линейная алгебра

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2x1 + 3x2 − 4x3 + 2x4 = −1,

+ 3x3 + 6x4 = 45,

3x − 2x − x

+ 4x = 25,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

268.46 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

D =	2	4	= 12 -12 = 0 .
	3	6

Поскольку определитель равен 0, то обратная матрица не существует. Пример 1.3.2. Существует ли обратная матрица к матрице

2		4
A =	1	?
	1	−5

Если да, то найти ее и проверить выполнение соотношения (1.3.1). Решение. Вычислим сначала определитель матрицы A :

D =	2	4	= -10 - 4 = -14 ¹ 0 .
D =	1	-5	= -10 - 4 = -14 ¹ 0 .

Поскольку определитель отличен от 0, то обратная матрица существует. Найдем ее по формуле (1.3.1):

				-1 T	5			4
	1	-5
A−1 = -	1	-5				14	14
					=	14	14		.
	14		-4	2	=	1		2	.
	14		-4	2		1	-	2

								14
					14			14

Сделаем проверку выполнения соотношения (1.3.1):

							5			4
		2		4								1	0
	−1	2		4		×	14 14					1	0	= E ,
A× A		=				×	1					=	1	= E ,
		1		-5			1		-		2	0	1

							14
							14			14
		5		4
								2			4	1	0
−1			14		14			2			4	1	0	= E .
A	× A =					2		×				=	1	= E .
		1		-		2	1				-5	0	1


		14		14

Пример 1.3.3. Существует ли обратная матрица к матрице

	5	4	- 6

A = 1		3	0	?
	4	7	- 4
	4	7	- 4

Если да, то найти ее и проверить выполнение соотношения (1.3.1).

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 11

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Решение. Найдем сначала алгебраические дополнения									Ai j к элементам
ai j , расположенным в первой строке матрицы A :
	3	0		1	0			3
A =			= −12, A = −			= 4, A =	1		= −5.
A =			= −12, A = −			= 4, A =	1		= −5.
11	7	−4	12	4	−4	13	4	7
	7	−4		4	−4		4	7

Теперь удобно найти определитель матрицы A :

D = a11 × A11 + a12 × A12 + a13 × A13 = 5 × (-12) + 4 × 4 - 6 × (-5) = -14 ¹ 0.

Далее получаем

A = −	4	− 6		= −26;			A	=	5	− 6		= 4;		A = −		5	4		= −19;
A = −	4	− 6		= −26;			A	=	5	− 6		= 4;		A = −		5	4		= −19;
21	7	− 4					22		4	− 4				23		4	7
	7	− 4							4	− 4						4	7
		4 − 6							5	− 6						4
A	=				=18;		A	= −				= −6;		A =	5			=11.
A	=				=18;		A	= −				= −6;		A =	5			=11.
31		3	0				32		1	0				33	1	3
		3	0						1	0					1	3
Составив присоединенную матрицу
							-12			4	- 5
								- 26			-19

						A =				4			,
								18		- 6	11
								18		- 6	11

получим

										12
					-12	- 26
							18			14
							18			14

A−1 =	1	(A)T	= -	1	4	4	- 6	=	-		4
A−1 =	D	(A)T	= -		4	4	- 6	=	-	14
	D		14			-19				14
					- 5	-19	11			5

										14
										14

Сделаем проверку выполнения соотношения (1.3.1):

	26	-	18

	14		14
	14		14
-	4		6
					.
	14		14		.
	14		14
	19	-		11
	19			11
	14
	14		14

				12		26		-	18
	- 6
5 4						14			14		1 0	0
		14
		×			4		4			6
A × A−1 = 1 3	0		-			-					= 0 1	0	= E ,
				14					14
						14
				5		19			11
4 7	- 4							-			0 0	1

				14		14			14

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 12

ООО «Резольвента»,					www.resolventa.ru ,							resolventa@list.ru,			(495) 509-28-10
			12			26		-	18

			14			14			14	5		4 -6	1 0 0
			14			14			14	5		4 -6	1 0 0
	−1			4			4		6						= E .
A		× A =	-			-				×	1	3 0	=	0 1 0
A		× A =	-	14		-	14	14		×	1	3 0	=	0 1 0
				14			14	14			4	7 -4		0 0 1
				5		19			11		4	7 -4		0 0 1
								-

			14			14			14
			14			14			14

2.Системы линейных алгебраических уравнений

2.1Основные понятия и определения

·Системой линейных алгебраических уравнений называется система

a11x1 + a12 x2 +K+ a1n xn = b1,
			x	+K+ a	x	= b ,
a x + a			x	+K+ a	x	= b ,
	21 1	22	2		2n n	2
	LLLLLLLLLL
a	x + a	m2	x	+K+ a	x	= b .
	m1 1	m2	2		mn n	m

· Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричной форме

A×		=		,	(2.1.1)
	x		b

где

a11

a12

...

a1n

a21

a2n

a22

...

A =

...

x =

b =

...

am2

...

am1

amn

∙Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система несовместна.

∙Если матрица A является квадратной и имеет обратную матрицу, то система уравнений имеет единственное решение

= A−1

(2.1.2)

Пример 2.1.1. С помощью вычисления обратной матрицы решить систему уравнений

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 13

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

2x1 - 5x2 = b1 ,4x1 + 3x2 = b2 ,

для произвольных значений b1 , b2 . Найти числовой ответ в случаях

а) b1 = 0, b2 = 26 ;		б) b1 = 9, b2 = 31.
Решение. Если ввести обозначения
2	−5	x1		b1	,

A =	, x =		,b =
4	3	x2		b2

то рассматриваемую систему можно записать в матричном виде (2.1.1). Проверим, что матрица A является обратимой. Действительно, поскольку определитель матрицы A

D =	2	- 5	= 6 + 20 = 26 ¹ 0 ,
D =	2	- 5	= 6 + 20 = 26 ¹ 0 ,
	4	3

то матрица A имеет обратную матрицу A−1 , и решение системы

x = A−1 ×b .

Найдем теперь обратную матрицу A−1 . Так как присоединенная матрица к матрице A имеет вид

			3	- 4	,
			3	- 4
	A =
			5	2
			5	2
то, в соответствии с (1.3.2) обратная матрица
A−1 =		1		3	5
					2	.
						.
		26	- 4

Поэтому

x		1	3
1	=

			- 4
x2		26

Следовательно,

5 ×

b
1	.
b
2

а)	x1		1	3	5		0		1	130			5
		=				×		=				=		,
		=				×		=				=		,
				- 4	2		26				52		2
	x2		26	- 4	2		26		26		52		2

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 14

ООО «Резольвента»,	www.resolventa.ru ,						resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
б)	x1		1	3	5	9			1 182		7
		=		-4	2	×		=		=	1	.

	x2		26			31			26 26

2.2 Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

∙ В случае, когда матрица A является квадратной и имеет обратную матрицу, решение системы уравнений можно найти по формулам Крамера:

x j =	D j	,

	D
где D j - определители, полученные из определителя			матрицы A заменой
j – го столбца столбцом свободных членов.

∙Если = 0 и все определители D j = 0 , то система имеет бесконеч-

но много решений.

∙Если = 0 , а хотя бы один из определителей D j ¹ 0 , то система не

имеет решений.

Пример 2.2.1. С помощью формул Крамера решить систему

2x − y + 3z =13,

4x + 3y − z = 7,

x − 2 y + 5z =15.

Решение. Вычислим сначала определитель						и определители D j для
всех значений j =1,2,3:
			-1	3
		2
		2
D =		4	3 -1		= 30 - 24 +1- 9 - 4 + 20 = 14 ¹ 0,
		1	- 2	5
			-1	3
	13		-1	3
D1 =	7		3	-1	= 195 - 42 +15 -135 - 26 + 35 = 42,
	15		-2	5

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 15

ООО «Резольвента»,		www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
		13	3
	2	13	3
D2 =	4	7	-1	= 70 +130 -13 - 21+ 30 - 260 = -14,
	1	15	5

D3 =	2	-1	13	= 90 -140 - 7 - 39 + 28 + 60 = 28.
D3 =	4	3	7	= 90 -140 - 7 - 39 + 28 + 60 = 28.
	1	-2	15

Поэтому

x =	1	=	42	= 3, y =	2	= −14 = -1, z =	3	=	28	= 2.
	D				D		D
		14				14		14

2.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (случай однозначной разрешимости)

∙ Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными. Если равносильными преобразованиями эту систему удается привести к виду

c y +c y				+... +c	y		= d ,
	11 1	12	2	1n		n	1
		c22 y2 +... +c2n yn = d2 ,

...........................................
							(2.3.1)
				cnn yn = dn ,

то в случае, когда определитель

	c11	c12	...	c1n
D =	0	c22	...	c2n	= c	× c	22	×...× c ¹ 0,
	0	0 ... ...			11		22	nn
	0	0 ... ...
	0	0	...	cnn

(случай однозначной разрешимости) можно, решая сначала последнее уравнение системы, затем предпоследнее уравнение и т.д. (обратный ход), один за другим найти все неизвестные.

∙ Описанная схема решения систем линейных алгебраических уравнений и составляет основу метода последовательного исключения неизвестных Гаусса.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 16

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Пример 2.3.1. С помощью метода последовательного исключения неизвестных Гаусса решить систему уравнений

2x +5x	2	−3x = −15,
1	2	3
3x1 − 2x2 + x3 = 20,
7x + 4x	2	−5x = − 6.
1	2	3

Решение. Удобнее всего исключить неизвестную x3 из первого и третье-

го уравнений, воспользовавшись тем, что во втором уравнении системы коэффициент при неизвестном x3 равен 1. С этой целью к первому уравнению системы прибавим второе уравнение, умноженное на 3, а к третьему уравнению прибавим второе уравнение, умноженное на 5. Получим следующую систему уравнений:

	11x1 − x2 = 45,

3x1 − 2x2 + x3 = 20,
	22x −6x	2	= 94.
	1	2

Исключим теперь переменную x1 из третьего уравнения. Для этого из третье-

го уравнения предыдущей системы вычтем первое уравнение, умноженное на 2. Получим систему уравнений

	11x1 − x2 = 45,

3x1 − 2x2 + x3 = 20,
	−4x2 = 4,
	−4x2 = 4,

которую для наглядности удобно записать в виде (2.3.1):

x +3x −2x				2	= 20,
	3	1		2
		11x1 − x2			= 45,
			−4x2		= 4.
			−4x2		= 4.

Из третьего уравнения находим значение неизвестной x2 = −1 (обратный ход).

Подставляя значение x2 во второе уравнение, найдем значение неизвестной x1 :

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 17

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

11x1 +1 = 45, x1 = 4 .

Осталось значения x1 и x2 подставить в первое уравнение:

12 + 2 + x3 = 20, x3 = 6 .

Ответ: x1 = 4, x2 = − 1, x3 = 6.

Замечание. Решение примера 2.3.1. можно осуществить в матричной форме. Для этого представим исходную систему уравнений в форме расши-

ренной матрицы

2		5	−3	−15
2		5	−3	−15
	3	−2	1	20	,
	3	−2	1	20	,
	7	4	−5	−6

где слева от вертикальной черты записана матрица системы																												A ,		а справа –
столбец свободных членов													.
столбец свободных членов												b	.
		Производя над строками расширенной матрицы операции, описанные в
решении примера, получаем
	2 5			−3		−15			11		−1 0				45			11		−1 0			45		11 0					0	44
	2 5			−3		−15			11		−1 0				45			11		−1 0			45		11 0					0	44
		3 −2									−2 1									−2 1								−2
		3 −2		1		20				3	−2 1				20				3	−2 1			20			3		−2	1		20
		7 4		−5		−6				0	−4 0				4				0	1		0	−1			0		1		0	−1


1			0	0	4		1			0		0		4		1		0		0	4		1		0 0		4			x1			= 4
1			0	0	4		1			0		0		4		1		0		0	4		1		0 0		4			x1			= 4
			−2							−2
	3		−2	1	20			0		−2		1		8			0	0		1	−6			0	1 0		−1			x2			= −1 .
	0		1	0	−1			0		1		0		−1			0	1		0	−1			0	0 1		−6			x			= −6
																																3
																																3

Пример 2.3.2. С помощью метода последовательного исключения неизвестных Гаусса решить систему уравнений

осуществляя при каждой операции над строками расширенной матрицы контроль правильности вычислений.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 18

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10

Решение. Составим расширенную матрицу этой системы и запишем для контроля правильности вычислений в каждой строке справа суммы всех элементов строки (контрольные суммы):

2		3	−4	2	−1 2

	5	4	3	6	45	63 .

	3	−2	−1	4	25	29
	4	7	0	−2	−9	0

Будем вычислять контрольные суммы до проведения каждой операции над строками расширенной матрицы, а также после проведения операции. Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности расчетов. Воспользовавшись сначала третьей строкой матрицы, получим

2		3	−4	2	−1 2		−10			11	0	−14	−101 −114

	5	4	3	6	45	63		14		−2	0	18	120	150 .

