Linal

5Линейные преобразования

5.1Определение. Ядро. Образ.

Определение 23. V, W векторные пространства над полем F. Отображение φ : V → W называется линейным, если

1.φ(u + v) = φ(u) + φ(v)

2.φ(αu) = αφ(u)

Âслучае W = V линейное преобразование φ называется линейным оператором.

2.φ(v) = φ(v)

3.Åñëè v1, . . . , vn ëç; òî è φ(v1), . . . , φ(vn) ëç.

4.Линейное преобразование однозначно задается образами базисных векторов.

Определение 24. Множество {v V |φ(v) = 0} называется ядром преобразования φ. Обозначение Ker(φ). Множество {w W | v V φ(v) = w} нызывается образом преобразования φ. Обозначение Im(φ). Преобразование φ называется невырожденным, если Ker(φ) = {0}. И называется вырожденным, если

Ker(φ) 6= {0}.

Предложение 18. 1. Ker(φ) < V

2.Im(φ) < W

3.Если φ невырожденно и v1, . . . , vn ëíç, òî φ(v1), . . . , φ(vn) ëíç.

4.Если преобразование невырождено, то оно взаимнооднозначно; а следовательно обратимо. Обратное преобразование также линейно.

Теорема 13. Пусть φ : V → V . Тогда dimV = dimKer(φ) + dimIm(φ).

Proof. Построим базис Im(φ). У базиса есть прообраз. Прообраз будет ЛНЗ (т.к. образ ЛЗ системы ЛЗ). Построим Lin(прообраза)=W. Докажем, что V = W Ker(φ). 1) они пересекаются по нулю. (берем

произвольный вектор из W, доказываем, что он из Ker только если нулевой). 2) Любой вектор является суммой вектора из W и вектора из Ker. (Пусть произвольный вектор v. Разложим φ(v) по базису Im. Возьмем ту же

ЛК в W. Возьмем разность между v и этой ЛК. Эта разность из Ker.

5.2Матрица линейного оператора

Определение 25. Пусть φ линейный оператор. В пространстве V зафиксирован базис E = {e1, . . . en}. Разложим вектора φ(ei) по базису и запишем в матрицу (в i-ый столбец матрицы разложение i-ого образа). Такая матрица называется матрицей линейного преобразования φ в базисе E. Обозначение [φ]E .

Последнее: образ линейная оболочка образов базиса. Следовательно, размерность образа равна рангу по столбцам.

Пример. Построимть матрицу поворота.

Определение 26. Две матрицы называются подобными, если они задают одно и то же линейное преобразование в разных базисах. Обозначение A B.

11

Одной из выжных задач является задача определения, являются ли матрицы подобными.

Предложение 20. 1. A B тогда и только тогда, когда T : A = T BT −1

2.Если две матрицы подобны, их ранги равны.

3.Если две матрицы подобны, их определители равны.

12

6Жорданова форма матрицы.

6.1Инвариантные подпространства.

Определение 27. Пусть φ : V → V . Подпространство W < V называется инвариантным относительно преобразования φ, если w W φ(w) W .

Примеры: ядро и образ инвариантны.

Предложение 21. Пусть A линейный оператор на L, и пусть L1, L2 инвариантные подпространства, тогда L1 ∩ L2 è L1 + L2 так же инвариантные подпространства.

Пусть V = L1 L2. Рассмотрим базис V , полученный как объединение базисов L1 è L2. В этом базисе матрица линейного преобразования выглядит распавшейся. Нарисовать, пояснить.

Предположим, что V = V1 V2, ãäå V1 è V2 инвариантные подпространства относительно преобразования φ. e1, . . . , ek базис V1. ek+1, . . . , en базис V2. Поскольку сумма прямая, e1, . . . , en базис V. Поскольку подпространство Vi инвариантно относительно преобразования φ, можно построить матрицу линейного преобразования φ в пространстве Vi. Обозначим эту матрицу Ai.

Тогда матрица линейного преобразования φ во всем пространстве V (в базисе e) будет выглядеть так

A1 0

(пояснить, почему): 0 A2

6.2Собственные векторы, собственные числа

Определение 28. Ненулевой вектор v V называется собственным, если φ(v) = λv.

Пусть у нас зафиксирован базис E. Тогда для поиска собственного вектора надо решить систему линейных уравнений Av = λv. Заметим, что не для всех λ можно найти собственные векторы (пояснить на примере

проектирования на ось Ох параллельно оси Оу). Для каких же?

Av = λv (A − λE)v = 0.

Предложение 22. Чтобы был собственный вектор необходимо и достаточно, чтобы |A − λE| = 0.

Необходимость. Если |A − λE| 6= 0, то у этой матрицы есть обратная, умножим на нее, получим, что v = 0. Достаточность. Если |A −λE| = 0, то rang(A −λE) < n. Тогда одна из строк является лин.комб. остальных

строк и ее можно вычеркнуть из системы. Получаем однородную систему, где количество уравнений меньше количества неизвестных, а следовательно, у такой системы есть ненулевое решение.

Определение 29. Многочлен χA(λ) = |A − λE| называется характеристическим многочленом матрицы А.

Последнее утверждение можно переформулировать так:

Предложение 23. Число λ является собственным числом матрицы A тогда и только тогда, когда оно является корнем ее характеристического многочлена.

Предложение 24. У подобных матриц одинаковые характеристические многочлены.

Proof. A B, значит A = T BT −1. |A − λE| = |T BT −1 − λT ET −1| = |T (B − λE)T −1| = |T ||B − λE||T −1| =

|B − λE|.

Теорема 14. Пусть v1, v2, ... vn собственные векторы различных собственных чисел λ1, λ2, ... λn соответственно. Тогда система векторов {v1, v2, . . . , vn} ËÍÇ,

Proof. Доказываем методом мат. индукции по количеству собственных векторов.

База индукции: Пусть n = 2. Составим ЛК a1v1 + a2v2 = 0. Подействуем на левую и правую часть этого равенства преобразованием φ. a1λ1v1 + a2λ2v2 = 0. Из первого равенства следует a1λ1v1 + a2λ1v2 = 0. Вычтем эти два равенства. Получим a2(λ1 − λ2)v2 = 0. Следовательно, так как v2 6= 0 (потому что вектор v2 собственный), получаем a2(λ1 − λ2) = 0. Поскольку λ1 6= λ2, остается a2 = 0. Аналогично доказываем, что a1 = 0.

Предположение индукции: при n = k. Предположим, что если мы взяли k собственных векторов от

различных собственных чисел, то они получаются ЛНЗ.

Индукционный переход. Докажем, что если мы возьмем n = k + 1 собственных векторов от различных собственных чисел, они получатся ЛНЗ.

13

Составим линейную комбинацию a1v1 + . . . + akvk + ak+1vk+1 = 0. Подействуем на это равенство преобразованием φ, получим λ1a1v1 + . . . + λkakvk + λk+1ak+1vk+1 = 0. Умножим первое равенство на λk+1, вычтем, получим: a1(λ1 − λk+1v1 + . . . + ak(λk − λk+1)vk = 0. Так как вектора v1, . . . , vk ЛНЗ (по инд.предп), все коэффициенты равны нулю. Так как λi − λk+1 6= 0, получается, что a1 = . . . = ak = 0. Отсюда получается, что ak+1vk+1 = 0, а поскольку vk+1 6= 0 (потому что он собственный), ak+1 = 0. Получается, что ЛК=0 только если она тривиальна. Значит, v1, . . . , vk+1 ËÍÇ.

Ко множеству всех собственных векторов добавим 0. Полученное множество обозначим Vλ1. Заметим, что Vλ1 = Ker(φ − λE), поэтому Vλ1 инвариантное подпространство V .

6.3Корневые подпространства.

Собственные вектора зануляются, если один раз подействовать преобразованием (φ − λE). Посмотрим, какие вектора зануляются, если преобразование провести 2, 3, 4 и т.д. раза.

Определение 30. Vλk = {v V |(φ − λE)nv = 0} множество векторов, которые зануляются за k шагов. Vλ = {v V | kv Vλk} множество векторов, которые зануляются за несколько шагов. Vλ называется

корневым подпространством собственного числа λ.

Теорема 15. V векторное пространство; φ линейное преобразование.

Vλ1 < Vλ2 < . . . < Vλ < V , причем Vλ è Vλk инвариантные подпространства относительно преобразования

φ.

Доказать.

6.4Теорема о ж.ф.

Теорема 16. Векторное пространство является прямой суммой корневых подпространств.

Без доказательства.

Теорема 17. У корневого подпространства есть циклический базис.

00 0 0 . . . 0 λ

Жорданова форма матрица, у которой по диагонали жордановы клетки, а остальные элементы нули.

Теорема 18. Любая матрица подобна жордановой форме. Причем жорданова форма единственна с точностью до перестановки клеток.

Доказательство первой части следует из двух теорем без доказательства. И из того, что матрица линейного преобразования для прямой суммы распадается на матрицы слагаемых.

Доказательство второй части проведем чуть позже.

14

Решение: 1) Вычислим собственные числа. Для этого найдем характеристический многочлен. χA(λ) = (λ − 1)5(λ − 2). Отсюда следует, что в жордановой форме у матрицы на диагонали 5 единиц (мы не знаем, как

они делятся на жордановы клетки) и одна двойка (которая составляет одну жорданову клетку 1 на 1).

Теперь надо выбрать циклический базис для V1. Если для построения базиса взять только вектора высоты 1 и 2, то их л.к. не может быть высоты 3, поэтому вектора высоты 3 не получатся (а они есть). Значит, надо взять хотя бы один вектор высоты 3. Берем любой.

j3 = (0, 0, 0, 0, 1, 0). Тогда j2 = (A − E)j3 = (4, −2, 2, 2, −2, 1), à j1 = (A − E)j2 = (2, −1, 1, 1, −1, 1).

Осталось добавить в базис всего 2 вектора. Эти два вектора не могут быть оба высоты 1, так как тогда мы бы нашли 3 лнз вектора высоты 1, а их всего 2, так как dimV11 = 2. Значит, есть еще цепочка из двух векторов.

Как выбрать вектор j5? Надо взять вектор из V12, который не входит в V11 (тогда он получится высоты 2), но при этом выбрать его ЛНЗ с j2 (с уже включенным в базис вектором высоты 2).

j5 = (0, 0, 1, 0, 0, 0). Тогда j4 = (A − E)j5 = (1, 0, 1, 1, −1, 1).

Поскольку мы проявили некоторую вольность в выборе базиса, надо проверить, что полученная система векторов все-таки базис.

Для этого составляем матрицу перехода от исходного базиса к базису J и проверяем, что она невырождена.

15

Предложение 27. Если J жорданова форма матрицы А, то матрицы J−λE жорданова форма матрицы

A − λE.

Количество жордановых клеток с собственным числом λ равно dimVλ1.

Количество векторов в жордановом базисе, которые зануляются с 1 и 2 раз равно dimVλ2. Количество векторов в ж.базисе, которые зануляются с 1,2,... k раз равно dimVλk.

Пояснить.

6.5Алгоритм приведения к жордановой форме

1.Ищем характеристический многочлен матрицы А. (Т.е. χA(λ) = |A − λE|).

2.Ищем корни характеристического многочлена, т.е. собственные числа матрицы А. (Т.е. решаем уравнение χA(λ) = 0). Запоминаем, что размерность корневого пространства собственного числа λ равна кратности λ как корня характеристического многочлена.

3.Для каждого λ ищем цепочки Vλ1 < Vλ2 < ... äî òåõ ïîð, ïîêà dimVλk не станет равным кратности корня λ.

5.Выписываем жорданову форму матрицы. Каждой цепочке длины k соответствует жорданова клетка размером k Ч k с собственным числом λ по диагонали.

6.Ищем жорданов базис. Начинаем с самого высокого вектора. Пусть его высота k. Выбираем вектор

Теперь найдем самую высокую цепочку из оставшихся. Пусть самый высокий вектор в ней высоты t.

Берем вектор v V t v 6 V t−1

λ , λ и не выражающийся через уже построенные вектора (той же высоты).

7.Поскольку мы могли на предпоследнем шаге что-то упустить и выбрать плохо, надо проверить, что построенные вектора составляют базис. (Для этого составляем матрицу перехода к этому "базису" и проверяем, что определитель этой матрицы не равен нулю.)

16

7Евклидовы пространства

7.1Скалярное произведение.

Пусть V векторное пространство над полем F (по-прежнему, F это либо поле действительных чисел или поле комплексных чисел).

Определение 32. Скалярным произведением на векторном пространстве V называется функция двух переменных Ψ(x, y), удовлетворяющая следующим условиям:

1.Ψ(x1 + x2, y) = Ψ(x1, y) + Ψ(x2, y)

2.Ψ(λx, y) = λΨ(x, y)

3.Ψ(x, y) = Ψ(y, x)

4.Ψ(x, x) > 0, x 6= 0.

Определение 33. Векторное пространство над полем R (над полем C) с заданным на нем скалярным произведением называется евклидовым (унитарным).

В дальшейшем будем обозначать Ψ(x, y) просто (x, y).

Везде в дальнейшем предполагаем, что пространство унитарное, если не оговорено иное.

Предложение 28 (Простейшие свойства скалярного произведения.). 1. (x, y1 + y2) = (x, y1) + (x, y2)

2.(x, λy) = λ(x, y)

3.(0, y) = 0

Предложение 29 (Неравенство треугольника). |x + y| ≤ |x| + |y|

Proof. (x + y, x + y) = |x|2 + |y|2 + (x, y) + (y, x) ≤ |x|2 + |y|2 + 2|(x, y)| ≤ |x|2 + |y|2 + 2|x||y| = (|x| + |y|)2

7.2Процесс ортогонализации

Определение 35. Будем говорить, что вектора ортогональны, если (u, v) = 0.

Будем говорить, что вектор v ортогонален множеству M, если вектор v ортогонален всем векторам из множества M.

Определение 36. Множество векторов называется ортогональным, если любой вектор ортогонален всем остальным векторам этого множества.

Множество векторов называется ортонормированным, если оно ортогонально и длина всех векторов этого множества равна 1.

Предложение 30. Ортонормированная система векторов ЛНЗ.

Пусть α1v1 + . . . + αnvn = 0. Умножим скалярно на vi, получим αi = 0.

Теорема 20 (Грамма - Шмидта). У любого пространства есть ортогональный (ортонормированный) базис.

17

Proof. У любого подпространства есть хоть какой-то базис v1, v2, ..., vn. При помощи этого базиса построим ортогональный базис того же пространства.

ортогональный.

Из ортогонального базиса получить ортонормированный просто. Каждый вектор поделить на его длину.

Предложение 31. Пусть E = {e1, . . . en} ортонормированный базис унитарного (евклидова) пространства V.

Пусть v1 = (α1, α2, . . . , αn) è v2 = (β1, β2, . . . , βn). Тогда (v1, v2) = α1β1 + . . . + αnβn.

Определение 37. Пусть L < V . Ортогональным дополнением подпространства L называется множество всех векторов, ортогональных подпространству L. Обозначение L .

Предложение 32 (Свойства ортогональных дополнений). 1. L подпространство.

2.L ∩ L = 0.

3.L L = V .

7.3Линейные операторы в евклидовых пространствах

18