Напряжённое состояние в окрестности точки тела. Напряжения на гранях прямоугольного параллелепипеда. Уравнения равновесия Навье. Закон парности касательных напряжений.

Внутренние силы в материале – приращение сил взаимодействия между частицами, возникающих при его загружении. В сплошном и однородном материале силы передаются сплошным потоком от одной части тела к другой, через разделяющую это тело поверхность.

Пусть тело рассечено плоскостью и в этом сечении выделена малая площадка ΔF в окрестности т М, ориентация которой определяется нормалью n. Определим среднюю интенсивность в этой

точке.

. Если стягивать площадку к точке, получим

. Интенсивность внутренних сил, передающихся через площадку в точке называется напряжением на данной площадке.

Напряжение – поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних частях соприкосновения тела; - полное напряжение на данной площадке. Разложим его на составляющие. , где σ и τ –соответственно нормальное и касательное напряжения на площадке.

Часто деформации тела объясняются неравномерным распределением внутренних напряжений по объему тела.

При рассматривании напряжений в окрестности т М, выделяют бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда со сторонами dx,dy,dz. Если полные напряжения на гранях разложить на составляющие то в общем случае получим на каждой грани по два касательных и оному нормальному напряжению. Для трёх граней элемента они образуют тензор напряжений: Первый индекс напряжения говорит о том, на какой площадке оно действует, второй, какой оси параллельно напряжение.

Силовые факторы в поперечном сечении стержня и их выражения через напряжения. Это три силы N, Qx, Qy, и три момента Mx,My,Mz. Компоненты главного вектора и главного момента внутренних сил, распределённых по сечению, называются внутренними усилиями в сечении.

Выражение внутренних усилий через напряжения:

Совокупность напряжений в точке во всех сечениях, через неё проходящих называют напряжённым состоянием в точке.

Закон парности. Запишем сумму моментов сил для элементарного кубика относительно оси z. Так как кубик вместе с телом находиться в равновесии то сумма моментов будет равна нулю. Видно что усилия дадут только касательные напряжения τyx и τxy, а напряжения параллельные оси z будут равны нулю ( σz, τxz, τyz), усилия от остальных напряжений уравновесятся.

Т ак как грани кубика малы, то можно считать напряжения на них постоянными. Тогда чтобы получить напряжения от усилий нужно умножить их на пощади граней на которых они действуют, также умножим на плечи. Получим:

Отсюда следует, что τxy = τyx

Рассматривая суммы моментов для остальных осей получим, соответственные формулы для остальных касательных напряжений.

Формулировка закона: Во взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, нормальные к линии пересечения площадок (к ребру), равны или напрвлены одновременно или от ребра или к ребру.

Перемещения и деформации в точке тела, их обозначения, правила знаков и физический смысл.

При деформации тела некоторая точка тела М перемещается в положение М1. Полное перемещение ММ1 разложим на компоненты u,v,w соответственно по осям x,y,x. Компонента полного перемещения положительна, если она совпадает с соответствующим направлением оси координат. Но перемещения данной точки М ещё не характеризуют деформацию элемента тела. Понятие деформации в точке введём как количественную меру деформирования материала в её окрестности. Выделим в т М элементарный параллелепипед dx x dy x dz. За счёт деформации длины его рёбер получают абсолютное удлинение Δx, Δy и Δz. Относительные линейные деформации в точке: , , , относительное удлинение Суммарное по всем этапам относительное удлинение Деформации безразмерные и имеют порядок E-3. Также бывают угловые деформации, или углы сдвига, представляющие малые изменения первоначально прямых углов параллелепипеда: γxz, γyz, γxy. Они также имеют малый порядок Е-3…-4. Величины, которые количественно определяют деформации материала в окрестности точки, называют тензором деформаций:

Принцип суперпозиции.

Систему, в которой внутренние усилия, напряжения, деформации и перемещения прямо пропорциональны приложенной нагрузке, называют линейно деформируемой. Для этого материал должен работать как линейно-упругий, т.е. чтобы диаграмма его деформации была бы линейной – физически линейный материал. Кроме того перемещения в конструкции должны быть достаточно малы, и их можно было бы не учитывать в расчётной схеме – геометрически линейные. Формулировка: результат действия группы сил равен сумме (алгебраической или геометрической) результатов, полученных от действия каждой силы в отдельности.