линейная алгебра
.pdfООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
|
y1 + c1m+1 ym+1 +... + c1n yn = d1, |
|
|
||||||||||||||
|
y |
2 |
+c |
y |
m+1 |
+... +c |
|
y |
n |
= d |
, |
|
|||||
2) |
|
2m+1 |
|
|
|
2n |
|
|
2 |
|
|
(2.4.3) |
|||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ c |
|
|
|
|
|
+... +c |
|
|
|
|
= d |
|
|
|||
|
y |
m |
|
y |
m+1 |
mn |
y |
n |
m |
. |
|||||||
|
|
m m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∙В первом случае, если хотя бы одно из чисел dr+1, dr+2 ,..., dm отлично от нуля, то система решений не имеет.
∙Если же в первом случае все числа dr+1, dr+2 ,..., dm равны нулю, то сис-
тема имеет бесконечно много решений.
∙Во втором случае, если n > m , то система имеет бесконечно много решений.
∙Если же во втором случае n = m , то система имеет единственное решение, причем этот случай совпадает со случаем однозначной разрешимости, рассмотренном в пункте 2.3.
∙В первом случае говорят, что ранг матрицы Am×n равен r (0 ≤ r < m).
∙Во втором случае говорят, что ранг матрицы Am×n равен m .
∙В системе (2.4.2) переменные y1,..., yr называются базисными, а пе-
ременные yr+1,..., yn называются свободными.
∙В системе (2.4.3) переменные y1,..., ym называются базисными, а пе-
ременные ym+1,..., yn называются свободными.
∙ Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что система уравнений (2.4.1) имеет решение тогда и только тогда, когда ранг её расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы
Пример 2.4.1. Решить систему уравнений
|
x + 2x |
2 |
+3x |
|
= −4, |
|
1 |
3 |
|
||
2x1 + 3x2 + 4x3 =1, |
|||||
|
3x + 4x |
2 |
+5x |
3 |
= 6. |
|
1 |
|
|
||
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 21
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Решение. Исключим неизвестную x1 из второго и третьего уравнений,
воспользовавшись первым уравнением системы. С этой целью из второго уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на 2, а из третьего уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на 3. Получим следующую систему уравнений:
|
x + 2x |
2 |
+3x = −4, |
|
1 |
3 |
|
|
−x2 − 2x3 = 9, |
||
|
− 2x2 − 4x3 =18. |
||
|
|||
Вычитая из третьего уравнения второе уравнение, умноженное на 2, получим систему
|
x + 2x |
|
+3x = −4, |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
−x2 − 2x3 = 9, |
||
|
|
|
|
0 = 0. |
|
|
|
|
|
Прибавляя к первому уравнению удвоенное второе уравнение и меняя знак во втором уравнении, получим
x1 − x3 =14,x + x = −2 2 3 9.
Следовательно, x1 = x3 +14, x2 = −2x3 −9 .
Ответ. x1 = t +14, x2 = −2t −9, x3 = t , где t – любое число.
Замечание. В описанном решении примера 2.4.1 неизвестные x1 и x2
являются базисными, а неизвестная x3 является свободной. Ранг матрицы ис-
ходной системы равен 2, ранг расширенной матрицы также равен 2.
Пример 2.4.2. Решить систему уравнений
x1 +3x2 + x3 = 2,3x +8x + x =1
1 2 4 .
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 22
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Решение. Исключим сначала неизвестную x1 из второго уравнения сис-
темы. Для этого вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на 3:
|
x1 + 3x2 + x3 = 2, |
||||
−x |
2 |
−3x + x |
4 |
= −5. |
|
|
|
3 |
|
||
Теперь исключим неизвестную x2 |
из первого уравнения системы. Для этого к |
|||
первому уравнению прибавим второе уравнение, умноженное на 3: |
||||
x1 −8x3 + 3x4 = −13, |
||||
−x |
2 |
−3x + x |
4 |
= −5. |
|
3 |
|
||
Остается лишь поменять знаки во втором уравнении: |
||||
|
x1 −8x3 +3x4 = −13, |
|
x2 +3x3 − x4 = 5. |
Следовательно, |
x1 = 8x3 −3x4 −13, x2 = −3x3 + x4 +5. |
Ответ. x1 = 8t1 −3t2 −13, x2 = −3t1 + t2 +5, x3 = t1, x4 = t2 , где t1, t2 – произволь- |
|
ные числа. |
|
Замечание. |
В описанном решении примера 2.4.2 неизвестные x1 и x2 |
являются базисными, а неизвестные x3 и x4 являются свободными. Ранг мат-
рицы исходной системы равен 2, ранг расширенной матрицы также равен 2.
2.5Собственные значения и собственные векторы матрицы
∙Рассмотрим квадратную матрицу
a11 |
a12 |
... |
a1n |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
A = |
... |
... |
, |
... |
... |
||
an1 |
an 2 |
... |
ann |
ненулевой столбец
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 23
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , |
|
resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
||
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x2 |
|
|
|
x |
, |
||
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
который в дальнейшем будем называть вектором-столбцом, и некоторое чис-
ло λ . Вектор-столбец x называется собственным вектором матрицы A , соответствующим собственному значению λ , если этот вектор является решением системы уравнений
a11 |
a12 ... |
||
a21 |
a22 ... |
||
... ... ... |
|||
a |
a |
n 2 |
... |
n1 |
|
|
|
a1n a2n
...
ann
x
× x2 =
...
xn1
x1 |
|
|
|
|
|
λ x2 |
|
, |
... |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
которую можно записать в виде
(a11 - λ)x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0, |
|
||||
a21x1 + (a21 - λ)x2 + ... + a2n xn = 0, |
(2.5.1) |
||||
.................................................... |
|||||
|
|
x + + (a |
|
- λ)x = 0. |
|
a |
x + a |
nn |
|
||
|
n1 1 |
n 2 2 |
n |
|
|
∙ Необходимым условием существования ненулевого решения системы (2.5.1) является равенство нулю определителя
|
a11 - λ |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|||||
D (λ) = |
a21 |
a21 - λ |
... |
a21 |
= 0 . |
(2.5.2) |
|
... |
... |
... |
... |
||||
|
|
|
|||||
|
an1 |
an 2 |
... |
ann - λ |
|
|
∙Соотношение (2.5.2) является уравнением n-го порядка относительно неизвестной λ , которое называется характеристическим уравнением.
∙Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами матрицы A .
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 24
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
∙После нахождения корней характеристического уравнения ищутся соответствующие им собственные векторы, являющиеся ненулевыми решениями системы уравнений (2.5.1).
∙Если вектор x является собственным вектором с собственным зна-
чением λ , то и любой другой вектор k x , где k - произвольное число, отличное от 0, является собственным с тем же собственным значением.
Пример 2.5.1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
1 |
2 |
|
|
A = |
|
|
. |
|
2 |
4 |
|
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
|
1−λ |
2 |
|
|
= 0, |
|
|
||||
|
2 4 −λ |
|
|
|
|
(1−λ)(4 −λ)−4 = 0, |
λ2 −5λ=0, |
||||
|
λ1 = 0, |
λ2 =5. |
|||
Рассмотрим сначала характеристический корень λ1 = 0 и найдем соответст-
вующий ему собственный вектор. Для этого решим систему уравнений
1−0 |
2 x |
|
|
0 |
||||
|
2 |
4 −0 |
|
1 |
|
= |
0 |
, |
|
x |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которую можно записать в виде
|
x1 |
+ 2x2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.3) |
2x + 4x |
2 |
= 0. |
|||
|
1 |
|
|
|
|
Полученная система эквивалентна уравнению x1 = −2x2 , и, если неизвестную x1 выбрать в качестве базисной неизвестной, а неизвестную x2 – в качестве свободной, то решение системы уравнений (2.5.3) можно представить в виде
{x1 = −2t, x2 = t},
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 25
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
где t – любое число, не равное 0. Таким образом,
x1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
x2 |
|
|
а вектор
−2t |
|
|
|
|
= t |
t |
|
|
|
|
|
−21
−2 , t ¹ 0, 1
является искомым собственным вектором.
Рассмотрим теперь характеристический корень λ1 = 5 и найдем соответ-
ствующий ему собственный вектор. Для этого решим систему уравнений
1−5 |
2 x1 |
|
|
0 |
||
|
2 |
|
|
= |
0 |
, |
|
4 -5 x2 |
|
|
|||
которую можно записать в виде
− 4x + 2x |
2 |
= 0, |
|
|
|
1 |
|
(2.5.4) |
|
|
2x − x |
2 |
= 0. |
|
|
1 |
|
|
|
Полученная система эквивалентна уравнению 2x1 = x2 , и, если неизвестную x1 выбрать в качестве свободной неизвестной, а неизвестную x2 – в качестве базисной, то решение системы уравнений (2.5.4) можно представить в виде
{x1 = t, x2 = 2t},
где t – любое число, не равное 0. Таким образом,
x1 |
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
= |
|
= t |
2 |
, t ¹ 0, |
x2 |
|
2t |
|
|
||
а вектор
12
является искомым собственным вектором. Ответ. Векторы
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 26
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , |
|
resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
|||
|
−2 |
|
и |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
являются собственными с собственными значениями 0 и 5 соответственно. Пример 2.5.2. Найти собственные значения и собственные векторы мат-
рицы
|
1 |
6 |
− 2 |
|
|
|
3 |
5 |
|
0 |
. |
|||
|
0 |
0 |
− 4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
|
1−λ |
6 |
− 2 |
|
|
|
|
||||
|
0 |
3−λ |
5 |
|
= 0, |
|
0 |
0 |
− 4 −λ |
|
|
(1−λ)(3−λ)(− 4 −λ)= 0,
λ1 =1, λ2 = 3, λ3 = − 4.
