Anal_geometria_LEKTsII

4Эллипс, гипербола и парабола на плоскости.

4.1Определения.

Определение 20. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки ("фокуса" параболы) и некотрой фиксированной прямой ("директрисы" параболы)

Введем систему координат. Фокус поместим в точку (0, p), директрисса задана уравнением y = −p. Выводим

уравнение параболы.

x2 = 2py каноническое уравнение параболы.

Определение 21. F1 è F2 фиксированные точки плоскости. 2a заданное расстояние.

Множество всех точек M, сумма растояний до который от точек F1 è F2 равно 2а, называется эллипсом. F1 è F2 называются фокусами эллипса.

Вводим систему координат. Точку F1 помещаем в (0,с), точку F2 â (0,-ñ). Выводим каноническое уравнение

Определение 22. F1 è F2 фиксированные точки плоскости. 2a заданное расстояние.

Множество всех точек M, модуль разности растояний до который от точек F1 è F2 равен 2а, называется гиперболой.

4.2Классификация кривых второго порядка

Мы рассмотрели 3 кривые на плоскости, которые задаются уравнениями второго порядка. А какие вобще кривые на плоскости могут задаваться уравнениями второго порядка?

Определение 23. Уравенине второго порядка, это уравнение вида a11x2 + a12xy + a22y2 + a1x + a2y + a0 = 0.

Чтобы понять, какую кривую задает это уравнение, перейдем в другую систему координат, причем такую, чтобы a12 занулилось.

Повернем систему координат на угол α. Получим e1 = i cos α + j sin α è e2 = −i sin α + j cos α. Поэтому произведем замену x = x0 cos α − y0 sin α, y = x0 sin α + y0 cos α.

Подставляем в уравнение, получаем a011x02 + a012x0y0 + a022y02 + a01x0 + a02y0 + a0 = 0, ãäå a012 = 2 cos α sin α(a22 − a11) + a12(cos2 α − sin2 α) == sin 2α(a22 − a11) + a12 cos 2α

Óãîë α можно считать не равным нулю (потому что поворот на угол 0 бессмысленно производить). Можно

11

Åñëè a1 6= 0, сдивигаем центр координат и получаем параболу.

Åñëè æå a1 = 0, получаем квадратное уравнение на y0. Если его дискриминант D = a22 − 4a0λ2 > 0, то получаем 2 прямые y0 = y1 è y0 = y2. Åñëè D < 0, уравенение не имеет решений (и значит, задает пустое

множество точек плоскости). Если же D = 0, то получается одна прямая. Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 9 (классификация КВП). Любая кривая второго порядка это одна из следующих кривых:

1.эллипс;

2.гипербола;

3.парабола;

4.пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих);

5.точка;

6.пустое множество.

4.3Свойства КВП. Директриссы, эксцентриситет, симметрии.

Определение центра симметрии фигуры. Определение оси симметрии фигуры.

Óэллипса есть центр симметрии; 2 оси симметрии. У гиперболы есть центр симметрии, 2 оси симметрии. У параболы есть одна ось симметрии.

Óпары прямых есть 2 оси симметрии; у пары пересек.прямых 1 центр симм; у пары параллельных или совпадающих прямых бесконечно много центров симметрии.

В каноническом виде координаты центров симметрии и осей симметрии выписываются легко. Сделать это самостоятельно или на практических занятиях с использованием преподавателя. Когда выписаны уравнения осей симметрии в новых (канонических) координатах, легко обратным переходам к старым координатам получить уравнения этих же осей в исходных координатах.

Определение 24. Пусть κ некоторая кривая (не обязательно кривая второго порядка), и существуют

этом случае прямая l называется дирректрисой кривой κ, а число e называется эксцентриситетом кривой

κ.

Предложение 13. Очевидно, что у параболы есть дирректриса и эксцентриситет. Дирректриса прямая из определения параболы, а эксцентриситет равен 1.

Докажем, что дирректриса и эксцентриситет есть и у эллипса, и у гиперболы. Кроме вырожденного случая эллипса, окружности.

Дирректрисы эллипса.

Заметим, что эксцентриситет любого эллипса меньше единицы.

