Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. Например, чтобы представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр (10011010010). Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок. Вот таблица для восьмеричных цифр:

Таблица 1.6 Соответствие чисел в различных системах счисления

Десятичная	Шестнадцатиричная	Восьмеричная	Двоичная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	10
3	3	3	11
4	4	4	100
5	5	5	101
6	6	6	110
7	7	7	111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
10	А	12	1010
11	В	13	1011
12	С	14	1100
13	D	15	1101
14	E	16	1110
15	F	17	1111

Перевод произвести очень просто, посмотрим на примере числа 10011010010.

Разбиваем его на группы по три цифры: 010 011 010 010. И по таблице переводим: 2322₈.

Чтобы перевести число в шестнадцатеричное представление разбиваем двоичное число на группы по четыре цифры: 0100 1101 0010. И по таблице переводим: 4D2₁₆. С помощью калькулятора Windows мы можем убедиться, что всё проделано верно.

В программистских кругах шестнадцатеричные числа принято предварять значком 0x (например, 0x4D2), такое написание пошло от языка программирования C, либо значком $ (например, $4D2), такая нотация произошла от языка программирования Pascal. Иногда в литературе используют буквы "h" и "b" для обозначения соответственно шестнадцатеричных и двоичных чисел (например, FFh или 1011b).

Задание: Запишите 567₈ в двоичной системе счисления (101110111)

Пример 1. Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления:

Таким образом, 19 = 10011₂.

Пример 2.  Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления:

Таким образом, 19 = 13₁₆.        

Пример 3. Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

      

Здесь остаток 11 преобразован в шестнадцатеричную цифру В (см. таблицу) и после этого данная цифра вошла в число. Таким образом, 123 = 7В₁₆.

Пример 4. Выполнить перевод числа 13₁₆ в десятичную систему счисления. Имеем:

13₁₆ =  1*16¹ + 3*16⁰ = 16 + 3 = 19.

Таким образом, 13₁₆ = 19.

Пример 5. Выполнить перевод числа 10011₂ в десятичную систему счисления. Имеем:

10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19.

Таким образом, 10011₂ = 19.

Задание: расположит по убыванию (проверяем)55₈ 55₇ 55₁₆ - 55₁₆ 55₈ 55₇