tfkp-lectures2009
.pdf
Функции комплексного переменного |
|
|
|
|
||
Элементарные аналитические функции |
|
Понятие интеграла |
|
|||
Интегрирование функций комплексного переменного |
|
|
||||
|
Интегральная теорема Коши |
|||||
Ряды аналитических функций |
|
|||||
|
Интегральная формула Коши |
|||||
Элементы теории вычетов |
|
|||||
|
Интеграл типа Коши |
|
||||
Преобразование Лапласа |
|
|
||||
|
Первообразная. Теорема Мореры |
|||||
Асимптотические методы |
|
|||||
|
Принцип максимума модуля аналитической функции |
|||||
Метод Лапласа |
|
|||||
|
|
|
|
|||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
||
Свойства интеграла |
|
|
|
|
|
|
Аддитивность |
|
f (z) dz = |
f (z) dz + |
f (z) dz. |
||
γ1 |
γ2 |
|
|
γ1 |
γ2 |
|
Линейность |
R |
R |
R |
R |
|
|
R |
|
|
R |
|
||
(αf (z) + βg(z)) dz = α f (z) dz + β g(z) dz, где |
||||||
γ |
|
γ |
|
γ |
|
|
α, β C. |
|
|
|
γR− |
|
R |
Зависимость от ориентации |
|
f (z) dz = − |
f (z) dz. |
|||
γ
RR
Оценка интеграла f (z) dz ≤ |f (z)| |dz| ≤ M · L, где
γγ
p
|dz|= (dx)2+(dy)2=ds – элемент длины дуги кривой γ,
M = max |f (z)|, L длина кривой γ.
z γ
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Свойства интеграла (продолжение)
Почленное интегрирование функциональных рядов.
∞
P
Пусть ряд fk (z), состоящий из непрерывных на γ
k=1
функций, сходится равномерно на γ к функции f (z).
∞
R R P
Тогда f (z) dz = fk (z) dz.
γk=1 γ
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема
Пусть D C односвязная область, f аналитическая в D функция. Тогда для каждого простого кусочно-гладкого замкнутого контура γ D верно
Z
f (z) dz = 0.
γ
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема (интегральная теорема Коши для односвязной области)
Пусть D C ограниченная односвязная область, = ∂D кусочно-гладкая граница, f аналитическая в D и непрерывная в D = D функция. Тогда
Z
f (z) dz = 0.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема (интегральная теорема Коши для конечносвязной области)
Пусть D C ограниченная конечносвязная область,
= ∂D ориентированная кусочно-гладкая граница, f аналитическая в D и непрерывная в D = D функция. Тогда
Z
f (z) dz = 0.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема
Пусть D C ограниченная конечносвязная область,
= ∂D ориентированная в положительном направлении кусочно-гладкая граница, f аналитическая в D и непрерывная в D = D функция. Тогда
z D f (z) = 2πi Z |
t z . |
|
1 |
|
f (t) dt |
|
|
− |
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Следствие
Если выполнены условия предыдущей теоремы, то верна интегральная формула Коши
2πi Z |
t − z |
= |
(0, |
z |
C D. |
|
1 |
|
f (t) dt |
|
f (z), |
z |
D, |
|
∂D |
|
|
|
|
\ |
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема
Пусть γ C кусочно-гладкая кривая, f : γ → C непрерывная функция. Тогда в C \ γ интеграл типа Коши
F (z) = 2πi Zγ |
t − z |
|
1 |
|
f (t) dt |
(1)является аналитической функцией;
(2)бесконечно дифференцируем и
F (n)(z) = 2πi Zγ |
(t − z)n+1 . |
|
|
n! |
f (t) dt |
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Следствие (бесконечная дифференцируемость аналитической функции)
Пусть f аналитическая в области D C функция. Тогда f бесконечно дифференцируема в D.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Следствие (интегральные представления для производных)
Пусть D C ограниченная конечносвязная область,
= ∂D ориентированная в положительном направлении кусочно-гладкая граница, f аналитическая в D и непрерывная в D = D функция. Тогда
2πi Z |
(t − z)n+1 |
= |
(0, |
z |
C D. |
n! |
f (t) dt |
|
f (n)(z), |
z |
D, |
∂D |
|
|
|
|
\ |
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |