tfkp-lectures2009
.pdf
Функции комплексного переменного |
|
Элементарные аналитические функции |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
|
Ряды аналитических функций |
Принцип локализации и лемма о редукции |
Элементы теории вычетов |
Лемма Ватсона |
Преобразование Лапласа |
Главный член асимптотики интеграла Лапласа |
Асимптотические методы |
|
Метод Лапласа |
|
Метод стационарной фазы |
|
Лемма (1)
Пусть µ = sup S(x) и интеграл (1) сходится абсолютно при
x [a,b]
некотором λ = λ0. Тогда интеграл (1) сходится абсолютно при всех λ > λ0, и существует константа L > 0 такая, что
b
Z
|F (λ)| ≤ |f (x)|eλS(x) dx ≤ Leλµ.
a
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
Элементарные аналитические функции |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
|
Ряды аналитических функций |
Принцип локализации и лемма о редукции |
Элементы теории вычетов |
Лемма Ватсона |
Преобразование Лапласа |
Главный член асимптотики интеграла Лапласа |
Асимптотические методы |
|
Метод Лапласа |
|
Метод стационарной фазы |
|
Лемма (принцип локализации)
Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором λ = λ0, функции f (x) и S(x) непрерывны в точке x0 [a, b], являющейся единственной точкой строгого максимума функции S(x) на отрезке [a, b], f (x0) 6= 0. Тогда для каждой сколь угодно малой окрестности U = U(x0) точки x0 справедливо соотношение
|
Z |
|
|
|
|
|
|
F (λ) = |
|
λ |
|
+ |
|
, |
|
f (x)eλS(x) dx 1 + O(λ−∞) |
при |
→ |
∞ |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
U∩[a,b] |
|
|
|
|
|
|
где O(λ−∞) асимптотический нуль относительно асимптотической последовательности λ−n, n = 0, 1, 2, . . ., при
λ → +∞.
С. Г. Бугаева ТФКП ФФ НГУ (2009)
Функции комплексного переменного |
|
Элементарные аналитические функции |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
|
Ряды аналитических функций |
Принцип локализации и лемма о редукции |
Элементы теории вычетов |
Лемма Ватсона |
Преобразование Лапласа |
Главный член асимптотики интеграла Лапласа |
Асимптотические методы |
|
Метод Лапласа |
|
Метод стационарной фазы |
|
Лемма (Морса)
Пусть S Cn+k (U(x0)) и
S0(x0) = S00(x0) = . . . = S(n−1)(x0) = 0, S(n)(x0) 6= 0. Тогда существуют окрестность Ix = Ix (x0) U(x0) точки x = x0, окрестность Iy = Iy (0) R точки y = 0 и диффеоморфизм
ϕ: Iy → Ix , ϕ Ck (Iy ), такие, что ϕ(0) = x0, |
|
|
|
S(ϕ(y)) = S(x0) + αyn, α = sign S(n)(x0), ϕ0(0) = qn |
|
|S(n)(x0)| . |
|
|
|
n! |
|
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
Элементарные аналитические функции |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
|
Ряды аналитических функций |
Принцип локализации и лемма о редукции |
Элементы теории вычетов |
Лемма Ватсона |
Преобразование Лапласа |
Главный член асимптотики интеграла Лапласа |
Асимптотические методы |
|
Метод Лапласа |
|
Метод стационарной фазы |
|
Лемма (о редукции)
Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором λ = λ0, x0 [a, b] единственная точка строгого максимума функции S(x) на отрезке [a, b], f (x0) 6= 0, функция f (x) непрерывна в
точке x0, S Cn+1(U(x0)) и |
|
|
S0(x0) = S00(x0) = . . . = S(n−1)(x0) = 0, S(n)(x0) = 0. Тогда |
||
F (λ) = eλS(x0) Z f (ϕ(y))ϕ0(y)e |
6 |
|
−λyn dy 1 + O(λ−∞) |
|
|
Iy |
|
|
при λ → +∞,
где Iy = Iy (0) R окрестность точки y = 0 и ϕ диффеоморфизм из леммы Морса.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
Элементарные аналитические функции |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
|
Ряды аналитических функций |
Принцип локализации и лемма о редукции |
Элементы теории вычетов |
Лемма Ватсона |
Преобразование Лапласа |
Главный член асимптотики интеграла Лапласа |
Асимптотические методы |
|
Метод Лапласа |
|
Метод стационарной фазы |
|
Лемма (Ватсона)
Пусть α > 0, β > 0, 0 < d ≤ ∞, f C[0, d] и интеграл
|
|
d |
xβ−1f (x)e−λxα dx сходится абсолютно при некотором |
|||||||||||||
W (λ) = |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
при λ |
|
|
|
справедливы соотношения: |
|
|||||||
λ = λ |
|
R |
|
→ |
+ |
∞ |
|
|||||||||
|
0 |
. Тогда |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) если f (x) = |
kP |
ak xk + O(xn+1) при x → +0, то |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
n |
|
β+k |
|
|
β+k |
|
β+n+1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
λ− α + O(λ− α ); |
|
|
||||||
W (λ) = α k=0 ak α |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∞ f (k)(0) |
β+k |
β+k |
||
2) если f C∞(U(0)), то W (λ) ' |
α k=0 |
|
|
α λ− |
α . |
|||||||||||
k! |
||||||||||||||||
При этом асимптотический ряд |
можно почленно |
|
|
|||||||||||||
|
P |
|
|
|||||||||||||
диференцировать по λ любое количество раз.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
Элементарные аналитические функции |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
|
Ряды аналитических функций |
Принцип локализации и лемма о редукции |
Элементы теории вычетов |
Лемма Ватсона |
Преобразование Лапласа |
Главный член асимптотики интеграла Лапласа |
Асимптотические методы |
|
Метод Лапласа |
|
Метод стационарной фазы |
|
Теорема (о главном члене асимптотики интеграла Лапласа)
Пусть интеграл (1) сходится абсолютно при некотором λ = λ0, x0 [a, b] единственная точка строгого максимума функции S(x) на отрезке [a, b], f (x0) 6= 0, функция f (x) непрерывна в точке x0, f (x) = f (x0) + O(x − x0) при x → x0, S Ck (U(x0)). Тогда
1) |
если x0 |
= a, S0(a) = 0 (S0(a) < 0), k = 2, то |
|
|
|||||||||||
|
|
eλS(x0) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F (λ) = |
|
f (x0)(1 + O(λ−1)) при λ → +∞; |
|
||||||||||||
−λS0(x0) |
|
||||||||||||||
2) |
если x0 |
|
(a, b), S0(x0) = 0, S00(x0) = 0, (S00(x0) < 0), k = 3, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3) |
если x0 |
= a, S0(a) |
, |
00 |
|
|
, ( |
00 |
), |
, то |
|||||
то F (λ) = eλS(x0)f (x0) |
|
λ|S00(x0)| |
(1 + O(λ−1/2)) |
при λ → +∞; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 S (a) = 0 S (a) < 0 k = 3 |
|
||||||||
F (λ) = 2 eλS(x0)f (x0)q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ|S00(x0)| (1 + O(λ−1/2)) при λ → +∞. |
|||||||
1 |
|
2π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
|
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
Интегралы Фурье |
|
Ряды аналитических функций |
||
Фазовая функция без стационарных точек |
||
Элементы теории вычетов |
||
Оценка канонического интеграла |
||
Преобразование Лапласа |
||
Фазовая функция с невырожденной стационарной точко |
||
Асимптотические методы |
||
|
||
Метод Лапласа |
|
|
Метод стационарной фазы |
|
Интеграл Фурье:
b |
|
|
F (λ) = Z |
f (x)eiλS(x) dx, |
(1) |
a
где f : [a; b] → C, S : [a; b] → R, λ > 0, λ → +∞.
S(x) фазовая функция.
Лемма (Римана Лебега)
β
Пусть f L1(α; β), α, β R. Тогда R f (x)eiλx dx → 0 при
α
λ → +∞.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
|
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
Интегралы Фурье |
|
Ряды аналитических функций |
||
Фазовая функция без стационарных точек |
||
Элементы теории вычетов |
||
Оценка канонического интеграла |
||
Преобразование Лапласа |
||
Фазовая функция с невырожденной стационарной точко |
||
Асимптотические методы |
||
|
||
Метод Лапласа |
|
|
Метод стационарной фазы |
|
Обозначим L = −S01(x) dxd .
Теорема
Пусть I = [a; b] конечный отрезок, f Cn(I ), S Cn+1 S(x) 6= 0 при x I . Тогда при λ → +∞
n−1 |
eiλS(x)Lk |
|
f (x) |
b |
|
F (λ) = k=0(iλ)−k−1 |
S0(x) |
a + o(λn), |
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L0 = I (тождественный оператор).
(I ),
(2)
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
|
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
Интегралы Фурье |
|
Ряды аналитических функций |
||
Фазовая функция без стационарных точек |
||
Элементы теории вычетов |
||
Оценка канонического интеграла |
||
Преобразование Лапласа |
||
Фазовая функция с невырожденной стационарной точко |
||
Асимптотические методы |
||
|
||
Метод Лапласа |
|
|
Метод стационарной фазы |
|
Следствие (1) |
|
|
|
I . Тогда |
||||
Пусть f , S |
|
C∞(I ), S(x) = 0 при x |
|
|||||
|
∞ |
6 |
|
f (x) |
b |
при λ → +∞. |
||
F (λ) ' k=0(iλ)−k−1 heiλS(x)Lk |
S0(x) |
ia |
||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
Следствие (2) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Пусть f |
Cn[0; 2π], f (k)(0) = f (k)(2π), 0 ≤ k ≤ n. Тогда |
|||||||
2π |
f (x)eimx dx = o(m−n) при m + . |
|||||||
cm = |
||||||||
R
→ ∞
0
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
|
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
Интегралы Фурье |
|
Ряды аналитических функций |
||
Фазовая функция без стационарных точек |
||
Элементы теории вычетов |
||
Оценка канонического интеграла |
||
Преобразование Лапласа |
||
Фазовая функция с невырожденной стационарной точко |
||
Асимптотические методы |
||
|
||
Метод Лапласа |
|
|
Метод стационарной фазы |
|
Лемма (Эрдейи)
Пусть f C∞[0; d], 0 < d < ∞, α > 0. Тогда
d
Φ(λ) = R f (x)eiαλx2 dx = 12 pαλπ f (0)eiπ/4 + O(λ−1) при
0
λ → +∞.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |