Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы грубо можно разделить на три части:

• позиционные системы счисления;

• смешанные системы счисления;

• непозиционные системы счисления.

Денежные знаки - это пример смешанной системы счисления. В непозиционной системе счисления величина числа не зависит от положения цифры в представлении числа. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система.

Представление чисел с помощью арабских цифр - самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр. Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Внимательно их пересчитайте – их ровно десять. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).

Компьютер, в отличие от человека, хорошо разбирается в двоичной системе, он использует цифры: 0 и 1. Обратите внимание, что здесь система двоичная, а максимальная цифра 1.

Программисты пользуются, для упрощения себе жизни, ещё восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Количество цифр используемых в системе счисления называется «основанием». В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе основание равно двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати.

В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (a_na_{n − 1}...a₀)_f, где a₀,a₁,...,a_n - цифры, а f - основание системы счисления. Если используется десятичная система, то f – можно опустить.

Примеры чисел:

• 11001₂ - число в двоичной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 0,a₂ = 0,a₃ = 1,a₄ = 1;

• 221₃ - число в троичной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 2,a₂ = 2;

• 31₈ - число в восьмеричной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 3;

• 25₁₀ - число в десятичной системе счисления, a₀ = 5,a₁ = 2;

Мы знаем как узнать чему равно число в любой системе счисления. Но как нам получить это число? Представим что у нас есть некоторое число A, и мы хотим получить его представление в системе по основанию f. Как нам это сделать?

Мы знаем, что число A можно представить в виде (a_na_{n − 1}...a₀)_f, будем из этого исходить. Что будет, если мы поделим это число на f. Получим

и остаток от деления a₀. Почему a₀? Все члены суммы делятся на f без остатка, а последний член a₀ в результате деления даёт 0 и a₀ в остатке, т.к. максимальное значение цифры всегда на единичку меньше основания системы. Итак мы получили самую правую цифру a₀ как остаток от деления и число (a_na_{n − 1}...a₁)_f как результат деления числа A на f. Если мы так будем продолжать делить, то получим все цифры a₁,a₂...a_n.

Возьмём для примера полюбившиеся нам число 25 и получим представление этого числа в двоичной системе счисления:

• 25 / 2 = 12, остаток 1;

• 12 / 2 = 6, остаток 0;

• 6 / 2 = 3, остаток 0;

• 3 / 2 = 1, остаток 1;

• 1 / 2 = 0, остаток 1.

Что и следовало ожидать, получили: 11001₂.

Представим число 25 в троичной системе счисления:

• 25 / 3 = 8, остаток 1;

• 8 / 3 = 2, остаток 2;

• 2 / 3 = 0, остаток 2.

Получили число: 221₃.

Для закрепления наших знаний проделаем вычисления для восьмеричной и десятичной систем счисления.

Восьмеричная система счисления:

• 25 / 8 = 3, остаток 1;

• 3 / 8 = 0, остаток 3.

Результат: 31₈.

Десятичная система счисления:

• 25 / 10 = 2, остаток 5;

• 2 / 10 = 0, остаток 2.

Результат: 25₁₀.

Задание: расположит по убыванию (не переводя, далее проверим)55₈ 55₇ 55₁₆ - 55₁₆ 55₈ 55₇

Преобразование двоичных чисел в десятичные

Допустим, вам дано двоичное число 110011. Какому числу оно эквивалентно? Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего запишите данное число следующим образом:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	1	1
				32	+16			+2	+1

Затем, начиная с двоичной точки, двигайтесь влево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 110011 равнозначно 51. Либо .

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться следующей процедурой :

19 /2 = 9 с остатком 1

9 /2 = 4 c остатком 1

4 /2 = 2 с остатком 0

2 /2 = 1 с остатком 0

1 /2 = 0 с остатком 1

Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем в остаток 1 или 0. Продолжать деление надо пока в делимом не будет 1. Ставим числа из остатка друг за другом, начиная с конца. В результате получаем число 19 в двоичной записи (начиная с конца): 10011.

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в железе (кремнии, транзисторах, микросхемах), так как для нее требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1).

Двоичная система счисления является позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1

Если часто придётся работать со степенями двойки. Хорошо бы было их вам поскорее выучить. Вот таблица:

Степень	Значение
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536

Минимальной единицей информации считается бит. Бит — это величина, принимающая значение 0 или 1. Любая другая информация может быть закодирована последовательностью из нулей и единиц. Именно в таком виде вся информация представляется в памяти ЭВМ.

Единицей памяти в современных ЭВМ считается байт. Байты — это 8-разрядные двоичные числа вида — 00000000, 00000001, ..., 11111111. Один байт записывается в виде 8 двоичных знаков информации — нулей и единиц:

1 байт = 8 бит.

Для измерения памяти большого объема используются следующие единицы:

1 Кбайт = 1024 байт (1 килобайт);

1 Мбайт = 1024 Кбайт (1 мегабайт);

1 Гбайт = 1024 Мбайт (1 гигабайт).

Задание: Расположить в порядке возрастания 10 бит, 20 бит, 2 байта, 1010 байт , 1 Кбайт - 10 бит, 2 байта, 20 бит, 1010 байт, 1 Кбайт.