	3	−2 −1		4	25	29		3	−2		−1	4	25	29
	4	7	0	−2	−9	0		4		7 0		−2	−9	0

Используем теперь четвертую строку матрицы:

−10		11	0	−14	−101−114				−38		−38		0	0	−38	−114
−10		11	0	−14	−101−114				−38		−38		0	0	−38	−114
	14	−2	0	18	120		150		50	61			0	0	39		150
	14	−2	0	18	120		150		50	61			0	0	39		150
	3 −2 −1 4				25		29		11 12 −1					0	7		29
	4	7 0		−2	−9		0		4	7			0	−2	−9		0
	4	7 0		−2	−9		0		4	7			0	−2	−9		0


						1	1	0	0		1		3
						1	1	0	0		1		3
						50	61	0	0		39	150 .
						50	61	0	0		39	150 .
						−11 −12 1			0		−7	−29
						4	7	0	−2		−9		0
						4	7	0	−2		−9		0

Воспользуемся теперь первой строкой матрицы:

1		1	0	0	1 3		1		1	0	0	1	3

	50	61	0	0	39	150		0	11	0	0	−11		0
	−11	−12	1	0	−7	−29		0	−1	1	0	4		4
	4	7	0	−2	−9	0		0	3	0	−2			−12
	4	7	0	−2	−9	0		0	3	0	−2	−13		−12

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 19

ООО «Резольвента»,					www.resolventa.ru ,						resolventa@list.ru,							(495)		509-28-10
Теперь воспользуемся второй строкой матрицы:
1		1 0	0	1	3	1		1	0	0	1	3		1		0	0	0		2	3
1		1 0	0	1	3	1		1	0	0	1	3		1		0	0	0		2	3
																						0 .
	0	11 0	0	−11	0		0	1	0	0	−1		0		0	1	0	0		−1		0 .
	0	−1 1	0	4	4		0	−1	1	0	4		4		0	0	1	0		3		4
	0	3 0	−2		−12		0	3	0	−2			−12		0	0	0	−2	−10			−12
	0	3 0	−2	−13	−12		0	3	0	−2	−13		−12		0	0	0	−2	−10			−12

Остается лишь разделить на (– 2) четвертую строку матрицы:

1		0	0	0	2	3		1		0	0	0	2 3			x1		= 2
1		0	0	0	2	3		1		0	0	0	2 3			x1		= 2

	0	1	0	0	−1		0		0	1	0	0	−1	0	x2 = −1 .
	0	0	1	0	3		4		0	0	1	0	3	4		x = 3
	0	0	0	−2	−10		−12		0	0	0	1	5	6		x	3	= 5
	0	0	0	−2	−10		−12		0	0	0	1	5	6		x		= 5
																	4
																	4

2.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (общий случай). Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

∙Рассмотрим систему из m уравнений с n неизвестными.

a11x1 + a12 x2 +K+ a1n xn = b1,
			x	+K+ a	x	= b ,
a x + a			x	+K+ a	x	= b ,	(2.4.1)
	21 1	22	2		2n n	2	(2.4.1)
	LLLLLLLLLL
a	x + a	m2	x	+K+ a	x	= b .
	m1 1	m2	2		mn n	m

Равносильными преобразованиями и переобозначением неизвестных

(x1, x2 ,..., xn )→ (y1, y2 ,..., yn )

эту систему всегда можно привести к одному из следующих двух типов:

y1 + c1r+1 yr+1 +... + c1n yn = d1,y2 +c2r+1 yr+1 +... +c2n yn = d2 ,

1) yr + crr+1 yr+1 +... +crn yn = dr , (0 ≤ r < m) (2.4.2)

0 = dr+1,L

0 = dm .

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 20

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.09.2019472.58 Кб20лекция1_1.doc
#
23.08.2019203.26 Кб1Лекция_8_тема_10_Ценовая политика в ММ.doc
#
14.02.2015611.33 Кб221Лекция_Realtime_2.doc
#
24.11.2019212.99 Кб3лекция_счисление.doc
#
14.02.2015160.26 Кб19Лекция№14-Arch.doc
#
14.02.2015268.46 Кб9линейная алгебра.pdf
#
14.02.201578.61 Кб28Линии для производства круп из ячменя.docx
#
14.11.2019203.78 Кб3листинг.doc
#
12.03.201685.82 Кб86литературные обзор.docx
#
14.02.2015173.53 Кб43Логистика - Лабораторная работа №4 - Задание.pdf
#
14.02.2015124.93 Кб33ЛОГИСТИКА НА СДАЧУ.doc