Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

tfkp-lectures2009

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
1.12 Mб
Скачать
☆

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Пусть ω предельная точка множества D C.

Определение (1)

Последовательность функций ϕk : D → C называется

асимптотической при z → ω, если

k N ϕk+1(z) = o(ϕk (z)) при z → ω, z D.

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Определение (2)

Пусть {ϕk (z)} асимптотическая последовательность

∞

P

функций при z → ω. Формальный ряд ck ϕk (z), ck C,

k=1

называется асимптотическим разложением (асимптотическим рядом) функции f (z), если n N

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

при z → ω

 

 

 

 

f (z) =

 

ck ϕk (z) + o(ϕn(z))

(1)

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

f (z) =

ck ϕk (z) + O(ϕn+1(z)) при z → ω.

(2)

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначаем f (z)

'

kP

ck ϕk (z)

при z

ω.

 

 

 

 

 

 

 

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФФ НГУ (2009)

 

 

 

 

 

=1

Г. Бугаева

ТФКП→

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Определение (3)

Пусть {ϕk (z)} асимптотическая последовательность функций при z → ω. Функция h(z) называется асимптотическим нулём относительно последовательности {ϕk (z)} при z → ω, если k N h(z) = o(ϕk (z)) при z → ω.

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Теорема

Пусть f (z) и g(z) допускают асимптотическое разложение по асимптотической последовательности {ϕk (z)} при z → ω. Для того, чтобы асимптотические ряды для функций f (z) и g(z) совпадали, необходимо и достаточно, чтобы функция

h(z) = f (z) − g(z) была асимптотическим нулём относительно последовательности {ϕk (z)} при z → ω.

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Следствие

1)Пусть f (z) допускает асимптотическое разложение по асимптотической последовательности {ϕk (z)} при z → ω. Тогда асимптотический ряд для f (z) относительно асимптотической последовательности {ϕk (z)} при z → ω определён однозначно.

2)Двум разным функциям может соответствовать один и тот же асимптотический ряд.

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Теорема (1)

Пусть {ϕk (z)} асимптотическая последовательность

при z → ω, α, β C. Тогда

∞

∞

P

kP

функций при z

→ ω, f (z) '

ak ϕk (z) и g(z) '

bk ϕk (z)

 

 

k=1

=1

 

∞

 

 

(αf + βg)(z) '

kP

 

 

(αak + βbk )ϕk (z) при z → ω.

 

 

=1

 

 

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Теорема (2 об интегрировании действительных асимптотических разложений)

Пусть 1) функции ϕk (x) > 0 непрерывны на (a; ω) и образуют асимптотическую последовательность при x → ω − 0;

x

ω 0;

 

 

 

∞

 

 

 

kP

2) функция f (x) непрерывны на (a; ω) и f (x) '

ck ϕk (x) при

→

−

 

 

 

=1

 

ω

ω

 

 

x [a; ω)

ΦR(x) > 0

R

 

3) интегралы

Φk (x) =

ϕk (t) dt и F (x) = f (t) dt сходятся

 

 

 

x

x

 

при

. Тогда

k

образуют асимптотическую

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

kP

ck Φk (x) при

последовательность при x → ω − 0 и F (x) '

x → ω − 0.

 

 

=1

 

 

 

 

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Теорема (1)

 

 

∞

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

Пусть f (z) ' k=0 ak zk и g(z) ' k=0 bk zk степенные

 

 

P

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

асимптотические разложения при z

→

0. Тогда

 

 

 

 

 

 

1) (αf + βg)(z) ' ∞ (αak + βbk )zk

при z → 0, α, β C;

 

 

 

∞

kPk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

(f · g)(z)

' k=0 ck z при z → 0, где

 

 

 

 

 

c = a0b + a1bk

−

1 + . . . + ak b0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

k

 

→ 0, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) если b0 6= 0, то (f /g)(z) ' k=0 dk z

 

при z

коэффициенты

d

 

 

соотношений a

 

= b

d

,

 

 

k

находят из P

 

 

 

0

0

0

 

a1 = b0d1 + b1d0, . . . , ak = b0dk + b1dk−1 + . . . + bk d0.

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Асимптотические последовательности и асимптотически

Элементы теории вычетов

Свойства асимптотических разложений

Преобразование Лапласа

Степенные асимптотические разложения

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Теорема (2)

Пусть f : (0; a) → R и

∞

 

X

 

f (x) ' ck xk при x → +0.

(3)

k=0

Тогда 1) если функция f (x) непрерывна на интервале (0; a), то

x

∞

ck xk+1

при x → +0;

R f (t) dt ' P

k+1

0k=0

2) если f C1(0; a) и её производная допускает

асимптотическое разложение f 0(x)

∞

c0 xk

при x

 

 

+0, то

' k=0

→

 

 

k

 

 

 

 

 

 

это разложение можно получить

почленным

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференцированием разложения (3), т. е. ck0

=

 

(k +

1)ck

+1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)

Функции комплексного переменного

 

Элементарные аналитические функции

 

Интегрирование функций комплексного переменного

 

Ряды аналитических функций

Принцип локализации и лемма о редукции

Элементы теории вычетов

Лемма Ватсона

Преобразование Лапласа

Главный член асимптотики интеграла Лапласа

Асимптотические методы

 

Метод Лапласа

 

Метод стационарной фазы

 

Интеграл Лапласа:

b

 

 

F (λ) = Za

f (x)eλS(x) dx,

(1)

где f , S : [a, b] → R, λ > 0, λ → +∞.

С. Г. Бугаева

ТФКП ФФ НГУ (2009)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности