
0,5.10“^ ; |
|
= |
0 ,5 .І0 -3 ; |
для упрощен |
||||||||||||
ного |
расчета |
берем |
6 вместо |
CL3 |
0,8 |
вместо |
£ |
, |
0,5 вместо |
|||||||||
(в |
знаменателе). |
|
|
|
|
|
|
6 .0 ,5 .К Г 3 » |
0 ,8 .0 ,5 .1 0 "^ |
|||||||||
|
|
|
ЛСС |
C L b i+ ё л О . |
|
|||||||||||||
« |
І,А . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
||||
|
|
Для упрощения оценки увеличим погрешность, принимая |
||||||||||||||||
А СС |
к |
10-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
СС. « 7,16 + 0,02
I
Исходя из выражений цпя а іС_,
относительная погрешность чаотного равна:
# а Й . + А £
^л é
Следовательно, относительная погрешность частного равна оуицр относительных погрешностей числителя и знаменателя.
Пользуясь рассмотренными» теоремами, можно определить погрешность результата Любой комбинации арифметических дейст вий над приближенными числами.
Еоди искомая величина выражается через произведение или чаотное ряда непосредственно измеряемых величин, то вначале рледует вычислить относительную погрешность результата, а. р.г-~ тем js e его абсолютную погрешность.
Если искомая величина выражается через оумму или раз ность £яда_ измеряемых величин, следует сразу_ найти абсолют ною погрешность результата.
П р и м е р |
|
6 . |
|
—O ip L |
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти |
л^С |
при известных |
С |
в |
а |
^ |
л С . |
|
|
||||||
Опредодяем |
относительную погрешность |
|
|
|
|||||||||||
Абсолютнаяü |
cпогрешностьc - é e f - |
|
результата- |
. о А £ |
|
|
|||||||||
в р и и ѳ р |
|
? . |
|
|
|
е й , |
|
|
|
а г) |
|
|
|||
|
£ |
- а |
- |
О. |
|
|
|
+> |
|
|
|||||
|
|
А |
srz. |
|
|
/гг. |
|||||||||
|
|
|
|
|
е ё л е (2 е 2 |
|
|||||||||
Найти |
а Л |
при |
известных |
|
|
|
j} |
____ |
|
|
|
||||
|
|
|
*2-, |
|
|
гі |
|
||||||||
|
/и* |
г |
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||
Для |
определения |
|
вначале |
найдем |
л 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
± £ |
ЛеС. . |
e d . |
esst |
|
|
|
|||||
отсюда |
|
|
|
|
+ “ о - |
|
* |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
£ |
|
1 2 |
* |
s/t~ |
/Si) |
|
|
|||||
10 |
|
|
~7п |
■ '* f |
|
|
t- |
|
t 4/П у . |
|
|
||||
Абоолютная погрешность результата
Погрешнооть функции одного |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
независимого |
аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим непрерывную дифференцируемую функцию одного |
||||||||||||
аргумента |
j ( a ) |
. |
Еоли величина |
&. |
измерена о абсолют |
|||||||
|
О, |
|
||||||||||
ной погрешностью л |
|
, |
то искомая величина |
сс |
определится |
|||||||
приближенно о погрешностью |
а Л. |
V |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
лес. |
|
=» |
J |
( & * а |
g l ) |
|
|
|
|
|
Правая часть равенства может быть разложена в ряд Тэйлора |
||||||||||||
Считая |
|
малой величиной и полагая, что членами вто |
||||||||||
рого и высших порядков |
|
ее можно пренебречь, |
получим |
|||||||||
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а л ^ l f ' C a j j a a
Следовательно, абсолютная погрешность функции равна абсолютному значению первой производной этой функции, умно женному на абсолютную погрешность аргумента.
П р и м е р |
8 . |
Определить |
а |
( ^ 3 5 ° ) , |
воли угол дан |
о точ |
||||
ностью до 0 ,5 ° « |
0,0087 |
рад |
|
|
|
|
|
|||
По таблице |
ty 35° |
«• 0 ,7 0 0 . Поэтому неизвестное действи |
||||||||
тельное значение искомой функции заключено между |
• |
|||||||||
0,700 - 0,013 - 0,687 И |
.0,700 |
+ 0,013 |
» |
0,713 |
||||||
Проверим это, определив тангенсы крайних значений аргу-4 |
||||||||||
мента: |
СуЗИ, |
,5°. |
* |
0,687} |
. |
Ту, |
п |
« 0,713 |
|
|
|
|
|
|
3 5 ,5 ° |
|
|||||
Эти границы |
являются точными; границы, установленные о помо- |
|
иью формулы |
А Л ^ и ' Ы ) 1 б а С ; |
' |
совпали С ТОЧНЫМИ, |
тт |
|
{
Погрешность |
функции |
нескольких |
аргументов |
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим’ непрерывную дифференцируемую функцию двух |
||||||||||||
аргументов |
сс. =*J - ( & * é ) |
. |
Если величины ег |
|
и |
é |
измере |
|||||
ны с абсолютными погрешясстнми |
соответственное й |
и & |
£ , то |
|||||||||
искомая величина |
определится |
приближенно |
с |
абсолютной |
||||||||
погрешностьюх .± . â^c: |
=> |
|
a |
J é d z c é )». |
|
|
|
|
||||
Пусть |
|
|
|
л cl |
и |
& é |
- |
малые |
числа, |
|||
абсолютные погрешности |
|
|
||||||||||
квадратами и более высокими степенями которых можно пренеб речь, Разложим правую часть последнего равенства в ряд Тэй лора и оборвем разложение на первых степенях:
é±.
Следовательно, погрешность результата: |
|
|
>Ж1 а CL |
ШзАL js |
|
Ъсс |
3 é |
6 |
Эта формула обобщается на любое число аргументов. (Диф ференцируя функцию по одному из аргументов, необходимо ос тальные аргументы считать постоянными).
При сложных вычислениях рекомендуется определять погреш ности на промежуточных стадиях расчета и в дальнейшем упрощать выкладки, отбрасывая лишние знаки.
Определив расчетным путем погрешность результата, следу ет правильно записать результат, отбросив все лишние знаки. выходящие за пределы точности вычислений .
П р и м е р 9 . Рассмотрим погрешность при измерении ускоре ния свободного падения посредством математического маятника;
|
9 |
л & £ - |
|
где |
|
у»д |
|
- ускорение |
свосіоанпѵч; падения, ом /сек*; |
||
€- длина кагітника, ом; 7’ - период колебаний, сек.
Наблюдения дали йледум-ііш злач-ш ш и .'чнф ятпг величин
и их абсолютных ішгрешні: ,дщ.
■ £ |
* |
50,02 |
см, |
а £ |
«= 0,01 ом, |
|
|
' г Т |
|||||
Т «= |
0,7098 |
сек , |
|
= |
0,0001 сек |
|
|
|
|||||
Следует взять = 3,1416, т .е . iS T * 0,00005.
Абоолютная погрешность рассматриваемой функции:
Для упрощения примем параметры, заключенные в скобки
равными: Т |
<* |
I , zf = |
|
50, Я" = 4 , |
2 ІГ = |
7; множитель перед |
окобкой грубо положим |
равным 40. |
Тогда |
|
|||
* 40 |
(4 .1 .0 ,0 1 |
+ |
2 .50.1.0,00005 + 7 .5 0 .0 ,0 0 0 1 )^ 3 ом/сек2 |
|||
Погрешность здеоь явно преувеличена, зато результат по лучен относительно быстро.
При сложных методах измерений, когда определение иско мой величины требует измерения нескольких других величин, точ ность результата измерений или точность метода зависит от точ ности отдельных измерений, выполняемых при его применении. Различные физические измерения могут быть выполнены о различ ной степенью точности. Так, например, взвешивание тел принад
лежит к числу |
очень |
точных физических измерений: взвешивая |
на |
||||
аналитических |
весах |
тело весом до |
200 |
г , нетрудно получить |
|
||
точность до |
+ 0 ,1 мГ, |
т .е . произвести |
измерение о точностью |
|
|||
до 0,00005)6 |
измеряемой |
величины. |
При других же измерениях |
|
|||
получить такую точность не удается. К числу таких мало точных измерений относятся, например, измерения температуры: точнооть даже очень хороших термометров в области средних температур не превышает 0 ,0 І ° С . Таким образом, если наблюдаемое изменение температуры, составляет 5°С , то точность измерения оказывается/ воего лишь 0,2%.
Поэтому при сложных методах измерения необходимо прежде воего установить пределы точности, которые могут быть получе ны в каждом отдельном измерении составной величины, входящей в окончательную формулу. Если пределы точности для каждой из меряемой величины оказываются различными, то в отдельных на мерениях можно пользоваться относительно проотыми методами.
Например, при определении удельной тешшемкооти какого-либо тела о помощью калориметрических измерений массы воды и тела могут быть определены о точностью, как указано выше, до 0,00005%, однако в данном случае нет оснований добиваться та кого предела и можно ограничиться взвешиванием на более гру бых веоах о точностью, например, до 0,01;%, так как при наме рении температуры в калориметре точность, р к мм уже говори ли, не превысит 0,2%, и точность результата измерений все равно будет пѳволика.
Итак, при подборе прибора для измерений следует учиты вать, какая величина измеряется о наименьшей точностью, и измерение всех остальных величин можно производить с относи тельной погрешностью, примерно в десять раз меньшей относи тельной погрешности наименее точного измерения.
К большей точности измерения отдельных величин стремитьоя не оледует. Это мало уточнит результат.
Вое вычисления оледует веоти приближенно, не выходя за пределы той -точнооти, которая имеет место при измерениях, хотя арифмѳтичеокие операции иногда могут быть продолжены как угодно далеко. Так, например, если некоторая величина может быть измерена о точностью до втарой значащей цифры, то к вычисление результатов измерения следует веоти также до
второй вначащѳй цифры, так как все дальнейшие знании, получае мые при вычислении, не повышают точности измерения, т .ѳ . яв ляются излишними.
14
Р а б о т а I . ВЗВЕШИВАНИЕ НА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЕСАХ
I . Тѳоретичеокая часть
Уотройотво весов
Весы лабораторные аналитические подели ВЛА-200 г-41 пред назначены для точных определений наосы тел при производстве анализов в различных лабораториях.
Бесы оостоят из равноплечного рычага 7 ( р и о .І) , называ емого короыыслоы, опорой которого служит ребро стальной зава ленной призмы б , вставленной в середину коромысла перпендику лярно его плоскости.
5 6 7
Р и с. I |
15 |
Ребро приаыы опираеіса на опорную подушку (агатовую полиро ванную плаотинку), укрепленную на верху колонки 2 , которая креп..тся на основании I .
На концах короиысла на равных расстояниях от средней приаыы в специальных седлах 5 закреплены грузоподъемные . призмы, на которые навешиваются серьги с грузоподъемными подушками. На верхние крючки серег подвешиваются чашки 12 о дужками, на нижние - стаканы воздушных демпферов, входя щие в корпуса, укрепленные на колонке. Демпферы олужат для быотрого затухания колебаний коромысла весов.
Устройство демпфера дано на р и с.2 . Два тонкостенные ыеталличеокиѳ стакана А и В вставлены друг в друга. Наруж ный стакан прикреплен к колонке весов, а внутренний - подвешен к коромыслу. Стаканы А и В не касаются друг друга. Ори колебаниях коромысла воздух, находящийся между стенка ми отаканов, приходит в движение возникающее при атом
Рио. 2
трение уопокаизаѳт весы. Так как сила трения покоя в газах равна нулю, то демпфер мало влияет на точность весов.
Весы снабжены встроенными в них миллиграммовыми гирями, навешиваемыми на планку, скрепленную с правой оѳрьгой.
Управление гирями производится с пом*ощью вращающихся і
лимбов, расположенных справа от витрины весов, через рыча ги 8 .
При вращении малого лимба 9 происходит накладывание или снятие десятков миллиграммов, при вращении большого лимбе 10-сотен миллиграммов. Вращение лимбов осуществляет ся независимо друг от друга.
На коромысле укреплена стрелка I I , на |
нижнем |
конца |
которой установлена микрошкала о отсчетом |
от 0 до |
10 мг в |
обе отороны, Микрошкала с помощью оптического устройства, 1
состоящего из подсветки, объектива и отражающих |
эбркал, |
|
проектируется на |
экран 12, расположенный перед колонкой |
|
. веоов. Осветитель |
отсчѳтного устройства расположен |
позади |
витрины весов. |
|
|
Для предохранения призм от износа весы снабжены особым устройством, называемым арретиром, при помощи которого, когЬа весы не работают, коромысло и чашки несколько припод нимаются и призмы освобождаются от давлени" на плоскость
опоры. Арретир |
свяван с |
выключателем осветителя |
шкалы. |
Поэтому шкала на экране |
будет освещена только при освобож |
||
дении весов от |
арретира |
14. |
|
Для предохранения от пыли и воздушных токов аналити- , чеокиѳ весы заключены в металлическую витрину о боковыми
‘выдвигающимися стеклянными дверцами. Витрина закреплена на
металлической основании. При взвешивании колонка |
веоов |
должна быть установлена вертикально . |
веоов |
Регулировка вертикального положения колонки |
производится Лаборантом путем |
вращения двух боковых аожек |
|
||
13 по уровню, укрепленному на |
основании весов. |
|
' |
|
В комплект весов вхбдит набор разновѳоок, т .ѳ . |
|
|||
эталонов масс. Набор |
разновесок состоит из гирь накладных |
|
||
аналитических и гирь |
миллиграммовых (кольцевых |
встроенных). |
|
|
17
Наоор |
аналитических |
гирь. |
|
|
|
|
|
|
Значение массы |
|
50 |
20 |
10 |
5 |
.2 |
I |
|
в граммах |
'100 |
|||||||
Количество |
штук |
I |
I |
I |
2 |
X |
2 |
I |
Набор |
встроенных |
кольцевых |
гирь |
|
|
|
|
|
Значение массы |
500 |
в миллиграммах |
|
Количество штук |
I |
О С О
I
200 |
100 |
50 |
30 |
10 |
I |
I |
I |
I |
I |
Чувствительность весов |
|
|
|
|
|
|
|
их |
||||||
|
Одной иэ |
важнейших характеристик весов является |
||||||||||||
чувствительность |
S' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Чувствительностью вѳоов называется отношение линейного |
|||||||||||||
или углового |
перемещения конца стрелки по шкале |
к |
|
массе |
||||||||||
добавленного на одну из чашек весов |
груза: |
|
|
|
||||||||||
Г |
в |
а |
|
|
|
rt |
|
-в У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
А О . |
|
А ф |
|||
|
а /я |
|
и ™ |
|
=■ |
JP I |
, |
где |
и |
|||||
соответственно линейное или угловое перемещение стрелки |
||||||||||||||
веоов, |
а |
& т |
- |
масса добавочного |
груза. |
|
|
|
|
|||||
|
Чувствительность можно понимать как свойство весов об |
|||||||||||||
наруживать разницу |
в массах грузов, |
находящихся |
на |
|
чашках. |
|||||||||
Чем меньшую разницу обнаруживают весы, тем они чувствитель
нее, или иначе, весы тем чувствительнее, чем больший |
угол |
проходит стрелка при одной и той же перегрузке. |
|
Чувствительность реальных весов зависит от нагрузки, |
|
длины плеч коромысла, веса коромысла и от расстояния |
цент |
ра тяжести коромысла от "очки иноры. |
|
Методы взвешивания |
как |
Взвешивание масс на весах попет осуществляться |
|
18