№179.11.Ястребов

21

7.3. Уравнение, не содержащее явно независимую переменную x

так что исходное уравнение второго порядка переходит в уравнение перво-

го порядка относительно новой неизвестной функции p( y) :

Произвольную константу интегрирования удобно записать в виде ln C1 ,

поскольку логарифмическая функция принимает все значения от −∞ до +∞ . Тогда

ln p = ln y + ln C1 = ln( C1 y ) . p = ±C1 y .

Поскольку здесь постоянный множитель при y , записанный в виде C1,

принимает, как и множитель ±C1, все вещественные значения, можно за-

писать: p = C1 y

Возвращаемся к исходной неизвестной функции y :

ln y = C1x + C2

— общий интеграл.

23

8. Линейное уравнение второго порядка

8.1. Основные понятия

Определение. Линейным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

Определение. Однородным линейным уравнением второго порядка

называется уравнение с нулевой правой частью:

8.2. Свойства решений однородного линейного уравнения

Из свойств производной следует, что для любых функций y1, y2 и

любых вещественных чисел λ , μ :

(λ y1 + μ y2 )(n) = λ y1(n) + μ y2(n) .

Обозначим правую часть уравнений (14) и (15) через L( y) :

L( y) = y′′ + p(x) y′ + q(x) y .

Тогда эти уравнения принимают вид L( y) = f (x) и L( y) = 0 соот-

ветственно. При этом

L(λ y1 ± μ y2 ) = λ L( y1) ± μ L( y2 ) ,

L(λ y1 ± μ y2 ) = λ L( y1) ± μ L( y2 ) = 0 ± 0 = 0. ▄

8.3. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

( p и q – постоянные числа), и соответствующее ему однородное урав-

нение

Определение. Характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному уравнению (17), называется алгебраическое квадратное уравнение

Отметим, что второй производной y′′ дифференциального уравне-

ния соответствует в характеристическом уравнении z2 . Коэффициент при первой производной y′ переходит в коэффициент при первой степени z .

Наконец, коэффициент при y , то есть при производной нулевого порядка,

переходит в свободный член (коэффициент при нулевой степени z ). Примеры. 1. Для линейного однородного уравнения

y′′ − 3y′ − 10 y = 0 соответствующее характеристическое уравнение за-

писывается в виде z2 − 3z − 10 = 0 .

нение z2 + 7 = 0.

Общее решение однородного уравнения (17) можно получить, исходя из корней соответствующего характеристического уравнения (17). Здесь возможны три случая в соответствии с возможным значением его дискриминанта D = p2 − 4q .

А. Случай положительного дискриминанта. Пусть D > 0. В этом случае уравнение (18) имеет два различных вещественных корня z1 и z2 :

что соответствует разложению квадратного трехчлена на множители с вещественными коэффициентами:

z2 + pz + q = (z − z1)(z − z2 ).

Можно проверить, что в этом случае общее решение однородного уравнения (16) имеет вид:

уравнение: z2 + 3z − 18 = 0 . Дискриминант D = 81. Корни квадратно-

го уравнения z1 = −6, z2 = 3. Общее решение имеет вид:

y = C1e−6 x + C2e3x .

26

Найдем частное решение для задачи Коши.

Дифференцируем общее решение: y′ = −6C1e−6 x + 3C2e3x . Под-

ставляем начальные условия в y и y′ (учитывая, что e0 = 1):

C1 + C2 = 1,

−6C1 + 3C2 = −5.

Решая эту систему, получаем: C1 = 89 ; C2 = 19 . Соответствующее решение задачи Коши: y = 89 e−6 x + 19 e3x .

Б. Случай нулевого дискриминанта. Пусть D = 0. В этом случае характеристическое уравнение имеет один вещественный корень кратности 2:

z1 = z2 = − 2p ,

что соответствует разложению квадратного трехчлена на множители с вещественными коэффициентами:

z2 + pz + q = (z − z1)2 .

Можно проверить, что в этом случае общее решение однородного уравнения (17) имеет вид:

27

Пример. y′′ − 10 y′ + 25y = 0. Соответствующее характеристиче-

ское уравнение z2 − 10z + 25 = 0. Дискриминант D = 0. Кратный ко-

рень квадратного уравнения z1 = z2 = 5. Общее решение имеет вид:

y = C1e5x + C2 xe5x .

В. Случай отрицательного дискриминанта. Пусть D < 0 . В этом случае уравнение (17) имеет два различных комплексных корня z1 и z2 ,

которые задаются формулой:

К этим значениям можно придти, используя формально выражение для корней, полученное в случае положительного дискриминанта, и помня,

что i обозначает «мнимую единицу» — комплексное число, для которого

i2 = −1:

Можно проверить, что в этом случае общее решение однородного уравнения (17) имеет вид:

Примеры. 1. y′′ − 12 y′ + 40 y = 0. Соответствующее характери-

стическое уравнение z2 − 12z + 40 = 0. Дискриминант D = −16 . Кор-

29

Теорема 4. Общее решение неоднородного уравнения yон предста-

вимо суммой общего решения соответствующего однородного уравнения yоо и частного решения неоднородного уравнения yчн: yон = yоо + yчн.

Доказательство. Поскольку

L( yоо + yчн) = L( yоо) + L( yчн) = 0 + f (x) = f (x),

то y он действительно является решением неоднородного уравнения. Да-

лее, y он зависит от произвольных постоянных C1 и C2 , поскольку от них зависит функция yоо.

Остается убедиться, что за счет выбора значений этих постоянных можно получить решение задачи Коши с любыми наперед заданными на-

щее решение соответствующего однородного уравнения, то можно вы-

брать такие значения постоянных C1 и C2 , при которых

yоо(x0 ) = y0 − yчн(x0 ) ;

и

Тогда для функции yон при этих значениях C1 и C2 :

yон(x0 ) = yоо(x0 ) + yчн( x0 ) = ( y0 − yчн( x0 )) + yчн(x0 ) = y0

30

9. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y′′ + py′ + qy = f (x) .

Согласно изложенному в п. 8.4, его общее решение представимо в виде yон = yоо + yчн. Общее решение соответствующего однородного урав-

нения записывается в виде

z1,2 = α ± β i .

Таким образом, остается найти какое-либо частное решение исход-

ного неоднородного уравнения yчн. Метод вариации произвольных по-

стоянных, предложенный Лагранжем, предполагает отыскание yчн в виде,

аналогичном (22), но уже с переменными множителями при y1 и y2 :

yчн = C1(x) y1(x) + C2 (x) y2 (x) .

Здесь C1(x), C2 (x) — подлежащие определению неизвестные функции.

Вычислим производные частного решения (аргумент x для кратко-