У эллипса, конечно, 2 симметричных дирректрисы (одна "работает" в паре с одним фокусом, другая в паре с другим).

Есть ли у эллипса другие дирректрисы? Заметим, что если l, F дирректриса и фокус, то вся фигура должна быть симметрична относительно прямой l0 : l0 l, F l0. Поэтому прямая l может быть только

параллельна одной из осей. Рассмотрим прямые x = x0 > 0, подходящие под условия. Таких всего одна.

Рассмотрим прямые y = y0 > 0, таких нет совсем.

Почему нет наклонной директрисы у окружности? Поворотом системы координат можно добиться того, что дирректриса стала бы прямой вида x = x0, а сама окружность осталась бы в канонических координатах. А дирректрис такого вида у окружностей нет.

12

Доказательство аналогично.

Определение 25. Пусть задана прямая l, точка F и число e < 1 (e > 1). Рассмотрим множество всех

Теорема 10. Эти два определения эквивалентны старым определениям эллипса и гиперболы.

Определение 26. Асимптотой кривой κ называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки M κ до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M от начала координат.

Очевидно, что у эллипса ассимптот быть не может.

Ассимптоты параболы: график параболы возрастает быстрее любой прямой, поэтому ассимптот опять же быть не может.

Óгиперболы есть 2 ассимптоты: xa ± yb = 0. Доказать.

4.4Касательные

Рассмотрим точки пересечения прямой и КВП.

КВП удовлетворяет уравнению: a11x2 + 2a12xy + a22y2 + a1x + a2y + a0 = 0. Прямая удовлетворяет уравнению: Ax + By + C = 0.

Выразим из второго уравнения одну из переменных, подставим в уравнение КВП, получим квадратное уравнение, у которого 2 корня, а следовательно, у прямой и КВП две точки пересечения (действительных (если

D > 0), мнимых (если D < 0) и слипшихся (если D = 0).

Определение 27. Прямая называется касательной к КВП, если точки их пересечения слипшиеся.

Бывает, что после подстановки в уравнение КВП, старший коэффициент зануляется и получается линейное уравнение, а следовательно, всего один корень. В этом случае кривая и прямая не называются касательными, хоть и имеют всего одну точку пересечения.

Из условия D = 0 мы получаем уравнение касательной, которая касается КВП в точке (x0, y0)

(a11x0 + a12y0 + a1)x + (a12x0 + a22y0 + a2)y0 + (a1x0 + a2y0 + a0) = 0

Пример. Построить касательную к эллипсу 4x2 + y2 = 4, проходящую через точку (3, −2).

13

5Поверхности второго порядка.

5.1Краткий обзор. Определение основных ПВП.

Определение 28. Поверхностью второго порядка называется множество всех точек M(x, y), координаты которых удовлетворяют уравнению a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y + 2a3z + a0 = 0.

Часто будем писать F (x, y, z) = φ(x, y, z) + 2l(x, y, z) + a0 = 0, ãäå φ(x, y, z) квадратичная часть уравнения ПВП; l(x, y, z) линейная часть уравнения ПВП; a0 свободный член.

5.1.1Распадающиеся плоскости

Иногда уравнение в правой части распадается в произведение двух линейных скобок (A1x+B1y+C1 +D1)(A2x+

B2y + C2z + D2) = 0. Тогда, очевидно, в уравнение подходят все точки первой плоскости и все точки второй

плоскости.

Если плоскости пересекаются, пускаем ось Оz по линии пересечения, координатные плоскости по биссекторам и получаем уравнение a2x2 − b2y2 = 0.

Если прямые параллельны, пускаем коо плоскость Оуz по середине между ними и получаем уравнение x2 − a2 = 0. В частном случае, когда две плоскости совпадают, получаем уравнение x2 = 0.

Предложение 14. Если ПВП представляет собой пару плоскостей, то в некоторой ДСК его уравнение принимает вид a2x2 − b2y2 = 0 (если плоскости пересекаются); x2 = a2 (если плоскости параллельны; а при

a = 0 они слипаются).

5.1.2Циллиндрические поверхности

Определение 29. Циллиндрическая поверхность поверхность, которая в некоторой системе координат задается уравнением вида F (x, y, z) = F (x, y) = 0. (Т.е. уравнение в некоторой СК не зависит от одной из переменных, а зависит только от двух оставшихся).

Заметим, что тогда на плоскости Оху уравнение F (x, y) = 0 задает кривую второго порядка. Поэтому можно найти такую ДСК, что F (x, y) = 0 è F (x, y) = 0 каноническое уравнение некоторой КВП. В

зависимости от того, какая это кривая, получается параболический циллиндр, эллиптический (круговой) циллиндр, гиперболический циллиндр и вырожденные виды циллиндров. Нарисовать.

В частности, пара плоскостей, безусловно, является циллиндрической поверхностью. Кроме того, вырожденными циллиндрическими поверхностями является прямая x2 + y2 = 0.

5.1.3 Конусы

Если плоскость параллельна Оху, то есть z = z0, то в сечении конуса получается эллипс. (в одном случае точка)

Если плоскость параллельна оси Оxz (или просто параллельна оси Оz), т.е. y = y0, то в сечении получается гипербола (в одном случае пара пересекающихся прямых).

Рассмотрим теперь плоскость x = az + 1. получим параболу.

Поэтому кривые второго порядка часто называют коническими сечениями или кониками.

5.1.4Невырожденные поверхности второго порядка

Все описанные выше ПВП (циллиндрические поверхности, пары плоскостей, конус) называются вырожденными поверхностями второго порядка. Перейдем теперь к невырожденным поверхностям.

• Двуполостный гиперболоид x2 + y2 − z2 = −1.

a2 b2 c2

14

1.Заметим, что эллипс заключен внутри параллелепипеда, поскольку x<a, y<b, z<c.

2.Вырожденные случаи эллипсоида: точка и шар.

2.У гиперболоидов есть ассимптотический конус. Сечение гиперболоида плоскостью перпендикулярно оси Оz эллипс, параллельно ей гипербола.

3.Сечение эллиптического (гиперболического) параболоида плоскостью, перпендикулярной оси Оz является эллипсом (гиперболой), а параллельно ей параболой.

5.2Приведение ПВП к каноническому виду

Пусть заданна ПВП F (x, y, z) = φ(x, y, z) + 2l(x, y, z) + a0 = 0, и направление (α, β, γ).

Определение 32. Плоскость заданная уравнением:

(a11α + a12β + a13γ)x + (a21α + a22β + a23γ)y + (a31α + a31β + a33γ)z + (a1α + a2β + a3γ) = 0,

называется плоскостью сопряженной направлению (α, β, γ).

Уравнение сопряженной плоскости будем записывать в виде: Lx + My + Nz + P = 0. Заметим, что если L = M = N = 0, то данное уравнение задает не плосокость. Такие направления будем называть особыми.

Определение 33. Два направления (α, β, γ) è (α0, β0, γ0), называются сопряженными друг другу относительно ПВП F (x, y, z) = 0, åñëè

В частноит главное направление перпендикулярно плоскости сопряженной данному главному направлению. Пусть (α, β, γ) главное направление, тогда (α, β, γ) Lx + My + Nz + P = 0, òî åñòü (α, β, γ)||(L, M, N).

Это дает нам следующую систему уравнений на (α, β, γ):

L = a11α + a12β + a13γ = λα M = a12α + a22β + a23γ = λβ

N = a13α + a23β + a33γ = λγ

При этом если напрвление особое, то λ = 0, иначе λ 6= 0. Данная система имеет решение не нулевое решение не для всех λ, а только для таких для которых

Очевидно, что любая ПВП имеет хотябы одно главное направление. Так как многочлен третей степени имеет хоят бы один корень.

Предложение 15. Для любой ПВП существует система координат таакая, что квадратичная часть ПВП выглядит следующим образом: λ1x2 + λ2y2 + λ3z2.

Proof. Как уже было сказано у каждой ПВП есть хотябы одно главное направление. Выберем это напрвление в качестве новой оси Oz0. В Тогда в новых координатах вектор (0, 0, 1) будет главным направлением, что влечет

за собой a013 = a023 = 0 (см. систему для нахождения главного направления). То есть в новых координатах квадратичная часть ПВП примет вид: a011x02 + 2a012x0y0 + a022y02 + a033z02.

Как мы уже знаем из теории КВП в плосоксти Ox0y0 существует поворот на некоторый угол такой, что

rквадратичная форма вида a011x02 + 2a012x0y0 + a022y02 примет вид: a0011x002 + a0022y002. Выберем в качестве осей Ox0 è Oy0 такие, чтобы квадратичная часть приняла вид: a011x02 + a022y02 + a033z02.

15

Теорема 11. Любая ПВП это: Эллипсоид, гиперболоид (одноили двуполостный), параболоид (эллиптический или гиперболичекий), конус, цилиндр (эллиптический, параболический или гиперболический), пара плосокостей (перечекающихся, параллельных или совпадающих), точка или пустое множество.

Proof. Приведем уравнение ПВП к каноничекому виду, согласно лемме мы можем считать, что уравнение ПВП имеет вид: a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0 = 0. Пусть для начала, a11a22a33 6= 0, тогда выделяя

полные квадраты по x, y è z (что отвечает сдвигу начала кординат), мы получаем следующее уравнение ПВП: a11x2 + a22y2 + a33z2 + a0 = 0. Åñëè a0 > 0, то это булет пустое множество; если a0 = 0, то либо точка (если

знаки всех aii одинаковые) либо конус; если же a0 < 0, то мы получам либо эллипсоид, либо гиперболоиды. Пусть теперь a33 = 0 è a11 6= 0 6= a22, тогда уравнение ПВП можно привести к виду: a11x2 + a22y2 = 2pz −a0.

Åñëè p = 0, то это будет пара плосокстей или прямая или цилиндр эллиптичекий или гиперболическйи (при

a0 6= 0). Åñëè p 6= 0, то это будет параболоид (эллиптический если a11a22 > 0 , иначе гиперболический).

Пусть a22 = a33 = 0, тогда ПВП имеет вид: a11x2 + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0 = 0, заменим координаты y, z таким образом, чтобы a2y + a3z = a02y0, тогда уравнение можно будет представить в виде: a11x = 2py0 − a0, ýòî пара параллельных плосокстей ( p = 0, a0 6= 0) или параболический цилиндр p 6= 0.

5.3Алгоритм приведения ПВП к каноническому виду

1. Ищем главные направления. Сначала находим возможные λ, а затем для каждого λ находим вектор. Делим каждый вектор на свою длину, для того, чтобы сделать эти вектора векторами i, j, k. Пусть vi = (xi, yi, zi) i = 1, 2, 3 три вектора, задающих главные направления и имеющие длину 1.

Если вектора нельзя выбрать однозначно, то выбираем их так, чтобы они были ортогональны.

2. Делаем замену переменной так, чтобы новые оси были параллельны главным направлениям, то есть:

x = x1x0 + x2y0 + x3z0

y = y1x0 + y2y0 + y3z0

z = z1x0 + z2y0 + z3z0

После этого уравнение ПВП должно принять вид: a011x02 + a022y02 + a033z02 + 2a01x0 + 2a02y0 + 2a03z0 + a0 = 0.

3.Åñëè a11 6= 0, то выделяя полный квадрат по x0, добиваемся чтобы a001 = 0 и тоже самое проделываем для всех остальных переменных.

4.Если у нас остались слагаемые вида a01x0 + a02y0, то делаем замену:

5. Теперь каждая переменная входит в уравнение ПВП не более одного раза. Осталось только выяснить что же это такое. Ура!

ПРИМЕР: 5x2 + 2y2 + 5z2 − 4xz − 4yz − 2zx + 10x − 4y + 2z + 4 = 0.

5.4Большая таблица типов ПВП

16

6Матрицы и определители практика

Остатки теоретического материала: A(B + C) = AB + AC (дистрибутивность);

(AB)T = BT AT (произведение и транспонирование)

Вычислить AB è BA, доказав, что в общем случае матрицы не коммутируют.

3. Определители. Вычислить определители:

Задача 10. Доказать, что если у матрицы поменять местами 2 столбца, ее определитель изменит знак. Примечание: Для начала доказать, что высказывание справедливо для двух соседних столбцов. В общем

случае доказать, меняя соседние столбцы.

17

18

7Обратные матрицы практика

Явная формула обратной матрицы

Теорема 12. Критерий обратимости. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда detA 6= 0.

Теорема 13.

i-ой строки и j-ого столбца.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Обратную матрицу можно найти по методу Гаусса с помощью следующих элементарных преобразований:

1.поменять две строки местами;

2.умножить строку на ненулевое число;

3.к любой строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое ненулевое число.

Для этого выписываем матрицу A. К ней справа приписываем единичную матрицу того же порядка. Над A производим преобразования по методу Гаусса, приводим ее сначала к верхнетреугольному виду, а затем (обратный ход) к диагональному виду. При этом с единичной матрицей производим те же самые преобразования, что и с матрицей A. Когда на месте матрицы A получим единичную матрицу, то на месте единичной получим

A−1.

Найти обратную матрицу по явной формуле.

Задача 16.

19

8Плоскость. Декартова система координат, простейшие уравнения.

Возьмем на плоскости 2 пересекающиеся прямые. Обозначим точку их пересечения О. От точки О отложим 2 вектора: один по одной прямой, другой по другой. Полученная система и есть афинная система координат на плоскости.

Афинная система называется декартовой (ДСК), если: а) координатные прямые ортогональны; б) базисные вектора длины 1; в) переход от первого вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки.

Примечание для преподавателя: если прямо не оговорено обратное, в задачах подразумевается ДСК.

Задача 23. Отметить точки в афинной системе координат. Преподаватель задает координаты.

Задача 24. Отметить точки на декартовой координатной плоскости. Преподаватель задает координаты. Построить точки, симметричные ранее построенным относительно координатных осей, начала координат. Указать координаты этих точек. Заметить, что декартова система удобнее, чем афинная

в этом отношении.

Задача 25. Отметить на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям:

Найти расстояния между некоторыми из этих точек.

Задача 26. Расстояние между точками А(-2,5) и М(x,y) равно трем. Найти координаты точки M, зная, что а) АМ параллельна оси Оx. б) АМ параллельна оси Оy. в) М одинаково удалена от обеих осей координат.

Задача 27. Верно ли, что треугольник А(0,0), В(3,1), С(1,7) прямоугольный? Найти длины его сторон. Найти координаты векторов АВ, ВС и АС.

Примечание: скалярное произведение мы пока не знаем как бы. Действовать по Т.Пифагора!

Задача 28. Зная координаты вершин треугольника А(-2,1), В(4,8), С(10,6), определить, есть ли в треугольнике тупой угол.

Примечание: мы по-прежнему не знаем скалярное произведение.

Задача 29. Сторона квадрата =1. Определить координаты его вершин, приняв за оси декартоваой системы координат 1. Две его непараллельные стороны; 2. Его диагонали; 3. Параллельны сторонам, проходят через центр квадрата; 4. Афинная система координат. Одна ось по стороне, одна по диагонали, единичный отрезок выбирает студент.

Âафинной системе координат из пункта 4 найти расстояние между точками (1,-1) è (2,5).

8.1Уравнение прямой на плоскости

Определение. Задан вектор u = (α, β) и точка 0 = (x0, y0). Прямая множество всех точек М, таких, что

M0M k u.

Выводим каноническое уравнение прямой. M(x, y), тогда (x − x0; y − y0) = λ(α, β). Исключаем α, получаем

x − x0 = y − y0 α β

.

Из канонического уравнения можно получить общее уравнение вида Ax + By + C = 0.

Другое известное нам уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b (оно подходит не для всех

Если задана ДСК, то уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) перпендикулярно вектору n(α, β), будет α(x − x0) + β(y − y0) = 0.

Следовательно, из общего уравнения плоскости Ax + By + C = 0 можно получить вектор нормали n(A, B).

Задача 30. Вывести формулу расстояния от точки M(x0, y0, z0) до прямой l : Ax + By + C = 0.

ρ(M, l) = |Ax0+By0+C|

√

A2+B2

20