Рассмотрим сначала характеристический корень λ1 =1 и найдем соответст-
вующий ему собственный вектор. Для этого решим систему уравнений
1−1 6 |
− 2 |
x1 |
0 |
||||
0 |
3−1 |
5 |
|
x2 |
= 0 , |
||
0 |
0 |
− 4 −1 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
которую можно записать в виде |
|
|
|
6x2 −2x3 = 0, |
|
||
2x2 +5x3 |
= 0, |
(2.5.5) |
|
|
−5x3 |
= 0. |
|
|
|
||
Решение системы уравнений (2.5.5) можно представить в виде
{x1 = t, x2 = 0, x3 = 0},
где t – любое число, не равное 0. Таким образом,
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 27
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , |
resolventa@list.ru, |
(495) 509-28-10 |
||||
x1 |
|
t |
1 |
|
||
x2 |
= 0 = t 0 , |
|
||||
x |
|
|
0 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
а вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
является искомым собственным вектором. |
|
|
|
|||
Рассмотрим теперь характеристический корень |
λ2 = 3 и найдем |
|||||
соответствующий ему собственный вектор. Для этого решим систему
уравнений |
1−3 6 |
|
|
− 2 |
x1 |
0 |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
0 3−3 |
|
5 |
x2 = 0 , |
|||||||
|
0 |
0 |
|
− 4 −3 x |
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
которую можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x1 +6x2 −2x3 = 0, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
5x3 = 0, |
|
|
|
(2.5.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−7x3 = 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение системы уравнений (2.5.6) можно представить в виде |
|||||||||||
|
{x1 = 3t, x2 = t, x3 = 0}, |
|
|
||||||||
где t – любое число, не равное 0. Таким образом, |
|
|
|||||||||
|
x1 |
3t |
3 |
|
|
|
|||||
|
x2 = t |
= t 1 , |
|
|
|||||||
|
x |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а вектор
310
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 28
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
является искомым собственным вектором.
Осталось рассмотреть характеристический корень λ3 = − 4 и найти соот-
ветствующий ему собственный вектор. Для этого решим систему уравнений
1+4 |
6 |
|
− 2 |
x1 |
0 |
|||
0 |
3+4 |
|
5 |
x2 = 0 , |
||||
|
0 |
0 |
|
− 4 +4 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
которую можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
||
|
5x +6x |
|
−2x = 0, |
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
7x2 +5x3 = 0, |
|
|
(2.5.7) |
|||
|
|
|
|
0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразуем систему (2.5.7) к более удобному виду. Для этого исключим из рассмотрения третье уравнение, а к первому уравнению, умноженному на 5, прибавим второе уравнение, умноженное на 2. В результате получим следующую систему уравнений
25x +44x |
2 |
= 0, |
|
|||
|
1 |
|
|
|
(2.5.8) |
|
|
7x |
2 |
+5x = 0. |
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
В системе (2.5.8) неизвестную x2 можно выбрать в качестве свободной неиз-
вестной, а неизвестные x1 и x3 – |
в качестве базисных неизвестных. Тогда ре- |
|||||||||||||||
шение системы (2.5.8) можно представить в виде |
|
|
||||||||||||||
x1 = − |
44 |
t, x2 = t, x3 |
= − |
7 |
t |
, |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
где t – любое число, не равное 0. Таким образом, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
44 |
|
44 |
|
|
|
||||||||
x1 |
|
− |
|
t |
|
− |
|
|
|
|
|
|||||
25 |
25 |
|
|
|||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
t |
= t |
1 |
|
|
, |
|
|||||||
x3 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− |
|
t |
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
5 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а вектор
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 29
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , |
resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
|||
|
− |
44 |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1
− 75
является искомым собственным вектором. Пропорциональный этому вектору вектор, например
44−2535
так же является собственным с тем же собственным значением. Ответ. Векторы
1 |
|
3 |
|
44 |
0 , |
1 , |
−25 |
||
0 |
0 |
|
35 |
|
являются собственными с собственными значениями 1, 3 и − 4 соответст-
венно.
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 30