- •Тема VII. Ряды
- •Необходимый признак.
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
- •Если существует конечный и отличный от нуля предел , то рассматриваемые ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.
- •Пример 1. Доказать сходимость ряда
- •Интегральный признак Коши
- •Тогда ряд и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно (т.Е. Из сходимости интеграла следует сходимость ряда и наоборот).
- •Знакопеременные ряды.
- •Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, т.Е. Если выполняются следующие два условия:
- •Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда
- •Пример 2. Найти область сходимости ряда:
- •Решение.
- •Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
- •Пример 5. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Решение
- •Пример 6. Найти промежуток сходимости ряда
- •Таким образом, на концах интервала данный ряд расходится. Промежутком сходимости является интервал .
- •Пример 7 Найти область сходимости степенного ряда
- •Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
- •Разложение функций в степенные ряды
- •Приближенные вычисления с помощью рядов
- •1. Приближенное вычисление значений функций
- •2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •3. Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Ряд Фурье
Пример 8. Найти область сходимости степенного ряда
.
Решение.
Поскольку данный ряд не содержит четных степеней х, формулами для нахождения радиуса сходимости пользоваться нельзя. Но это степенной ряд,
поэтому он заведомо сходится при х=2 (в центре ряда). При любых других значениях х исследуемый ряд можно привести к виду , посколькух не зависит от n и, следовательно, общий множитель можно вынести за знак суммы. Сделаем замену переменнойy=(x-2)2; тогда
(y>0). Этот ряд сходится при y<R, где . Приy=1 имеем ряд , который сходится как ряд Дирихле.
Таким образом, исследуемый ряд сходится при (х-2)21, т.е. х-21, т.е. 1х3.
Областью сходимости ряда является замкнутый промежуток [1;3].
Пример 9. Найти область сходимости ряда .
Решение. Сделаем замену переменной . Тогда задача сводится к исследованию сходимости степенного ряда. Радиус сходимости найдем по формуле Коши:. Приy=имеем ряд, который расходится как ряд Дирихле (р=1/2). Приy=получаем знакочередующийся ряд, который сходится (по признаку Лейбница).
Таким образом, исследуемый ряд сходится при y, т.е., откуда получаем условиеx>3 или x-3.
Область сходимости исследуемого ряда есть объединение двух лучей
(- -3] (3; ). Графически:
Решить: Найти промежуток сходимости функционального ряда:
A 1) 2)3);
4) 5)
6) 7)8)
9) 10)11)
12) 13)14)
B 15) 16)
(В последних задачах при подстановке граничных точек получаются числовые ряды, для исследования которых недостаточно приведенных в данном пособии признаков, так что эту часть решения выполнять не требуется)
B Вычисление сумм степенных и числовых рядов
Внутри области сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, т.е. если
, то
и .
Это позволяет во многих случаях вычислять сумму степенного ряда, учитывая, что сумма ряда бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле
.
Пример 1. Найти сумму ряда
Решение: Обозначим . Тогда внутри интервала сходимости данного ряда имеем:
Полученный ряд является рядом геометрической прогрессии, причем
b1=1, q=x. Следовательно, . Далее,
.
Таким образом, .
Пример 2. Найти сумму ряда .
Решение. При дифференцировании данного степенного ряда мы не получим ряд геометрической прогрессии, т.к. не сокращается знаменатель 2n-1. Представим данный ряд в виде
и найдем сумму ряда :
;
.
Тогда .
Пример 3. Найти сумму ряда
Решение. Представим данный ряд в виде:
Найдем сумму ряда S1(x), предварительно проинтегрировав его:
;
. Тогда искомая сумма ряда .
Пример 4. Найти сумму ряда .
Решение. Рассмотрим степенной ряд .
При х=1 этот ряд принимает вид данного числового ряда, поэтому искомая сумма числового ряда есть S(1). Найдем S(x):
;
.
Таким образом, .
Решить: Найти сумму ряда:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
Разложение функций в степенные ряды
Если функция f(x)имеет на некотором интервале, содержащем точкуа, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где rn – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число заключено между х и а.
Если для некоторого значения х rn0 при n, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
она имеет производные всех порядков;
построенный ряд сходится в этой точке.
При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:
Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2x.
Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0
f(x) = 2x, f(0) = 20=1;
f(x) = 2xln2, f(0) = 20 ln2= ln2;
f(x) = 2x ln22, f(0) = 20 ln22= ln22;
…
f(n)(x) = 2x lnn2, f(n)(0) = 20 lnn2= lnn2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -<x<+.
Пример 2. Написать ряд Тейлора по степеням (х+4) для функции f(x)=ex.
Решение. Находим производные функции ex и их значения в точке х=-4.
f(x) = еx, f(-4) = е-4;
f(x) = еx, f(-4) = е-4;
f(x) = еx, f(-4) = е-4;
…
f(n)(x) = еx, f(n)( -4) = е-4.
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -<x<+.
Пример 3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),
( т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).
Решение. Находим производные данной функции.
…
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при
х-1<1. Действительно,
Ряд сходится, если х-1<1, т.е. при 0<x<2. При х=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х=0) для некоторых элементарных функций:
(1) ,
(2) ,
(3) ,
(4) ,
(5).
(последнее разложение называют биномиальным рядом)
Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию
Решение. В разложении (1) заменяем х на –х2, получаем:
.
Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:
;
подставляя вместо х в формулу –х, получим:
Отсюда находим:
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
Этот ряд сходится в интервале
(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Замечание.
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а)m, где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.
Пример 6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точких=3.
Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Пример 7. Написать ряд Тейлора по степеням (х-1) функции .
Решение.
Ряд сходится при , или -2 <x 5.
Пример 8. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точкиx=2.
Решение. Сделаем замену t=х-2:
.
Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим , получим:
Полученный ряд сходится к заданной функции при , т.е. при.
Таким образом,
Решить: Разложить заданную функцию в ряд:
A 1)по степенямх 2)по степенямх
3)по степенямх 4)по степенямх
5)по степеням (х+1) 6)по степеням (х-2)
7)по степ.х 8)в ряд Маклорена
9) в ряд Маклорена 10)в ряд Маклорена