Linal

1Комплексные числа

1.1Определение; операции с комплексными числами

Определение 1. Комплексное число это пара вещественных чисел (a, b), операции сравнения и арифметические вводятся согласно аксиомам:

1. (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

2.(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

3.(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

4.Пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a. Обычно используют запись a + bi.

Âзаписи a + bi символ i называется мнимой единицей; операции с комплексными числами аналогичны операциям с комплексными числами, только надо помнить, что i2 = −1. Заметим, что при возведении

вещественного числа в квадрат получается положительное число, поэтому i не может быть обычным вещественным числом.

Предложение 1. Для комплексных чисел выполняются следующие свойства операций:

1.Коммутативность сложения: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).

2.ассоциативность сложения: ((a + ib) + (c + id)) + (f + ih) = (a + ib) + ((c + id) + (f + ih))

3.(a + ib) + (0 + i0) = a + ib, так что число (0 + i0) = 0 играет роль нуля и в комплексных числах.

4.коммутативность умножения: (a + ib)(c + id) = (c + id)(a + ib).

5.Дистрибутивность: ((a + ib) + (c + id))(f + ih) = (a + ib)(f + ih) + (c + id)(f + ih).

6.ассоциативность умножения: ((a, b)(c, d))(f, h) = (a, b)((c, d)(f, h)).

7.(a + ib)(1 + i0) = (a + ib), то есть число (1 + i0) = 1 играет роль единицы в комплексных числах.

8.(a + bi)0 = 0.

2.z1 + z2 = z1 + z2

3.z1z2 = z1 + z2

4.z2 z2

5.z1n = z1nz1 z1=

вещественной частью z и обозначают как Re(z), а вещественное число b называют мнимой частью z и обозначают как Im(z).

Внимание! вещественная и мнимая часть комплексного числа всегда вещественны!

1

1.2Тригонометрическая форма записи комплексного числа; формула Муавра; корни из комплексных чисел.

Согласно определению комплексное число определяется парой вещественных чисел (a, b). Такую пару естественно изображать в виде точки плоскости с координатами (a, b). Таким образом комплексное число можно

представить в виде точки плоскости, или вектором из начала координат в эту точку. Тогда операция сложения комплексных чисел естественно интерпритируется как сложение векторов. А вычитание комплексных чисел эквивалентно вычитанию соответствующих векторов.

Рассмотрим на плоскости полярную систему координат, тогда каждой точке (комплексному числу) может быть сопоставлена пара чисел (r, φ). Число r = |z| называется модулем комплексного числа z, а угол φ = Argz,

называется аргументом z, аргумент числа определяется не однозначно. А именно с точностью до 2πk, где k

произвольное целое число.

Из связи полярных и прямоугольных координат очевидно следует, что если z = x + yi, то

p y x = r cos φ, y = r sin φ, r = x2 + y2, tg φ = x .

Таким образом комплесное число z = a + bi можно представить в виде:

z = r(cos φ + i sin φ)

такое представление называется тригогометрической формой записи числа z.

Предложение 3. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули и аргументы отличаются на 2πk, где k произвольное целое число.

Предложение 4. Пусть есть два комплесных числа z1, z2 представленых в тригонометрической форме. Тогда

1. z1z2 = r1r2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)),

2. z1 = r1 (cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2)).

z2 r2

3. z = r(cos(−φ) + i sin(−φ))

То есть при умножении, модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении, модули деляться, а аргументы вычитаются.

Поскольку в тригонометрической форме легко перемножать комплексные числа, легко и возводить их в степени.

zn = rn(cos nφ + i sin nφ)

2

Эта формула называется формулой Муавра.

Для натуральных чисел n формула Муавра легко следует из первого пункта предложения; для n = 0 формула очевидна. Для n < 0 формулу легко доказать, принимая во внимание 1 = 1 + 0i = 1(cos 0 + i sin 0).

Следующий этап научиться извлекать корни из комплексных чисел.

Заметим, что если k2 = k1 + kn, òî ψ2 = ψ1 + 2kπ и поэтому w1 = w2. Поэтому у нас не бесконечное

1.3Корни из единицы

Отдельно мы рассмотрим корни n-той степени из 1. Так как |1| = 1 и arg(1) = 0, то корни n-той степени из 1,

Корни из единицы очень хорошо изображаются на плоскости, они представляют собой правильный n- угольник вписанный в единичную окружность с одной из вершин в 1.

Определение 5. Корень n-той степени из 1, ε называется первообразным корнем степени n, если εm 6= 1 ïðè âñåõ 0 < m < n.

Теорема 1. Число εk является первообразным корнем из 1, степени n тогда и только тогда, когда k и n взаимнопросты.

Proof. Действительно εnk = 1 для любых k. Пусть k и m взаимнопросты, и пусть εk не первообразный корень.

2.Число, обратное корню степени n и 1, также корень степени n из 1.

3.Если z корень из 1, то z−1 = z.

4.Пусть ε первообразный корень степени n из 1, тогда любой другой корень этой степени получается возведением ε в некоторую степень.

Proof. Доказать 1 и 2.

Доказательство 3. Действительно εk корень степени n из 1. Пусть εk = εl, тогда εk−l = 1, то есть, так как корень первообразный, то k = l или k − l = nm. То есть εk, где k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 это все разные числа, и они корни из 1, то есть это все корни из 1.

3

2Системы линейных уравнений

2.1Определение; метод Гаусса

В жизни (и в физике) линейные уравнения и системы линейных уравнений встречаются очень часто. Даже более того, если система уравнений изначально нелинейна, очень часто ее приближают линейной системой, чтобы найти приближенное решение, что очень важно в практических инженерных и физических задачах.

Давайте попробуем решить легкую задачу с вариациями.

Задача 1. Золушка отделяла фасоль от гречки, раскладывая их по банкам. В одну банку входит килограмм гречки или 600 грамм фасоли. Смеси было 10 килограммов, а банок с продуктами получилось 12 штук. Сколько чего было?

Ответ: 3 кг фасоли; 7 кг гречки.

Задача 2. Золушка отделяла просо от гречки. В банку входит либо килограмм гречки, либо килограмм проса. Смеси было 10 килограммов, а банок с продуктами получилось 10 штук. Сколько чего было?

Ответ: гречки=(10-проса) кг.

Задание 3. Золушка отделяла пшено от риса. В банку входит 800 грамм риса или 800 грамм пшена. Смеси было 12 килограммов. У Золушки получилось 14 банок. Сколько чего было?

Ответ: такого быть не могло.

Определение 6. Системой линейных уравнений называется формальная запись вида:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

(S) a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

. . .

ak1x1 + ak2x2 + . . . + aknxn = bk

Здесь aij è bi некоторые числа. xi неизвестные. Числа aij называются коэффициентами, а bi свободными членами.

Определение 7. Упорядоченный набор чисел {c1, c2, . . . , xn} называется решением системы линейных уравнений (S), если при подстановке в систему (S) числа c1 вместо x1, c2 вместо x2... cn вместо xn.

Определение 8. Решить систему линейных уравнений означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Если решений бесконечно много, то мы не можем явно выписать все решения, поэтому мы выписываем общий вид решения.

Заметим, что если все коэффициенты системы собрать в одну матрицу A = (aij), переменные в столбец переменных, а свободные члены в столбец свободных членов, то систему можно переписать в виде:

Ax = b.

Определение 9. Системы (S1) è (S2) равносильны, если множества их решений совпадают.

Определение 10. Система (S1) называется следствием системы (S2), если любое решение системы (S2) является решением системы (S1).

Предложение 6. (S2) (S1), åñëè (S1) (S2).

Предложение 7. Системы (S1) è (S2) равносильны, если (S2) (S1) è (S1) (S2)

Теорема 2 (Элементарные преобразования). 1. Если в систему дописать нулевое уравнение или вычеркнуть из системы нулевое уравнение, то система перейдет в равносильную.

2.Если в системе уравнения поменять местами, система перейдет в равносильную.

3.Если в системе уравнение умножить на ненулевое число, система перейдет в равносильную.

4.Если к одному уравнению системы прибавить другое, умноженное на число, система перейдет в равносильную.

Доказательство: доказываем, что если какое-то решение подходило в старую систему, оно будет подходить и в новую (после преобразования). Доказываем, что обратное преобразование уже в списке доказанных.

Заметим, что данные преобразования похожи на преобразования для поиска определителя. Поэтому для решения системы линейных уравнений будем пользоваться методом Гаусса:

4

1.Åñëè какая-то переменная не входит в систему, то она может принимать любое значение.

2.Ищем первую по номеру переменную, которая входит в систему линейных уравнений.

3.Меняем местами уравнения так, чтобы уравнение, содержащее эту переменную, было первым.

