Anal_geometria_LEKTsII

1Матрицы и определители

Определение 1. Прямоугольная таблица, в которой n строк и m столбцов, и элементы которой из множества чисел K называется матрицей n × m над множеством K.

Множество всех матриц n × m íàä K обозначается Mn×m(K). Квадратные матрицы n × n обозначают просто Mn(K).

Примечание. В качестве множества R будем рассматривать множества R, C, Z и т.д. Введем операции на множестве матриц.

Определение 2. • Чтобы умножить матрицу на число из K надо просто все ее элементы умножить на это число.

•Сложить можно две матрицы одного размера, для этого надо просто сложить одноименные элементы матриц. (Аналогично можно вычитать матрицы).

•Умножение матриц. Можно умножить 2 матрицы, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. При этом в результирующей матрице количество строк как в

первой, а количество столбцов как во второй Cn×m = An×kBk×m; а ее элементы получаются по формуле

k

P

cij = aitbtj. t=0

Показать пример умножения двух матриц.

Свойства операций:

•A + B = B + A (коммутативность сложения);

•(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения);

•A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA (дистрибутивность);

•A(BC) = (AB)C (ассоциативность умножения);

•коммутативности умножения нет!

Пример некоммутативности: 1) пример выше не пройдет по размерам. 2) пример для квадратных матриц

e12e21.

Доказательство: 1, 2 самостоятельно. 3 на практике с преподавателем разобрать. 4. Доказать на лекции!

Заметим, что есть некоторые особые матрицы: например, нулевая и единичная. Нулевая при сложении не изменяет матрицу; зануляет любую матрицу при умножении. Единичная не меняет матрицу при умножении.

Определение 3. Матрица B называется обратной к матрице A åñëè AB = BA = E. Обозначение: A−1.

Заметим, что обратные матрицы могут быть только у квадратных матриц. Но никто не гарантирует, что у любой квадратной матрицы есть обратная!

Предложение 1. Если AB = E, CA = E, òî B = C.

Определение 4. Рассмотрим матрицу AT = (aji). Матрица AT называется транспонированной к матрице À.

Свойства транспонирования и обращения:

• (A−1)−1 = A

1

•(AT )T = A

•(AB)−1 = B−1A−1

•(AB)T = BT AT

Доказательство 1, 2 самостоятельно. 4 с использованием преподавателя практики. Доказать свойство 3. Очень важной характеристикой квадратных матриц является определитель.

Определение 5. Определителем квадратной матрицы A = (aij) размерами n × n называется число, полученное по следующим правилам:

Если n=1, то определителем матрицы (a11) является единственное число этой матрицы.

Пусть мы уже умеем вычислять определитель порядка n − 1; тогда определитель порядка n вычисляется

столбца.

Доказать формулу определителя 2х2 и 3х3. Свойства определителя:

•Определитель с нулевой строкой нулевой. Доказательство по индукции.

•Если строку (столбец) определителя умножить на число, то весь определитель умножится на это число. Доказательство самостоятельно.

•Теорема о сложении определителей.

Теорема 1. Если i-ая строка определителя представлена в виде суммы двух строк, то этот определитель равен сумме двух, в которых все элементы как в исходном, а на месте i-ой строки в первом определителе стоит первое слагаемое, а во втором второе.

Верна аналогичная теорема для столбцов.

•Теорема о разложении по 1,2 строке.

Теорема 2.

Доказать.

•Если 2 строки поменять местами, определитель изменит знак.

•Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали матрицы.

•Определитель с равными (или пропорциональными) строками нулевой.

•Если к одной строке определителя прибавить другую, умноженную на любое число, то определитель не изменится.

•Теорема о разложении по любой строке.

n

X

=(−1)i+jaijMij

j=1

n

X

0 = (−1)i+jakjMij, i 6= j

j=1

2

•Метод Гаусса!!! для вычисления определителей.

(Элементарные преобразования эквивалентны умножению на трансвекции. Элементарные преобразования строк слева; столбцов справа.)

•Определители транспонированных матриц равны.

К матрице применяем метод Гаусса для строк; к транспонированной для столбцов (те же самые преобразования). Первая матрица становится верхнетреугольной; вторая нижнетреугольной.

•Теорема о произведении определителей. |AB| = |A||B|

TA = EAA; TB = BEB; Причем, матрицы TA è TB верхнетреугольные. Действительно, для матрицы

А будем действовать преобразованиями строк и обычным методом Гаусса; а для матрицы В будем действовать преобразованиями столбцов и так: смотрим на последнюю строку, делаем самый последний элемент ненулевым, зануляем все предыдущие элементы.

|A||B| = |TA||TB| =поскольку обе матрицы верхнетреугольные, равен произведению двух произведений диагоналей; а произведение верхне-треугольных матриц снова верхнетреугольная матрица, у которой диагональные элементы просто перемножились = |TATB| = |EAABEB| = |AB|

Последнее равенство из-за того, что от элементарных преобразований определитель не изменяется.

Теорема 3 (Явная формула обратной матрицы). Если определитель матрицы A не равен нулю, то матрица

является обратной к матрице A.

Доказательство по теореме о разложении по любой строке.

Теорема 4 (Критерий обратимости матрицы). У матрицы А есть обратная тогда и только тогда, когда определитель матрицы А ненулевой.

Доказательство: достаточность по явной формуле; необходимость по теореме о произведении определителей. Метод Гаусса для поиска обратной матрицы.

Элементарными преобразованиями строк переводим матрицу в единичную. Поэтому E= EAA. Поэтому EA = A−1. Поэтому EAE = A−1.

Пример. Вычислить методом гаусса обратную матрицу для

3

2Аналитическая геометрия. Векторы и действия с ними. Системы координат. Движения.

2.1Определение абстрактного вектора. Сложение векторов, умножение вектора на число.

Определение 6. Вектором на плоскости или в пространстве называется напрапвленный отрезок P Q. Ïåðâàÿ называется началом вектора, а вторая концом вектора. Соответствующий вектор обозначается как P Q.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором и обозначается как 0 = AA. Направление нулевого вектора на определено.

Расстояние между точками A è B называют длиной или модулем вектора AB и обозначают как |AB|.

Определение 7. Вектор AB равен вектору CD, если выполнено одно из следующих условий:

0.Все нулевые вектора равны.

1.A = B è C = D.

2.A 6= B точки C è D принадлежат прямой AB, причем |CD| = |AB|, и точка D лежит с той же

стороны от точки C, что и точка B îò A. 3. ABDC параллелограмм. Обозначение: AB = CD.

Свойства равенства векторов:

1.AB = AB.

2.Åñëè AB = CD, òî CD = AB.

3.Åñëè AB = CD è CD = EF , òî AB = EF .

4.Åñëè AB = CD, òî |AB| = |CD|.

5.Для любых трех точек A, B, C, существует единственная точка D такая, что AB = CD.

Рассмотрим вектор AB, и обозначим через u множество всех векторов равных ветору AB. Таким образом, u это некотрый набор объектов, такой набор мы будет называть свободным вектором.

Ñабстрактными векторами можно проводить различные операции.

1.Сложение. Для того, чтобы сложить 2 абстрактных вектора u è v, надо от точки A отложить вектор AB = u; от точки B отложить вектор BC = v. Вектор AC будет искомым.

Свойства сложения векторов:

(a)u, v !(u + v).

(b)(u + v) + w = u + (v + w).

(c)u + v = v + u.

(d)!O, такой что v, v + O = v. Это в точности абстрактный нулевой вектор.

(e)Для любого вектора u существует единственный вектор −u такой, что u + (−u) = 0.

2.Умножение вектора на число. Чтобы умножить вектор u на число λ, длина вектора умножается на |λ|, вектора u è λu коллинеарны (т.е. параллельны). Если λ > 0, вектора u è λu сонаправлены; иначе противоположно направлены.

Свойсва:

(a)Для любого вектора u и любого числп λ существует и единственнен вектор λu.

(b)(λ1 + λ2)u = λ1u + λ2u.

(c)(λ1λ2)u = λ1(λ2u).

(d)λ(u1 + u2) = λu1 + λu2.

(e)1u = u; (−1)u = −u.

4

2.2Координатная ось, координаты вектора. Угол между векторами, произведения векторов

Координатной осью называют прямую с эаданным на ней вектором (то есть с ненулевым ветором параллельным данной прямой).

Определение 8. Аффинная система координат это три не лежащих в одной плоскости, пересекающихся в одной точке координатных прямых. Точка пересечения прямых называется началом координат.

Система координат называется прямоугольной, если все три прямые попарно перпендикулярны.

Определение 9. Тройка векторов v1, v2, v3 называется компланарной, если существуют такие числа α, β, γ, ÷òî αv1 + βv2 + γv3 = 0.

Тройка векторов v1, v2, v3 называется правой, если она некомпланарна и если смотреть на v1 è v2 ñ

вершины вектора v3, то переход от v1 ê v2 происходит против часовой стрелки. Остальные некомпланарные тройки нызваются левыми.

Предложение 2. Компланарная тройка лежит в одной плоскости.

Правая тройка соответствует большому, указательному и среднему пальцу правой руки; левая соответственно левой.

Åñëè v1, v2, v3 правая, то v2, v3, v1 è v3, v1, v2 тоже правые, а v1, v3, v2, v3, v2, v1 è v2, v1, v3 левые.

Прямоугольная система координат, такая что все координатные вектора единичной длины и образуют правую тройку векторов, называется Декартовой системой координат.

Пусть задана (аффинная) система координат (вектора i, j, k и точка o), и выбран произвольный вектор u. Данный вектор можно единственным образом представить в виде u = xi + yj + zk (пояснить на картинке как получатся эти числа). Числа (x, y, z) называют координатами вектора u.

Предложение 3. Пусть задана система координат вектор u имеет координаты (xu, yu, zu), а вектор v координаты (xv, yv, zv), тогда:

1.вектор λu имеет координаты (λxu, λyu, λzu).

2.вектор u + v имеет координаты (xu + xv, yu + yv, zu + zv).

1.длинна n равна |u||v|sin(uv), и вектор n перпендикулярен векторам u è v,

2.u, v, n правая тройка.

Определение 13. Cмешанным произведением трех векторов называется число < u, v, w >= ([u, v], w).

2.3Свойства произведений векторов

Пусть заданы три вектора u, v è w. Тогда верны следующие утверждения:

Свойства скалярного произведения:

1.(u, v) = (v, u);

2.(u, v) = 0 u v;

3.(u, u) = |u|2;

5

6.(λu, v) = λ(u, v);

7.(u1 + u2, v) = (u1, v) + (u2, v).

8.e1, e2, e3 ÄÑÊ; u = (xu, yu, zu), v = (xv, yv, zv). Тогда (u, v) = xuxv + yuyv + zuzv.

Первые 6 легко следуют из определения. Последнее из четвертого. Свойства векторного и смешанного произведения.

1.[u, v] = −[v, u];

2.[λu, v] = λ[u, v] = [u, λv];

3.[u1 + u2, v] = [u1, v] + [u2, v] è [u, v1 + v2] = [u, v1] + [u, v2];

4.| < u, v, w > | это объем параллелипипеда натянутого на векторы u, v, w. Знак + у правой тройки векторов; - у левой.

5. В частности, сложное условие для определения направления вектора [u, v] может быть выражено следующим образом: < u, v, [u, v] >≥ 0.

Доказательство третьего. Отложим u, v от точки А. Проведем через точку А плоскость α, перпендикулярную

2. [u, v] = x1 y1 z1 ;

x2 y2 z2

x1 y1 z1

3. < u, v, w >= x2 y2 z2

x3 y3 z3

Proof. Доказательство: первое уже было.

Второе. Сначала найти векторные произведения базисных векторов; потом расписать по линейности. Третье. Через второе и первое.

Используя всевозможные произведения можно вычислять дины векторов, углы между векторами, площадь параллелограмма натянутого на два вектора, и объем параллелипипеда натянутого на три вектора, площадь треугольника (=половине площади параллелограмма), объем пирамиды (=1/6 объема параллелепипеда).

2.4Переход от одного базиса к другому. Матрица перехода.

Пусть заданы два базиса e = {e1, e2, e3} è e0 = {e01, e02, e03}, и пусть вектор u имеет в первом базисе координаты (x, y, z). Очевидно, что так как e01, e02, e03 базис, то вектор u может быть записан и в этом базисе, пусть (x0, y0, z0)

координаты вектора u во втором базисе. Вознивает естественный вопрос, как связанны координаты вектора

в разных базисах.

Составим матрицу Te→e0 , в которой в i-ом столбике запишем координаты вектора e0i в базисе e.

Предложение 5. В приведенных выше обозначениях имеют место равенства:

1.ve = Te→e0 ve0 ;

2.Te→e00 = Te→e0 Te0 →e00 ;

3.Te→e0 = Te−0 →1 e;

6

(e11, e21, e31), e2 = (e12, e22, e32), e3 = (e13, e23, e33) вектор u будет иметь координаты (x0, y0, z0), которые

Proof. Первое из линейности. Второе, третье очевидно. Четвертое: умножить T T T . Получим E. Значит, T T = T −1.

Определение 14. Матрица Te→e0 называется матрицей перехода от базиса e к базису e0.

2.5Движения

Определение 15. Движенем пространства называется такое преобразование пространства, которое не меняет расстояния между точками.

Предложение 6. Очевидно что движения не меняют также углов между векторами, а следовательно и скалярного произведения.

Теорема 5. Для задания произвольного движения плоскости небходимо и достатточно задать образы любых трех точек не лежащих на одной прямой.

Определить осевую симметрию, поворот, параллельный перенос и скользящую симметрию. Рассказать что такое композиция движений.

Предложение 7. Доказать, что любое движение плоскости можно представить как композицию не более чем трех осевых симметрий.

Предложение 8. Любое движение плоскости это либо осевая симметрия, либо поворот, либо параллельный перенос, либо скользящая симметрия.

Предложение 9. Любое движение пространства однозначно задается образами 4 точек, не лежащих в одной плоскости.

Доказательство самостоятельно.

7

3Прямая, плоскость.

3.1Определение. Уравнения.

Определение 16. Прямая l это множество всех точек M, таких, что вектор M0M коллинеарен вектору u. Вектор u в этом случае называется направляющим вектором данной прямой.

Нетрудно заметить, что точка M0 сама принадлежит прямой l. Пусть задана некоторая (афинная) система координат.

Пусть координаты точки M0(x0, y0, z0); координаты вектора u = (a, b, c); координаты неизвестной точки

M(x, y, z). Для того, чтобы вектор MM0 был коллинеарен вектору (a, b, c) необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система уравнений:

Плоскостью в пространстве называется множество точек M, таких, что тройка векторов M0M, u, v компланарна.

Вектор MM0 = λu + µv. Тогда

x = λxu + µxv + x0

y = λyu + µyv + y0

z = λzu + µzv + z0

Это уравнение называется параметрическим заданием прямой. Оно используется редко.

Теорема 6. Любая плоскость может быть задана уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, и наоборот любое уравнение такого вида, где ( A, B, C не равны одновременно 0) задает плоскость в пространстве.

Proof. Вектор MM0 = αu + βv. Запишем в определитель вектора MM0, u, v. Вычтем из первой строчки вторую, умноженную на α и вторую строчку, умноженную на β. Получим определитель с нулевой строкой,

который равен нулю. С другой стороны, если раскрыть этот определитель по первой строке, получим 0 = M11(x − x0) − M12(y − y0) + M13(z − z0) линейное уравнение.

Обратно очевидно.

Две плоскости могут либо пересекаться по прямой; либо быть параллельными; либо совпадать. Пусть заданы две плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 è A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Пусть (A1; B1; C1) = λ(A2; B2; C2) Тогда åñëè D1 = λD2, плоскости совпадают. Если же D1 6= λD2, у плоскостей нет общих точек и, следовательно они параллельны.

Предположим теперь, что вектора (A1; B1; C1) è (A2; B2; C2) неколлинеарны. В этом случае будет общая

точка (доказать). Значит, плоскости пересекаются.

Любую прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей, следовательно,

Так же любую прямую можно задать двумя точками этой прямой. M1(x1, y1, z1) è 2(x2, y2, z2).

Любую плоскость можно задать тремя точками M1, M2, M3.

8

Предложение 10. Декартова система координат.

Тогда [(A1, B1, C1), (A2, B2, C2)] направляющий вектор этой прямой.

Proof. Любую плоскость можно задать как перпендикулярную некоторому вектору, проходящую через некоторую точку. Выводим уравнение плоскости через точку и нормаль, сравниваем его с общим, получаем.

Прямая-пересечение перпендикулярна обоим нормалям, а следовательно, параллельна их векторному произведению.

3.2Взаимное расположение 2 прямых в пространстве; взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве; взаимное расположение трех плоскостей в пространсте.

2 прямые в пространстве могут совпадать; быть параллельными; пересекаться; быть скрещивающимися.

1.Прямые совпадают, если u k u0 è (x0, y0, z0) l2.

2.Прямые параллельны, если u k u0 è (x0, y0, z0) 6 l2.

3. Прямые пересекаются, если u 6ku0 è < M0M00, u, u0 >= 0.

4. Прямые скрещиваются, если < M0M00, u, u0 >6= 0.

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле

ρ = | < M0M00, u, u0 > | |[u, u0]|

Последнее следует из того, что смешанное произведение равно объему параллелепипеда, а длина векторного равна площади основания этого же параллелепипеда.

Взаимое расположение прямой и плоскости: прямая лежит в плоскости, параллельна плоскости, пересекается с плоскостью.

1.Прямая лежит в плоскости, если Aa + Bb + Cc = 0 è Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

2.Прямая параллельна плоскости, если Aa + Bb + Cc = 0 è Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0.

3.Прямая и плоскость пересекаются, если Aa + Bb + Cc 6= 0.

3.3Углы и расстояния.

Углом между двумя прямыми, лежащими в одной плоскости, называется острый угол, образованный этими

прямыми. Углом между скрещивающимися прямыми l1 è l2 называется угол между пересекающимися прямыми l0 è l00, ãäå l0 k l1, l00 k l2 Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Предложение 11. Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, если угол между векторами острый или прямой и дополнительному к нему (т.е. π − α), если угол между векторами тупой.

Расстоянием от точки до плоскости (прямой) называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту плоскость (прямую).

Выведем формулу расстояния от точки до плоскости

9

Определение 18. Углом между плоскостями называется угол между двумя прямыми, перпендикулярными этим плоскостям.

Пояснить, что это определение эквивалентно школьному.

Предложение 12. В ДСК угол между плоскостями определяется как угол между их нормалями, если этот угол острый, и как дополнительный к нему, если он тупой.

Определение 19. Угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и ортогональнйо проекцией это прямой на плоскость.

10