Popov_KSE_1

Лекция 5 Теория относительности

5.1 Специальная теория относительности

Триумф механики Ньютона убедил ученых в том, что ее законы управляют движением всей Вселенной и являются основными законами природы, и что явления природы не могут иметь другого объяснения. Тем не менее, во второй половине XIX в. классическая механика Ньютона вступила в фундаментальные противоречия с классической электродинамикой Максвелла. Оказалось, что принцип относительности Галилея справедлив только для механических явлений и неприменим к оптическим и электродинамическим явлениям. Получалось, что уравнения классической механики инвариантны относительно преобразований Галилея (рисунок 5.1), т. е. сохраняют свой вид при переходе из одной системы отсчета в другую, а уравнения электродинамики не инвариантны. Более того, уравнения электродинамики Максвелла привели к неожиданному выводу, что электромагнитные волны распространяются с постоянной, никогда не изменяющейся скоростью, равной скорости света (свет всегда движется со «скоростью света»).

Правило сложения скоростей:

Рисунок 5.1 – Преобразования Галилея

Все это кажется замечательным до тех пор, пока мы, вслед за 16-летним Эйнштейном, не зададимся вопросом: а что произойдет, если пуститься в погоню за светом, двигаясь при этом со скоростью света? Интуиция, основанная на законах механики Ньютона, подсказывает, что мы догоним световые волны, и они будут казаться нам неподвижными, свет как бы остановится. Однако экспериментальные данные говорят, что остановить свет невозможно – скорость света одинакова в разных системах отсчета!

61

Эйнштейн разрешил это противоречие в своей специальной

(частной) теории относительности (СТО), навсегда изменив наши представления о пространстве и времени.

В основе СТО лежат 2 простых свойства: одно касается света –

постоянство скорости света в вакууме, второе – принцип относи-

тельности: всегда, когда речь идет об абсолютной величине или о векторе скорости (величине скорости тела и направлении движения), следует точно указать, кто или что выполняет измерения.

Важность последнего утверждения легко понять на следующем примере. Каждый из нас хотя бы раз в жизни ездил на поезде, многие в купированных вагонах. Представьте, что вы едете в таком поезде, и опустили шторы, так что окна полностью закрыты. Теперь вам будет трудно определить, движетесь вы или стоите. Конечно, если поезд будет покачиваться, постукивать на стыках рельсов, то вы почувствуете, что движетесь. Однако если движение будет плавным, скорость поезда постоянной – идеальный поезд, то вы не сможете утверждать наверняка, движетесь вы или стоите. Купе с опущенными шторами выглядит совершенно одинаково независимо от того, стоит ли поезд или мчится с большой скоростью. В таком купе у нас нет возможности определить состояние нашего движения без прямого или косвенного сравнения с каким-либо «внешним» телом. На самом деле Эйнштейн понял, что принцип относительности означает большее: все законы природы должны быть абсолютно одинаковы в инерциальных системах отсчета.

Второй ключевой момент СТО связан со светом и его распространением: свет всегда движется со скоростью примерно 300 000 км/с, независимо от точки отсчета. Этот факт потребовал кардинальных пересмотров наших взглядов на Вселенную. Представим, что вы идете по тихой улочке на окраине города, и вдруг из подворотни выбегает разъяренный пес и мчится на вас. Вы, недолго думая, поворачиваетесь и бросаетесь бежать, поскольку это уменьшит скорость, с которой пес приближается к вам, и это даст вам шанс на спасение. В этом случае, для неподвижного наблюдателя (старушки, выглянувшей из окна соседнего дома) скорость приближения пса будет больше, чем с точки зрения наблюдателя, спасающегося бегством.

Теперь усложним ситуацию и немного пофантазируем, заглянем в будущее. Пусть теперь за вами бежит не собака, а соседский мальчик, взявший у своего отца-ученого мощный лазер поиграть, и вот-вот выстрелит в вас. Вы, хорошо зная своего соседа-ученого, недолго думая, бросаетесь к своему звездолету и пытаетесь скрыться. Что про-

62

изойдет, если вы опять станете убегать, пусть даже на своем звездолете, развивающем скорость 50 000 км/с? Мы знаем, что лазер стреляет пучком фотонов, скорость которых составляет 300 000 км/с. Следуя логике традиционного ньютоновского подхода, скорость фотонов должна быть меньше, поскольку вы убегаете: 300 000 – 50 000 = 250 000 км/с. Однако многочисленные эксперименты говорят о другом: даже, несмотря на то, что вы убегаете, результат измерения скорости приближающихся фотонов все равно составит 300 000 км/с и не меньше!

Возникает вопрос, как же нам теперь выразить положение тела через координаты другой системы отсчета. В классической механике при переходе из одной инерциальной системы отсчета (ИСО) в другую ИСО мы использовали преобразования Галилея. Чем же заменить преобразования Галилея, чтобы удовлетворить совокупности постулатов СТО?

Для связи координат и времени одних и тех же событий, наблюдаемых из различных ИСО, используют преобразования Лоренца (рисунок 5.2).

y y; z z

Рисунок 5.2 – Преобразования Лоренца

Итак, мы познакомились с положениями СТО. К чему же привели эти революционные взгляды на наш мир? Основное заключение, к которому мы приходим, состоит в том, что наше пространство – четырехмерно и что четвертным измерением является время. Более того, время не просто четвертое измерение – оно является полноправной частью пространства.

Что-то подобное обнаружил один древний философ, которого звали Зенон. Он написал так называемые апории, в которых отрицал

63

существование движения. Одна из апорий Зенона – про стрелу. Там Зенон предлагает рассмотреть летящую стрелу в какой-нибудь точке траектории. В ней, говорит Зенон, стрела покоится. Потом он предлагает рассмотреть стрелу в другой точке. В ней она – тоже покоится. И так далее, какую точку ни возьми – в ней стрела покоится. Значит, стрела покоится во всех точках траектории, то есть, покоится вообще.

На самом деле, Зенон сделал не что иное, как мысленным путем обнаружил четырехмерное пространство-время. Действительно, вспомните себя вчера, каким вы были? Это уже так навсегда, этого не вернешь и не изменишь. То же самое верно и для всех мгновений вашей жизни, они как бы навсегда запечатлены на кинопленке времени. А время – это четвертое полноправное измерение.

И все же интересно, как влияет движение на ход времени? Мы уже говорили о том, что дать определение времени довольно сложно, но все мы наверняка знаем, как можно измерить время, т. е. длительность интервала между событиями – с помощью часов. Часы, конечно же, бывают разные. Но нас будет интересовать фундаментальное влияние движения на ход всех часов, независимо от их внешнего вида или конструкции. Для этого воспользуемся самыми простыми (и наглядными) часами – так называемыми «световыми часами». Они состоят из двух параллельных зеркал, между которыми движется фотон, поочередно отражаясь от каждого из них (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Световые часы

Часы «тикают» каждый раз, когда фотон завершает свой путь туда и обратно. Пусть одни такие часы стоят на столе, а другие такие же движутся мимо с постоянной скоростью. Будут ли движущиеся часы тикать с той же скоростью, что и неподвижные?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим с нашей точки зрения путь, который должен пройти фотон в движущихся часах за время одного тика (рисунок 5.4). С нашей точки зрения фотон в движущихся часах перемещается по диагональному пути, который длиннее, чем путь вверх-вниз по прямой, по которому движется фотон в неподвиж-

64

ных часах. Таким образом, в движущихся часах фотон должен пройти большее расстояние, чтобы выполнить один тик, его тики будут более редкими, т. е. для движущихся часов ход времени замедляется!

Рисунок 5.4 – Схема движения фотона в движущихся световых часах

Ну ладно, скажите вы, это какие-то световые часы, но «Ролекс» то не обманешь! Хорошо, прикрепим «Ролекс» к световым часам и поместим их в идеальный поезд. Согласно принципу относительности, для наблюдателя, находящегося в поезде, не существует способа обнаружить влияние движения поезда. Однако, если световые часы и «Ролекс» будут показывать разное время, то это как раз и будет очевидным признаком влияния движения! Таким образом, для наблюдателя,

находящегося в движении, время течет медленнее, чем для неподвижного!

Факт. Если бы люди двигались со скоростью = 99,5 % от скорости света, то жили бы не 70, а 700 лет. Но при этом замедление времени распространяется не только на часы, которые они носят, но и на все виды их деятельности. (Если человек может прочитать 100 книг, то и, двигаясь со скоростью света, прочтет 100 книг).

Еще одно интересное следствие СТО – это сокращение длины тела, или так называемое Лоренцево сокращение. Оказывается, что движущийся со скоростью объект сокращается в направлении своего движения:

21 с2 .

Итак, Эйнштейн обнаружил, что движение тела распределяется не только в пространстве, но и во времени. На самом деле, в большинстве случаев большая часть перемещения объекта происходит во времени.

Всегда, когда мы договариваемся о встрече, мы указываем не только место встречи, но и время. Такие данные характеризуют собы-

65

тие в пространстве и времени или, для краткости, в пространствевремени.

Но вернемся к Эйнштейну, который провозгласил, что все объекты Вселенной всегда движутся в пространстве-времени с одной скоростью – скоростью света.

Абсурд! Ведь скорости тел гораздо меньше скорости света! Да, это правда. Но мы говорим о суммарной скорости тел во всех четырех измерениях – 3 пространственных и временном, и скорость тела равна скорости света именно в этом обобщенном смысле. Если тело неподвижно, то все его движение приходится на перемещение в одном измерении – во временном. Если тело начнет двигаться, то часть его движения будет отвлечена на перемещение в пространстве. Так объекты, которые перемещаются в пространстве со скоростью света, перемещаются исключительно в пространстве: для фотонов время остановилось, у них возраст такой же, как и в момент рождения. Например, реликтовые фотоны, образовавшиеся ~12 млрд лет тому назад в период рождения нашей Вселенной, такие же молодые, как и 12 млрд лет тому назад, т. е. часы идут медленнее, если они перемещаются в пространстве.

Факт. В 1971 г. двое американских студентов взяли два экземпляра очень точно показывающих время цезиевых часов в путешествие по всему миру. Согласно теории Эйнштейна, эти часы должны были показать разницу в 275 наносекунд. Ученые измерили разницу, и она составила 273 ± 7 наносекунд, т. е. точно, как предсказывалось в теории Эйнштейна.

Итак, работа Эйнштейна показала, что пространство и время взаимосвязаны и являются относительными. Более того, выяснилось, что и другие физические характеристики мироздания неожиданно тесно связаны между собой. Его самое знаменитое уравнение E0 = mc2, дает один из наиболее важных примеров такой связи. Из этого уравнения видно, что даже в небольшой массе сосредоточена колоссальная энергия. Например, когда на Хиросиму была сброшена ядерная бомба, в энергию было превращено около 1 % от 900 граммов урана.

Комментарии к СТО

Несмотря на то, что многие предсказания СТО на уровне интуиции кажутся невероятными, СТО – верна на строго математическом уровне и верна при любых скоростях перемещения тела в инерциальной системе отсчета!

66

В большинстве случаев практики поправки в расчеты движения тел потребны при скоростях v~(0,1 − 0,2)c, что соответствует

30 000 − 60 000 км/с!

Тем не менее, у СТО есть и крупный недостаток, состоящий в предпочтении исключительно инерциальным системам отсчета, которые в природе не встречаются. В течение целого ряда лет (начиная с 1907 г.), Эйнштейн безуспешно пытался построить модель тяготения в рамках СТО.

5.2 Общая теория относительности

Согласно СТО, существует абсолютный барьер для скорости – скорость света в вакууме. Это ограничение противоречит теории тяготения Ньютона. Гравитационное притяжение (по Ньютону) распространяется мгновенно на любом расстоянии (теория дальнодействия). С позиции современных полевых воззрений никакая информация не может распространяться быстрее скорости света в вакууме. Например, вспышка света от Солнца идет до Земли около 8 минут.

Все это свидетельствовало в пользу необходимости создания такой теории, которая отвечала бы принципу инвариантности всех законов природы в любых системах отсчета. Такой теорией стала реляти-

вистская теория гравитации – общая теория относительности

(ОТО). И вновь Эйнштейн совершил революцию в понимании свойств пространства и времени, показав, что они искривляются и деформируются, передавая действие силы тяжести.

Ранее нас интересовал вопрос о том, как выглядит мир для двух наблюдателей, двигающихся с постоянной скоростью. Тщательно сравнив точки зрения этих двух наблюдателей, мы получили ряд удивительных выводов о сущности пространства и времени. А что можно сказать о наблюдателях, двигающихся с ускорением? Точки зрения этих наблюдателей труднее поддаются анализу, чем в случае наблюдателей, двигающихся равномерно с постоянной скоростью. Поэтому мы будем вынуждены сделать несколько упрощений, дабы более наглядно проиллюстрировать получающиеся результаты.

Вернемся к Эйнштейну, который к 1907 г. пришел к замечательной идее: гравитационная и инертная массы эквивалентны. Это так называемый принцип эквивалентности, составляющий основу ОТО. Эйнштейн показал: оставаясь в некоем закрытом пространстве (закрытое купе поезда), невозможно определить, когда на тело будет воздействовать ускорение, а когда − сила тяготения.

67

Факт. Представим, что вы путешествуете в космосе на ракете. Как известно, на Земле действует сила тяготения, благодаря которой вы можем ходить по земле, в частности, по полу вашей ракеты. В космосе же наблюдается невесомость, и вы как бы парите в ракете. Но стоит только включить двигатели, и вас прижмет к полу ракеты, и вы вновь сможете ходить. Получается, что, если ваша ракета неподвижно стоит на поверхности Земли, вы чувствуете привычную силу, действующую на ваши ноги со стороны пола, но точно такими же будут ощущения, если вы ускоренно движетесь вверх.

Эта догадка позволила Эйнштейну прийти к пониманию того, что гравитация представляет собой искривление пространства-времени. Чтобы понять суть нового представления о гравитации, рассмотрим следующий пример: вращение Земли вокруг Солнца. Согласно ньютоновской теории тяготения, Солнце удерживает Землю на некой «привязи», которая каким-то образом мгновенно преодолевает огромные расстояния в пространстве и захватывает Землю. Эйнштейн же предложил новую концепцию того, что происходит. Он предположил, что в отсутствие материи пространство будет как бы плоским (рисунок 5.5). Но, если в пространстве присутствует массивное тело, то структура пространства вокруг этого тела искривляется (рисунок 5.6). Это аналогично той ситуации, когда мы прыгаем на батуте. Когда мы находимся в воздухе – батут выглядит гладким и плоским, но как только мы встаем на него, он проминается под нашим весом.

Рисунок 5.5 – Схематическое представление плоского пространства

Рисунок 5.6 – Схема искривления пространства в присутствии массивного тела

68

Итак, согласно Эйнштейну, пространство не является просто пассивной ареной событий во Вселенной, форма самого пространства изменяется под влиянием присутствующих в нем тел. И Земля остается на орбите вокруг Солнца потому, что катится по ложбине в искривленной структуре пространства. Земля движется не по искривленным гравитацией орбитам, она движется по линии, которая в искривленном пространстве более всего соответствует прямой в обычном пространстве и называется геодезической. Геодезическая линия – это самый короткий путь между двумя точками. Например, для жука, ползающего по глобусу, самым коротким путем из Америки в Россию будет именно по геодезической линии, хотя по прямой линии сквозь глобус было бы короче. Но дело в том, что жук может ползать только по поверхности глобуса и никак через него, при этом ему кажется, что он ползет по прямой линии. Именно этот принцип используют диспетчеры аэропортов, направляя самолеты по геодезическим линиям, поскольку это самый короткий путь между двумя аэропортами.

Согласно общей теории относительности, тела всегда перемещаются по прямым в четырехмерном пространстве-времени, но мы видим, что в нашем трехмерном пространстве они движутся по искривленным траекториям. (Понаблюдайте за самолетом над холмистой местностью. Сам он летит по прямой в трехмерном пространстве, а его тень перемещается по кривой на двумерной поверхности Земли).

Но и лучи света тоже должны следовать геодезическим линиям в пространстве-времени. Искривленность пространства означает, что свет уже не распространяется прямолинейно. Скорость света в областях, близких к источнику гравитационного поля, меньше скорости света в областях, удаленных от источника тяготения (рисунок 5.7). Чем сильнее гравитационное поле на пути света, тем медленнее распространяется свет (например, вблизи черных дыр).

Рисунок 5.7 – Схема распространения световой волны вблизи источника гравитационного поля

До 1915 г. пространство и время воспринимались как некая жесткая арена для событий, на которую все происходящее на ней никак не

69

влияет. Так обстояло дело даже в специальной теории относительности. Тела двигались, силы притягивали и отталкивали, но время и пространство просто оставались самими собой, их это не касалось. И было естественно думать, что пространство и время бесконечны и вечны.

Вобщей же теории относительности ситуация совершенно иная. Пространство и время рассматривается как динамические величины: когда движется тело или действует сила, это изменяет кривизну пространства и времени, а структура пространства-времени в свою очередь влияет на то, как движутся тела и действуют силы. Пространство

ивремя не только влияют на все, что происходит во Вселенной, но и сами изменяются под влиянием всего в ней происходящего. Как без представлений о пространстве и времени нельзя говорить о событиях во Вселенной, так в общей теории относительности стало бессмысленным говорить о пространстве и времени за пределами Вселенной.

Взаключение хочется отметить, что на сегодняшний день никакие эксперименты на современном оборудовании не выявили отклонений от общей теории относительности.

Эмпирические доказательства ОТО:

-отклонение световых лучей вблизи Солнца;

-замедление времени в гравитационном поле;

-смещение перигелиев планетных орбит.

Факт. Первые эксперименты по измерению отклонения луча света вблизи Солнца были проведены во время солнечного затмения в 1919 г. и подтвердили предсказание А. Эйнштейна, сделанное четырьмя годами ранее.

В 1976 г. на высоту 104 км на ракете были подняты водородные часы, точность хода которых составляет 10-15 с. На Земле оставили точно такие же часы, предварительно синхронизировав с улетевшими часами. Через два года часы вернули и сравнили показания, разность 4,5·10-10 с совпала с расчетной по ОТО, с точностью 0,02 %.

Наблюдения также показывают, что за 100 лет перигелий Меркурия поворачивается на 5600" (угловых секунд), где 5025" это поворот самой системы отсчета, а 575" это динамическое смещение, обусловленное влиянием объектов Солнечной системы.

70