tfkp-lectures2009
.pdf
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема |
|
односвязной области D |
|
функция |
|||
Пусть |
f |
непрерывная в |
C |
||||
|
|
z |
|
|
|||
и для любых z0, z D интегралzzR0 |
f (t) dt не зависит от пути |
||||||
интегрирования. Тогда F (z) = zR0 |
f (t) dt аналитическая в D |
||||||
функция и F 0(z) = f (z). |
|
|
|
|
|
||
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Определение
Аналитическая в области D C функция Φ(z) называется первообразной для f (z), если Φ0(z) = f (z)
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема (Мореры)
Пусть f непрерывная в односвязной области D C функция и для каждого кусочно-гладкого замкнутого контура γ D
R
верно f (t) dt = 0. Тогда f аналитическая в D функция.
γ
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема (о среднем)
Пусть f аналитическая в B(z0; r) и непрерывная в B(z0; r)
функция. Тогда f (z0) = 1 |
2π |
|
f (z0 + reiϕ) dϕ. |
||
|
|
R |
|
2π |
0 |
|
|
|
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема (принцип максимума)
Пусть f 6≡const аналитическая в области D C функция,
M = sup |f (z)|. Тогда |f (z)| < M для z D.
z D
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Следствие (1)
Пусть f 6≡const аналитическая в области D C функция,
f 6= 0 в D, m = inf |f (z)|. Тогда |f (z)| > m для z D.
z D
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Понятие интеграла |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Интегральная теорема Коши |
||
Ряды аналитических функций |
||
Интегральная формула Коши |
||
Элементы теории вычетов |
||
Интеграл типа Коши |
||
Преобразование Лапласа |
||
Первообразная. Теорема Мореры |
||
Асимптотические методы |
||
Принцип максимума модуля аналитической функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Следствие (2)
Пусть D C ограниченная область, f 6≡const аналитическая в D и непрерывная в D функция. Тогда |f (z)| достигает своего наибольшего значения только в точках границы ∂D.
Следствие (3)
Пусть D C ограниченная область, f 6≡const аналитическая в D и непрерывная в D функция, f 6= 0 в D, Тогда |f (z)| достигает своего наименьшего значения только в точках границы ∂D.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Функциональные ряды. Теоремы Вейерштрасса. |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Степенные ряды. Теоремы Абеля. |
||
Ряды аналитических функций |
||
Ряд Тейлора |
||
Элементы теории вычетов |
||
Внутренняя теорема единственности |
||
Преобразование Лапласа |
||
Ряд Лорана |
||
Асимптотические методы |
||
Целые и мероморфные функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема (первая теорема Вейерштрасса)
Пусть fk (z) аналитические в области D C функции и ряд
∞
X
fk (z) |
(1) |
k=1
сходится равномерно на компакте K D к функции f (z). Тогда
1) f (z) аналитическая в D; 2)
∞ |
(z) в D n N |
(2) |
f (n)(z) = fk(n) |
||
X |
|
|
k=1
(ряд (1) можно почленно дифференцировать).
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Функциональные ряды. Теоремы Вейерштрасса. |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Степенные ряды. Теоремы Абеля. |
||
Ряды аналитических функций |
||
Ряд Тейлора |
||
Элементы теории вычетов |
||
Внутренняя теорема единственности |
||
Преобразование Лапласа |
||
Ряд Лорана |
||
Асимптотические методы |
||
Целые и мероморфные функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема (вторая теорема Вейерштрасса)
Пусть D C ограниченная область, fk (z) аналитические
|
|
|
∞ |
|
|
|
kP |
в D и непрерывные в D функции. Если ряд |
fk (z) сходится |
||
|
|
|
=1 |
равномерно на ∂D к функции f (z), то он сходится равномерно и в замкнутой области D.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |
Функции комплексного переменного |
|
|
Элементарные аналитические функции |
Функциональные ряды. Теоремы Вейерштрасса. |
|
Интегрирование функций комплексного переменного |
||
Степенные ряды. Теоремы Абеля. |
||
Ряды аналитических функций |
||
Ряд Тейлора |
||
Элементы теории вычетов |
||
Внутренняя теорема единственности |
||
Преобразование Лапласа |
||
Ряд Лорана |
||
Асимптотические методы |
||
Целые и мероморфные функции |
||
Метод Лапласа |
||
|
||
Метод стационарной фазы |
|
|
|
|
Теорема (первая теорема Абеля)
∞
1) Если ряд P ck zk сходится в точке z0 6= 0, то он сходится
k=0
абсолютно в круге B(0; |z0|) и равномерно в круге B(0; r),
r < |z0|.
∞
2) Если ряд P ck zk расходится в точке z1, то он расходится
k=0
для z: |z| > |z1|.
С. Г. Бугаева |
ТФКП ФФ НГУ (2009) |