4.При помощи элементарных преобразований исключаем эту переменную из всех остальных уравнений.

5.Первое уравнение системы теперь оставлено для этой переменной.

6.Переходим к меньшей системе с меньшим количеством уравнений.

7.Если в системе получается нулевое уравнение его можно вычеркнуть.

8.Если в системе получается уравнение вида 0x1 + . . . + 0xn = c, где c 6= 0, то система линейных уравнений не имеет решений.

9.В самом конце осталось несколько уравнений, которые мы оставляли для наших переменных, и еще (возможно) несколько переменных, для которых не хватило уравнений.

10.Выражаем переменные.

пример.

Переменные, которым не хватило уравнения, называются свободными. Свободные переменные могут быть равны любому числу. Остальные переменные называются зависимыми. Зависимые переменные вычисляются в зависимости от зависимых. Некоторые зависимые переменные могут быть сразу равны какому-то числу.

Заметим, что у системы может быть одно решение; может не быть решений вовсе; а может быть и бесконечно много решений.

Теорема 3 (Правило Крамера). Пусть в системе (S) количество уравнений равно количеству переменных, а det(A) 6= 0. Тогда система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам: xi = det(iA) .

Доказательство: если у матрицы А ненулевой определитель, она обратима. Выпишем обратную по явной формуле обратной матрицы. Из уравнения Ax = b получим x = A−1b. Подставим значение для обратной

матрицы, получим требуемое.

Предложение 8. Однородная система уравнений всегда совместна.

Если уравнений меньше, чем неизвестных, то у системы есть ненулевое решение.

Воспользуемся методом Гаусса. За чертой всегда будут только нули, поэтому не может получится "особая" строчка, т.е. система не может остаться несовместной. Если уравнений меньше, чем неизвестных, то всегда будут независимые переменные, которые можно положить равными чему угодно (в том числе, можно взять ненулевыми).

5

3Векторные пространства

3.1Определение

У нас часто будут теоремы, определения, которые справедливы для множества вещественных чисел R, так и для множества комплексных чисел C. Поэтому мы будем писать "поле F", чтобы два раза не повторять, что все справедливо и для R, и для C. Если какая-то теорема или определение будет верна только для одного из этих полей так прямо и будет сказано.

Определение 11. Множество V называется векторным пространством над полем F, если: u, v V определен вектор u + v V , причем:

1.u, v V u + v = v + u (коммутативность)

2.u, v, w V (u + v) + w = u + (v + w) (ассоциативность)

3.O V : u V u + O = u (наличие нуля)

4.u V u V : u + u = O (наличие противоположного)

α F u V определен вектор αu со свойствами:

1.1v = v;

2.α(u + v) = αu + αv

3.(α + β)u = αu + βu

4.(αβ)u = α(βu)

Примеры. Вектора на плоскости. Вектора в пространстве. Матрицы размера n Ч m. Вектора с произвольным числом координат.

Предложение 9 (Элементарные свойства.). 1. Ноль-вектор единственный.

2.Обратный вектор единственный.

3.αu = O α = 0 èëè u = 0.

4.(−1)u = u. Поэтому будем обозначать u как −u.

Доказательство.

Единственность нуля: O1 + O2 = O1 = O2.

Единственность обратного: u = u + 0 = u + u + u = 0 + u = u.

Умножение на нуль: 1. Докажем, что 0v = 0. 0v + v = 0v + 1v = (0 + 1)v = 1v = v. Прибавляем v к обеим частям равенства 0v + vv = v + v. Получаем 0v = 0.

2.Докажем, что α0 = 0. α0 + αu = α(0 + u) = αu. Добавляем к обеим частям αu получаем требуемое.

3.Пусть теперь αu = 0. Предположим, что α 6= 0. Тогда u = 1u = (αα1 )u = α1 0 = 0.

Обратный. 0 = 0u = (1 + (−1))u = 1u + (−1)u = u + (−1)u. Добавляем с двух сторон u, получем требуемое.

3.2Линейная зависимость

Определение 12. Пусть u1, u2, . . . , uk вектора из V . Выражение вида α1u1 + α2u2 + . . . + αkuk, ãäå αi числа, называется линейной комбинацией векторов u1, u2, . . . , uk.

Линейная комбинация вида 0u1 + 0u2 + . . . + 0uk называется тривиальной.

Заметим, что линейная комбинация векторов снова вектор из V .

Определение 13. Система векторов u1, u2, . . . , uk называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0.

Система векторов u1, u2, . . . , uk называется линейно независимой (ЛНЗ), если из того, что линейная комбинация этих векторов равна 0, следует, что эта комбинация тривиальна.

Предложение 10 (Свойства лз и лнз систем векторов). 1. Если в системе есть нулевой вектор, то она линейно зависима.

6

2.Если в системе есть линейнозависимая подсистема, то вся система линейно зависима. В линейно независимой системе любая подсистема линейно независима.

3.Система линейна зависима хотябы один вектор системы выражается через остальные (то есть является линейной комбинацией остальных).

4.Если при исключении одного вектора из линейно зависимой ситемы получается линейно незавимая, то исключенный вектор есть линейная комбинация остальных.

Определение 14. Пусть u1, u2, . . . , un V линейно независимая система векторов, причем любой вектор пространства является ЛК этой системы векторов. Тогда система u1, u2, . . . , un называется базисом векторного пространства V.

Определение 15. Количество векторов в базисе в.п. V называется размерностью в.п. V. Обозначение: dimV .

Теорема 4. В любом базисе одинаковое количество векторов.

Лемма 1. Если в системе векторов v1, . . . , vn V больше векторов, чем в базисе пространства V , эта система ЛЗ.

Proof. Пусть базисе вектора {u1, . . . , uk} (k < n).

Выразим вектора vi через базис. vi = αi1u1 + . . . + αikuk Составим нулевую л.к. векторов vi. Ò.å. x1v1 +

. . . + xnvn = 0 == x1(α11u1 + . . . + α1kuk) + . . . + xn(αn1u1 + . . . + αnkuk) == (x1α11 + x2α21 + . . . + xnαn1)u1 +

. . . + (x1α1k + x2α2k + . . . + xnαnk)uk.

Следовательно, получаем k уравнений x1α1i +x2α2i +. . .+xnαni = 0. Т.е. получаем систему из k уравнений и n неизвестных (неизвестных больше, чем уравнений). У этой системы есть ненулевое решение. Следовательно, система векторов v1, v2, . . . , vn линейно зависима.

Из леммы легко следует теорема.

Теорема 5. Любой вектор раскладывается по базису единственным образом.

1.Любой вектор раскладывается по базису по определению базиса.

2.Разложение единственно, т.к. базис лнз.

3.3Матрица перехода

Пусть e1, . . . , en базис пространства V. Любой вектор можно разложить по базису единственным образом v = α1e1 + . . . + αnen. Чтобы восстановить вектор достаточно хранить только коэффициенты αi (будем записывать

Как связаны разложения по двум базисам?

Разложим вектора базиса e0 по базису e. Столбики запишем в матрицу. Получим матрицу Te→e0 . Эта матрица называется матрицей перехода от базиса e к базису e0.

Óэтой матрицы есть следующие свойства:

1.Для любого вектора v V ve = Te→e0 ve0 .

2.Te0→e = Te−→1e0 .

3.Te→e00 = Te→e0 Te0→e00 .

Доказательство было в прошлом семестре для 3-мерных пространств, повторять не будем, все аналогично.

7

3.4Подпространства

Определение 16. Пусть V векторное пространство над полем F, W V . Причем, W само является векторнып пространством над F с теми же операциями сложения векторов и умножения вектора на число. Тогда W называется подпространством пространства V. Обозначение: W < V .

Предложение 11. Пусть V векторное пространство над F. W V . Тогда W является подпространством тогда и только тогда, когда выполнены два свойства:

1.u, v W u + v W .

2.v W, α F αv W .

Свойства из определения векторного пространства выполнены в силу того, что вектора из W в частности являются векторами V.

Предложение 12. W, U < V , тогда W ∩ U < V .

Доказетельство по предыдущему утверждению очевидно.

Заметим, что объединение подпространств не всегда является подпространством. Например, множество векторов, параллельных оси Ох пусть будет подпространством U. Множество векторов, параллельных оси Оу

подпространством W . Объединение двух множеств не является подпространством. (Складываем один вектор, параллельный одной оси, второй вектор, параллельный другой оси, получаем вектор не из объединения).

Определение 17. Пусть S некоторое множество векторов. Линейной оболочкой множества S называется множество всех линейных комбинаций векторов из S. Обозначение: Lin(S)

Предложение 13. Любое векторное пространство является линейной оболочкой своего базиса.

По определению базиса любой вектор является ЛК базиса. Это и означает, что все вектора находятся в линейной оболочке базиса.

Предложение 14. S V . Lin(S) < V .

Если сложим две ЛК, получим новую ЛК. Если ЛК умножить на число, получится снова ЛК.

Теорема 6 (Метод Гаусса для нахождения базиса). S V Lin(S) = Lin(S0) eñëè

1.vi0 = vi + αvj; остальные vk0 = vk.

2.S0 получено из S добавлением или вычеркиванием нуль-вектора.

3.vi0 = αvi, остальные не изменились. ( α 6= 0)

Вектора, образующие ступенчатую систему, лнз.

Переформулировав иначе: если к системе векторов применить метод Гаусса, то вектора, полученные на последнем шаге будут базисом Lin(S).

Ступенчатая система векторов система ненулевых векторов, т.ч. первая ненулевая координата i-ого вектора позже, чем первая ненулевая координата предыдущих векторов.

Proof. 2. Любая ЛК с нуль-вектором может быть представлена как ЛК без нуль-вектора простым вычеркиванием этого слагаемого.

3. Если вектор умножили на α, надо просто во всех ЛК коэффициент перед этим вектором поделить на α.

Т.е. множество линейных комбинаций не изменится. 1. Если α − 0, то S = S0 и все очевидно.

α1v1 + . . . + αivi + . . . + αjvj + . . . = α1v1 + . . . + αi(vi + αvj) + . . . + (αj − αiα)vj + . . .

Т.е. если была ЛК векторов S, получается ЛК векторов S0. И наоборот.

Про ступенчатую систему. Пусть v1, v2, . . . ступенчатая система. Составим ЛК этих векторов, равную нулю. α1v1 + α2v2 + . . . = 0.

Рассмотрим первую ненулевую координату первого вектора. У остальных векторов на этом месте еще нулевая координата. Когда складываем вектора с коэффициентами, вклад дает только эта самая первая ненулевая координата первого вектора. А в результате нулевой вектор, т.е. на этом месте ноль. Поэтому коэффициент перед первым вектором 0. Теперь аналогично рассмотрим второй вектор и его первую ненулевую координату. Мы знаем, что первый вектор в линейную комбинацию не входит, а у остальных векторов на этом месте нули. Поскольку в результате-то нуль, то и коэффициент перед вторым вектором должен быть равен нулю. И т.д. Получаем, что все коэффициенты равны нулю.

8

Определение 18. V1, . . . Vn < V . Множество V1 +. . .+Vn = {v1 +v2 +. . .+vn|vi Vi} будем называть суммой подпространств V1, . . . Vn.

Предложение 15. V1 + . . . + Vn < V

Определение 19. Сумма подпространств V1, V2, . . . Vn называется прямой, если v V1 + V2 + . . . + Vn

!v1, v2, . . . vn : v = v1 + . . . + vn. Обозначение: V1 V2 . . . Vn.

Теорема 7. V1 V2 V1 ∩ V2 = 0.

Proof. ¾ ¿ Äàíî: V1 V2. Доказать, что V1 ∩ V2 = 0.

Доказывать будем от противного. Предположим, что v 6= 0 V1, V2. Тогда вектор v = 0 + v = v + 0. Слагаемое из V1 можно взять 0, а можно взять v. Т.е. выбор не однозначен. И следовательно, сумма не прямая.

¾ ¿ Äàíî: V1 ∩ V2 = 0. Доказать, что разложение произвольного вектора v в сумму v1 + v2, ãäå v1 V1, à v2 V2 единственно.

Предположим, что какой-то вектор раскладывается двумя разными способами. v = v1 + v2 = w1 + w2. Перенесем v1 − w1 = w2 − v2. Вектор в левой части из V1, вектор в правой из V2. Поскольку вектора равны, значит они из пересечения. Но в пересечении только нуль-вектор. Значит, v1 − w1 = w2 − v2 = 0. Отсюда следует, что изначально 2 разложения вектора v в сумму были одинаковые.

Лемма 2. Линейно независимую систему систему векторов можно дополнить до базиса всего пространства.

Рассмотрим линейную оболочку системы. Либо она является всем пространством (тогда сама система уже базис). Либо можно взять вектор не из лин.оболочки и добавить его в базис.

Теорема 8. dimV1 + dimV2 = dim(V1 ∩ V2) + dim(V1 + V2)

Proof. Построим базис пересечения e1, . . . , ek. Заметим сразу, что dim(V1 ∩ V2) = k

По лемме, его можно дополнить до базиса V1. Т.е. базис V1 ýòî e1, . . . , ek, f1, . . . fn. Дополним базис пересечения до базиса V2: e1, . . . , ek, g1, . . . , gm. Заметим сразу, что dimV1 = k + n, à dimV2 = k + m.

Рассмотрим множество e1, . . . , ek, f1, . . . , fn, g1, . . . , gm базис V1 + V2.

Любой вектор из суммы v = v1 + v2. Первое слагаемое выражается через e и f, второе через e и g. Значит, весь вектор v выражается через e, f, g.

Теперь надо доказать, что построенный набор векторов лнз. Составим нулевую ЛК этих векторов:

α1e1 + . . . αkek + β1f1 + . . . + βnfn + γ1g1 + . . . + γmgm = 0

Перенесем вектора g в правую часть. Тогда в левой части окажется вектор из V2, а в левой из V1. Поскольку они равны, вектор должен оказаться из пересечения. Значит, вектор −γ1g1 −. . . −γmgm выражается через e. Но тогда −γ1g1 − . . . − γmgm = δ1e1 + . . . + δkek

Переносим в одну часть, получаем нулевую ЛК. Но вектора e, g образуют базис V2, а следовательно ЛНЗ. Значит, эта ЛК тривиальная. Значит, γ1 = . . . = γm = 0.

Совершенно аналогично доказываем, что β1 = . . . = βn = 0 (если сначала перенесем в правую часть не g-вектора, а f).

Из изначальной ЛК осталось только α1e1 + . . . + αkek = 0. Но вектора e изначально были базисом, т.е. лнз. Поэтому комбинация тривиальна.

Значит, вся исходная комбинация тривиальна. Значит, система векторов e, f, g лнз.

Мы доказали, что e, f, g составляют базис V1 + V2. Таким образом, dimV1 + V2 = k + n + m. Равенство в формулировке теоремы проверяется тривиально.

9

4Ранги матриц

Определение 20. Количество лнз строк матрицы называется (строчечным) рангом матрицы.

Определение 21. Количество лнз столбцов матрицы называется (столбцевым) рангом матрицы.

Определение 22. Размер максимального ненулевого минора матрицы называется (минорным) рангом матрицы.

Теорема 9. Все три определения эквивалентны.

Для этого надо доказать лемму, что элементарные преобразования хоть строк, хоть столбцов не изменяют всех этих трех рангов. А затем привести матрицу к диагональному виду. (Эл. преобразования: умножение строки на ненулевое число; вычеркивание нулевой строки; поменять местами строки; прибавить к одной строке другую, умноженную на число).

Как следствие получаем:

Теорема 10. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда строки (столбцы) этой матрицы ЛЗ.

Proof. Строки ЛЗ ранг (строчечный) меньше размера матрицы ранг (минорный) меньше размера матрицывся матрица имеет нулевой определитель (иначе минорный ранг был бы равен размеру матрицы).

4.1Системы линейных уравнений

Теорема 11. Множество решений системы линейных уравнений образует подпространство в множестве всех решений тогда и только тогда, когда система линейных уравнений однородна.

Proof. ¾ ¿ Однородная система в матричном виде: Ax = 0. Если x1 è x2 решения, то A(x1+x2) = Ax1+Ax2 = 0, значит x1 + x2 тоже решение. Аналогично с умножением на число.

¾ ¿ От противного: пусть система не однородна. Т.е. Ax = b 6= 0. Но тогда сумма двух решений не является решением (т.к. A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = b + b = 2b 6= b и следовательно множество решений не является подпространством.

Теорема 12. Пусть количество переменных в однородной СЛУ n; ранг матрицы СЛУ равен k. Подпространство решений обозначим V0. Тогда dimV0 = n − k.

Когда решаем СЛУ, в конце остаются только ЛНЗ строки, а остальные вычеркиваются. Значит, остается k строк. Значит, получится n-k независимых переменных. Построим ФНР. ФНР ЛНЗ и все через ФНР выражается. Значит, ФНР базис, таким образом, dimV0 = n − k.

В частности, если k=n, у системы единственное решение (нулевое).

Предложение 16. Однородная система линейных уравнений, где кол-во переменных равно кол-ву уравнений, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы равен 0.

10