- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Символический язык содержательных теорий множеств
- •Операции над множествами
- •Законы для объединения и пересечение:
- •Законы для дополнений:
- •Законы для разностей множеств:
- •Отношения. Отображения. Соответствия
- •Элементы комбинаторики
- •Алгебраическая система
- •Элементы теории графов
- •Булева алгебра
- •Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •Полные системы булевых функций
- •Логика высказываний
- •Логика предикатов
- •Следствия и равносильности логики предикатов
- •Метаобозначения
Операции над множествами
означает, что иА не равно В (). Если, то множествоА называется собственным подмножеством множества В, а множество В — собственным надмножеством множества А.
Покажем, что пустое множество является подмножеством любого множества А. Допустим, что утверждение ложно, т. е. существует хотя бы один элементх, который принадлежит множеству , который не является элементом множестваА. Но множество не имеет элементов. Значит, утверждениеистинно.
Пример 1.1.4
1. Множество А = {а, b, с} является собственным подмножеством множества B = {а,b,с,d,е}.
2. Множество студентов юридического факультета — подмножество множества всех студентов университета.
3. Множество четных натуральных чисел является собственным подмножеством множества всех натуральных чисел.
4. Множество натуральных чисел является подмножеством множества всех целых чисел, а множество целых чисел — подмножеством множества всех рациональных чисел.
Пусть U — некоторое множество, тогда В(U) — множество всех подмножеств множества V. В этом случае множество U называют универсальным, а множество В(U) — множеством-степенью или булеаном множества U. Например, если [U = {1,3, 5}, то В((U) = {, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3,5},{1,3,5}}.
Рассмотрим пространство 1 и определим в нем четыре операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение.
Объединением , двух множеств Мa и Мь является множество М, состоящее из элементов множества Мa и из элементов множества Мь:
.{или}
Объединением множеств А и В называется множество, в состав которого входят те и только те элементы, которые входят в состав хотя бы одного из этих множеств. Полученное множество обозначается , т. е. .
Пример 1.1.5
1. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {1, 3, 4, 6}, тогда = {1, 2, 3, 4, 6}.
О Пусть Ч — множество всех четных натуральных чисел, а H — множество всех нечетных натуральных чисел, тогда = N, где N — множество всех натуральных чисел.
Пересечением двух множествМa и Мь является, множество М, состоящее из элементов, которые принадлежат как множеству Мa, так и множеству Мb.
{и}
Часто союз «и» заменяют знаком &:
{&}
Пересечением множеств называется множество, которое состоит из элементов, входящих в состав как множестваА, так и множества В. Полученное множество обозначается , т.е.. Если , то множестваА и В называются непересекающимися.
Пример 1.1.6
Пусть А, В, Ч, Н означают множества из предыдущего примера, тогда:
• = {1,3};
• ;
• ;
• .
Пусть А — множество прямых, которые проходят через точку а некоторой плоскости, а В — множество прямых, которые проходят через точку b этой же плоскости. Тогда = {l}, где l — прямая, которая проходит через точки а и b.
Операции пересечения и объединения допускают следующее обобщение. Пусть задано семейство множеств . Тогда
Если пересечение пустое множество , то такие множества называютсянепересекающимися.
Разностью Мa\Мb множеств Мa и Мb является множество М, состоящее из элементов, принадлежащих множеству Мa и не принадлежащих множеству Мa:
{&}
В данном случае Ма не обязательно должно являться подмножеством Ма, но если оно является подмножеством, то разность Мa\Мb означает дополнение к Мb в Мa.
Разностью множеств А и В называется множество B\А = {a | аВ и аА}. Очевидно, что В \ А = В\ (). Если , то В \ А называется дополнением множества А в множестве В и обозначается А'B или просто А', когда В можно определить по контексту.
Симметрическая разность
.
Симметричной разностью множеств А и В называется множество .
Дополнение
;
Операция дополнения подразумевает, что задан некоторый универсум U (1): . В противном случае операция дополнения не определена.
Двуместные операции
Введенные операции объединение, пересечение, разность, являются двуместными.
Рассмотрим операцию дополнения, являющуюся одноместной.
Дополнением (разность) множестваМ является множество
Операции объединения, пересечения, разности и дополнения проиллюстрированы на рис. 1.3,а, б, в, г соответственно; результирующее множество каждой операции, изображено заштрихованной областью.
Порядок выполнения операций
Используя эти операции, можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения, затем пересечения и только затем операция объединения (разности). Для изменения этого порядка в выражении используют скобки.
Пример 1.2. Рассмотрим операцию дополнения множества, являющегося пересечением множеств Мa и Мb. Ее результат совпадает с объединением дополнений этих множеств ; в этом можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера (рис. 1.4).
Таким образом, множество можно задать выражением, в которое входят идентификаторы (указатели) множеств, операции и, быть может, скобки. Такой способ задания множества называется аналитическим.
Пример 1.2.
Пусть А: = {1,2,3}, В: = {3,4,5}. Тогда ={1,2,3,4,5},= {3}, А\В = {1,2},= {1,2,4,5}.Если определён универсум U:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, то ={0,4,5,6,7,8,9},={0,1,2,6,7,8,9}.
Теоретико-множественные тождества.