№179.11.Ястребов

31

Соотношения (23) и (24) дают систему двух уравнений относительно неиз-

вестных C′, C′ :

1 2

Решая эту систему, получим выражения для C′, C′ через уже известные

1 2

ходятся интегрированием.

В качестве итога сформулируем алгоритм решения неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных:

1. Решение соответствующего однородного уравнения, получение функций y1, y2 .

34

1) y′′ + py′ + qy = 3x2 − 4

y′′ + py′ + qy = e0 x [(3x2 − 4) cos(0x) + 0sin(0x)]; 2) y′′ + py′ + qy = −3

y′′ + py′ + qy = e0 x [−3cos(0x) + 0sin(0x)].

2. α = 0. В этом случае f (x) = Pm (x) cos β x + Qn ( x)sin β x .

Например:

y′′ + py′ + qy = 4 cos x;

y′′ + py′ + qy = −3cos x + 7x3 sin x.

3. β = 0; Pm (x) = 1. В этом случае f (x) = eα x . Например:

y′′ + py′ + qy = e− x ; y′′ + py′ + qy = eπ x .

4. Qn (x) = 0. В этом случае f (x) = eα x Pm (x) cos β x . В част-

ности, если степень многочлена m = 0, то многочлен является постоянным числом: P0 (x) = p0 ≠ 0

Например:

y′′ + py′ + qy = −8e−9 x cos x;

y′′ + py′ + qy = e2 x (5x + 1) cos12x.

5. Pm (x) = 0 . В этом случае f (x) = eα xQn (x)sin β x . Напри-

мер:

y′′ + py′ + qy = sin 2x;

y′′ + py′ + qy = e2 x (5x + 1)sin12x.

35

Рассмотрим комплексное число r = α + β i , где α и β берутся из записи (26) правой части f (x) неоднородного уравнения. Корни характе-

ристического уравнения z2 + pz + q = 0 записываются в виде

3) k = 2 , то есть r — кратный корень; последнее возможно в том и толь-

ко том случае, когда D = 0; корень r при этом вещественный, так как его

37

Примеры. 1. Рассмотрим уравнение y′′ + 2 y′ = 20x + 2 .

Выполняем последовательно инструкции алгоритма:

1. z2 + 2z = 0; z1 = −2; z2 = 0 . Общее решение соответствующего однородного уравнения: yоо = C1e−2 x + C2e0 x = C1e−2 x + C2 .

2. Находим параметры правой части:

20x + 2 = e0 x ((20x + 2) cos(0x) + 0sin(0x)); α = 0; β = 0; m = 1; n = 0; l = 1.

3.α + β i = 0 + 0i = 0; кратность k = 1.

4.yчн = xA1(x) = x(a0 x + a1) = a0 x2 + a1x .

6.Подставляем в уравнение: 2a0 + 2(2a0 x + a1) = 20x + 2 .

7.4a0 x + 2(a0 + a1) = 20x + 2;

9. yчн = x(5x − 4) = 5x2 − 4x.

Общее решение неоднородного уравнения:

yоо = C1e−2 x + C2 + 5x2 − 4x .

2. Рассмотрим уравнение

y′′ − 10 y′ + 21y = e6 x (−3x2 + 4x + 2).

Выполняем последовательно инструкции алгоритма:

38

1. z2 − 10z + 21 = 0; z1 = 3; z2 = 7 . Общее решение соответствую-

щего однородного уравнения: yоо = C1e3x + C2e7 x . 2. Находим параметры правой части:

e6x (−3x2 + 4x + 2) = e6x ((−3x2 + 4x + 2)cos(0x) + 0sin(0x));

α = 6; β = 0; m = 2; n = 0; l = 2.

3.α + β i = 6 + 0i = 6; кратность k = 0.

4.yчн = x0e6 x A2 (x) = e6 x (a0 x2 + a1x + a2 );

5.yчн′ = 6e6 x (a0 x2 + a1x + a2 )+ e6 x (2a0 x + a1 ) =

=e6 x (6a0 x2 + (2a0 + 6a1)x + (a1 + 6a2 ));

−10e6 x (6a0 x2 + (2a0 + 6a1)x + (a1 + 6a2 ))+ +21e6 x (a0 x2 + a1x + a2 ) = e6 x (−3x2 + 4x + 2).

7. Приводим подобные члены и приравниваем коэффициенты при x2e6 x , при xe6 x и при e6 x :

−3a0 = −3

4a0 − 3a1 = 4

2a0 + 2a1 − 3a2 = 2.

39

2. Находим параметры правой части:

2 cos x − 5sin x = e0 x (P0 (x) cos x + Q0 (x)sin x); α = 0; β = 1; m = 0; n = 0; l = 0 .

3.α + β i = 0 + 1i ; кратность k = 0.

4.yчн = x0e0 x (a0 cos x + b0 cos x) = a0 cos x + b0 cos x ;

5.yчн′ = −a0 sin x + b0 cos x ;

−a0 cos x − b0 sin x + 4(a0 cos x + b0 sin x) = 2 cos x − 5sin x ; 3a0 cos x + 3b0 sin x = 2 cos x − 5sin x .

7. Приравниваем коэффициенты при cos x и при sin x :

3a0 = 23b0 = −5.

8. a0 = 23 ; b0 = − 53 .

40

9. yчн = 23 cos x − 53 sin x .

Общее решение неоднородного уравнения:

yоо = C1 cos 2x + C2 sin 2x + 23 cos x − 53 sin x .